Урок «Центр масс»
10 класс
Регламент: 2 урока
Цель: Познакомить учащихся с понятием «центр масс» и его свойствами.
Оборудование: фигуры из картона или фанеры, «неваляшка», перочинный нож, карандаши.
План урока
Этапы урока время методы и приемы
Урок 1
I Введение учащихся 10 фронтальный опрос, работа учащихся у доски.
в проблему урока
II. Изучение нового 15-20 Рассказ учителя, решение задачи,
материала: 10 экспериментальное задание
Урок 2
III Отработка нового 10 сообщения учащихся
материала: 10-15 решение задач,
15 фронтальный опрос
IV.Выводы. Домашнее 5-10 Устное обобщение материала учителем.
задание Запись на доске
Ход урока.
I Повторение 1. Фронтальный опрос: плечо силы, момент силы, условие равновесия, виды равновесия
Эпиграф: Центром тяжести каждого тела является некоторая расположенная внутри его точка - такая, что если за нее мысленно подвесить тело, то оно остается в покое и сохраняет первоначальное положение.
Архимед
II. Объяснение нового материала
Пусть дано тело или система тел. Мысленно разобьем тело на сколь угодно малые части с массами m1, m2, m3… Каждую из этих частей можно рассматривать как материальную точку. Положение в пространстве i-ой материальной точки с массой mi определяется радиус-вектором ri (рис. 1.1). Масса тела есть сумма масс отдельных его частей: т = ∑ mi.
Центром масс тела (системы тел) называется такая точка С, радиус-вектор которой определяется по формуле
r = 1/m∙∑ mi ri
Можно показать, что положение центра масс относительно тела не зависит от выбора начала координат О, т.е. данное выше определение центра масс однозначно и корректно.
Центр масс однородных симметричных тел расположен в их геометрическом центре или на оси симметрии, центр масс у плоского тела в виде произвольного треугольника находится на пересечении его медиан.
Решение задачи
ЗАДАЧА 1. На легком стержне (рис. 1.2) закреплены однородные шары массами m1 = 3 кг , m2 = 2 кг, m3 = 6 кг, и m4 = 3 кг. Расстояние между центрами любых ближайших шаров
а = 10 см . Найти положение центра тяжести и центра масс конструкции.
РЕШЕНИЕ. Положение относительно шаров центра тяжести конструкции не зависит от ориентации стержня в пространстве. Для решения задачи удобно расположить стержень горизонтально, как показано на рисунке 2. Пусть центр тяжести находится на стержне на расстоянии L от центра левого шара, т.е. от т. А . В центре тяжести приложена равнодействующая всех сил тяжести и ее момент относительно оси А равен сумме моментов сил тяжести шаров. Имеем r = (m1 + m2 + m3 + m4) g ,
R L = m2gα + m 3 g 2 а + m 4 g 3 а .
Отсюда L=α ( m1 +2m3 + 3m4)/ (m1 + m2 + m3 + m4) ≈ 16,4 см
ОТВЕТ. Центр тяжести совпадает с центром масс и находится, в точке С на расстоянии L=16,4см от центра левого шара.
Оказывается, что у центра масс тела (или системы тел) есть ряд замечательных свойств. В динамике показывается, что импульс произвольно движущегося тела равен произведению массы тела на скорость его центра масс и что центр масс движется так, как если бы все внешние силы, действующие на тело, были приложены в центре масс, а масса всего тела была сосредоточена в нем.
Центром тяжести тела, находящегося в поле тяготения Земли, называют точку приложения равнодействующей всех сил тяжести, действующих на все части тела. Эта равнодействующая называется силой тяжести, действующей на тело. Сила тяжести, приложенная в центре тяжести тела, оказывает на тело такое же воздействие, как и нее силы тяжести, действующие на отдельные части тела.
Интересен случай, когда размеры тела намного меньше размеров Земли. Тогда можно считать, что на все части тела действуют параллельные силы тяжести, т.е. тело находится в однородном поле тяжести. У параллельных и одинаково направленных сил всегда есть равнодействующая, что можно доказать. Но при определенном положении тела в пространстве можно указать только линию действия равнодействующей всех параллельных сил тяжести, точка ее приложения останется пока неопределенной, т.к. для твердого тела любую силу можно переносить вдоль линии ее действия. Как же быть с точкой приложения?
Можно показать, что при любом положении тела в однородном поле тяжести, линия действия равнодействующей всех сил тяжести, действующих на отдельные части тела, проходят через одну и ту же точку, неподвижную относительно тела. В этой точке и прикладывается равнодействующая, а сама точка будет центром тяжести тела.
Положение центра тяжести относительно тела зависит только от формы тела и распределения массы в теле и не зависит от положения тела в однородном поле тяжести. Центр тяжести не обязательно находится в самом теле. Например, у обруча в однородном поле тяжести центр тяжести лежит в его геометрическом центре.
В однородном поле тяжести центр тяжести тела совпадает с его центром масс.
В подавляющем большинстве случаев один термин безболезненно можно заменять другим.
Но: центр масс тела существует независимо от наличия поля тяжести, а о центре тяжести можно говорить только при наличии силы тяжести.
Местоположение центра тяжести тела, а значит и центра масс, удобно находить, учитывая симметричность тела и используя понятие момента силы.
Вспоминая условия равновесия, мы выяснили, что
Если плечо силы равно нулю, то момент силы равен нулю и такая сила не вызывает вращательного движения тела.
Следовательно, если линия действия силы проходит через центр масс, то оно движется поступательно.
Таким образом, можно определить центр масс любой плоской фигуры. Для этого надо закрепить ее в одной точке, дав ей возможность свободно поворачиваться. Она установится так, чтобы сила тяжести, поворачивающая ее, проходила через центр масс. В точке закрепления фигуры подвесим нить с грузом (гайкой), проведем линию вдоль подвеса (т.е. линию действия силы тяжести). Повторим действия, закрепив фигуру в другой точке. Пересечение линий действия сил тяжести – центр масс тела
Экспериментальное задание: определить центр тяжести плоской фигуры (по приготовленным ранее учащимися фигурам из картона или фанеры).
Инструкция: закрепляем фигурку на штативе. Подвешиваем за один из углов фигуры отвес. Проводим линию действия силы тяжести. Поворачиваем фигуру, повторяем действие. Центр масс лежит в точке пересечения линий действия силы тяжести.
Быстро справившимся с заданием учащимся можно дать дополнительное задание: прикрепить к фигуре груз (металлический болт) и определить новое положение центра масс. Сделать вывод.
Изучение замечательных свойств «центров», которому более двух тысячелетий, оказалось полезным не только для механики - например, при конструировании транспортных средств и военной техники, расчете устойчивости сооружений или для вывода уравнений движения реактивных аппаратов. Вряд ли Архимед мог даже помыслить о том, что понятие центра масс окажется весьма удобным для исследований в ядерной физике или в физике элементарных частиц.
Сообщения учащихся:
В своем труде «О равновесии плоских тел» Архимед употреблял понятие центра тяжести, фактически не определяя его. Видимо, оно впервые было введено неизвестным предшественником Архимеда или же им самим, но в более ранней, не дошедшей до нас работе.
Должно было пройти долгих семнадцать столетий, прежде чем наука прибавила к исследованиям Архимеда о центрах тяжести новые результаты. Это произошло, когда Леонардо да Винчи сумел найти центр тяжести тетраэдра . Он же, размышляя об устойчивости итальянских наклонных башен, в том числе - Пизанской, пришел к «теореме об опорном многоугольнике».
Выясненные еще Архимедом условия равновесия плавающих тел впоследствии пришлось переоткрывать. Занимался этим в конце XVI века : голландский ученый Симон Стевин, применявший, наряду с понятием центра тяжести, и понятие «центр давления» - точку приложения силы давления окружающей тело воды.
Принцип Торричелли (а его имя носят и формулы для расчета центра масс), оказывается, был предвосхищен его учителем Галилеем. В свою очередь, этот принцип лег в основу классического труда Гюйгенса о маятниковых часах, а также был использован в знаменитых гидростатических исследованиях Паскаля.
Метод, позволивший Эйлеру изучать движение твердого тела под действием любых сил, состоял в разложении этого движения на перемещение центра масс тела и вращение вокруг проходящих через него осей.
Для сохранения в неизменном положении предметов при движении их опоры уже несколько столетий применяется так называемый карданов подвес - устройство, в котором центр тяжести тела располагают ниже осей, вокруг которых оно может вращаться. Примером может служить корабельная керосиновая лампа.
Хотя на Луне сила тяжести в шесть раз меньше, чем на Земле, увеличить там рекорд по прыжкам в высоту удалось бы «всего» лишь в четыре раза. К такому выводу приводят расчеты по изменению высоты центра тяжести тела спортсмена.
Помимо суточного вращения вокруг своей оси и годового обращения вокруг Солнца, Земля принимает участие еще в одном круговом движении. Вместе с Луной она «крутится» вокруг общего центра масс, расположенного примерно в 4700 километрах от центра Земли.
Некоторые искусственные спутники Земли снабжены складной штангой в несколько или даже в десятки метров, утяжеленной на конце (так называемый гравитационный стабилизатор). Дело в том, что спутник вытянутой формы стремится при движении по орбите повернуться вокруг своего центра масс так, чтобы его продольная ось расположилась вертикально. Тогда он, подобно Луне, будет все время обращен к Земле одной стороной.
Наблюдения за движением некоторых видимых звезд свидетельствуют о том, что они входят в двойные системы, в которых происходит вращение «небесных партнеров» вокруг общего центра масс. Одним из невидимых компаньонов в такой системе может быть нейтронная звезда или, возможно, черная дыра.
Объяснение учителя
Теорема о центре масс: центр масс тела может изменить свое положение только под действием внешних сил.
Следствие теоремы о центре масс: центр масс замкнутой системы тел остается неподвижным при любых взаимодействиях тел системы.
Решение задачи (у доски)
ЗАДАЧА 2. Лодка стоит неподвижно в стоячей воде. Человек, находящийся в лодке, переходит с носа на корму. На какое расстояние h сдвинется лодка, если масса человека m= 60кг, масса лодки М = 120кг, длина лодки L=3м? Сопротивлением воды пренебречь.
РЕШЕНИЕ. Воспользуемся условием задачи, что начальная скорость центра масс равна нулю (лодка и человек вначале покоились) и сопротивление воды отсутствует (никакие внешние силы в горизонтальном направлении на систему «человек-лодка» не действуют). Следовательно, координата центра масс системы в горизонтальном направлении не изменилась. На рис.3 изображено начальное и конечное положение лодки и человека. Начальная координата х0 центра масс х0 = (mL+ML/2)/(m+M)
Конечная координата х центра масс х = (mh+M(h+L/2))/(m+M)
Приравнивая х0 = х, находим h= mL/(m+M) =1м
Дополнительно: сборник задач Степановой Г.Н. №393
Объяснение учителя
Вспоминая условия равновесия, мы выяснили, что
Для тел, имеющих площадь опоры, устойчивое равновесие наблюдается в том случае, когда линия действия силы тяжести проходит через основание.
Следствие: чем больше площадь опоры и ниже центр тяжести, тем устойчивее положение равновесия.
Демонстрация
Поставьте детскую игрушку неваляшку (Ваньку - Встаньку) на шероховатую доску и приподнимите правый край доски. В какую сторону отклонится «голова» игрушки при сохранении ее равновесия?
Объяснение: Центр тяжести С неваляшки находится ниже геометрического центра О шарообразной поверхности «туловища». В положении равновесия точка С и точка касания А игрушки с наклонной плоскостью должны находиться на одной вертикали; следовательно «голова» неваляшки отклонится влево
Как объяснить сохранение равновесия в случае, показанном на рисунке?
Объяснение: Центр тяжести системы карандаш - нож лежит ниже точки опоры
III Закрепление. Фронтальный опрос
Вопросы и задачи
1. При перемещении тела с экватора на полюс действующая на него сила тяжести меняется. Отражается ли это на положении центра тяжести тела?
Ответ: нет, т.к. относительные изменения силы тяжести всех элементов тела одинаковы.
2. Можно ли найти центр тяжести «гантели», состоящей из двух массивных шариков, соединенных невесомым стержнем, при условии, что длина «гантели» сравнима с диаметром Земли?
Ответ: нет. Условие существования центра тяжести - однородность поля тяготения. В неоднородном гравитационном поле повороты «гантели» вокруг ее центра масс приводят к тому, что линии действия L1 и L2, равнодействующих сил тяжести, приложенных к шарикам, не имеют общей точки
3. Почему при резком торможении автомобиля его передняя часть опускается?
Ответ: при торможении на колеса со стороны дороги действует сила трения, создающая вращающий момент вокруг центра масс автомобиля.
4. Где находится центр тяжести бублика?
Ответ: в дырке!
5. В цилиндрический стакан понемногу наливают воду. Как будет изменяться положение центра тяжести системы стакан - вода?
Ответ: Центр тяжести системы сначала будет понижаться, а потом - повышаться.
6. Какой длины конец надо отрезать от однородного стержня, чтобы его центр тяжести сместился на ∆ℓ?
Ответ: длиной 2∆ℓ.
7. Однородный стержень согнули посередине под прямым углом. Где оказался теперь его центр тяжести?
Ответ: в точке О — середине отрезка О1О2, соединяющего середины участков АВ и ВС стержня
9. Неподвижная космическая стация представляет собой цилиндр. Космонавт начинает круговой обход стации по ее поверхности. Что произойдет со станцией?
Ответ: станция придет во вращение в противоположную сторону, причем ее центр будет описывать окружность вокруг общего с космонавтом центра масс.
11. Почему трудно передвигаться на ходулях?
Ответ: центр тяжести человека на ходулях значительно повышается, а площадь его опоры на землю уменьшается.
12. Когда канатоходцу легче удержать равновесие - при обычном передвижении по канату или при переносе сильно изогнутого коромысла, нагруженного ведрами с водой?
Ответ: Во втором случае, так как центр масс канатоходца с ведрами лежит ниже, т.е. ближе к опоре - канату.
IV Домашнее задание: (выполняется желающими - задачи трудные, решившие их получают "5").
*1. Найдите центр тяжести системы шаров, находящихся в вершинах равностороннего невесомого треугольника, изображенного на рисунке
Ответ: центр тяжести лежит на середине биссектрисы угла, в вершине которого находится шар массой 2m
*2. Глубина лунки в доске, в которую вставлен шар, в два раза меньше радиуса шара. При каком угле наклона доски к горизонту шар выскочит из лунки?
Ответ: при α = π /3
