Урок-лекция "Теорема Менелая в задачах"

Урок-лекция «Теорема Менелая в задачах».

Данная теорема в школьном курсе математики относится к категории тех знаний, которые дают далеко не во всех школах, но для успешной сдачи ЕГЭ знать её совершенно необходимо, так как эта теорема применяется для решения геометрических задач №14 и №16. Также эта теорема часто используется для решения олимпиадных задач.

На ЕГЭ и различных олимпиадах часто встречаются задачи на нахождение отношений длин отрезков, площадей и объёмов. При решении таких задач часто удобно использовать теорему Менелая.

Начнём с задачи №1. Точка Р лежит на стороне АС треугольника АВС, причём АР:РС=1:3. Найти, в каком отношении медиана АМ делит отрезок ВР.

Решение 1. Пусть О - точка пересечения АМ и ВР. Проведем через точку Р прямую РК параллельно АМ. Тогда две параллельные прямые РК и АМ пересекают стороны угла АСВ, так что по теореме Фалеса имеем отношения АР:РС=МК:КС=1:3. Тогда МК=1 часть, СМ=ВМ= 4 части и по теореме Фалеса для треугольника ВРК РО:ОВ=КМ:МВ=1:4.

Ответ: 1:4. Решение несложное, но нужно догадаться сделать дополнительное построение, а это искусственный приём. Хотелось бы решить задачу, следуя определённому алгоритму. Этот алгоритм и даёт теорема Менелая. Эта теорема доказывается в третьей книге «Сферики» древнегреческого математика и астронома Менелая Александрийского (около 100 года нашей эры).

Теорема Менелая.

Пусть прямая a пересекает стороны АВ, АС и продолжение стороны AС соответственно в точках С1, А1 и В1, тогда справедливо соотношение

(*)

Доказательство. Из точек А, В и С опустим перпендикуляры длиной h1, h2, h3 соответственно на прямую а.

Из подобия соответствующих треугольников получим:

.

Замечание. Справедлива и обратная теорема. Как она формулируется? Докажите её.

Соотношение (*) легко восстановить в памяти, если понять закономерность в записи отношений в нём. Выбираем треугольник и прямую, пересекающую две его стороны. Начинаем обход треугольника из какой-либо его вершины так, чтобы вершины чередовались с точками на сторонах.

У вас, скорее всего, должны возникнуть, по крайней мере, два вопроса.

Что будет, если прямая а пройдёт через вершину треугольника? Ответ: ничего. Теорема Менелая в этом случае не работает.

Что будет, если выбрать другую вершину для старта или пойти в другую сторону? Ответ: будет то же самое. Просто изменится последовательность дробей.

Решение 2 задачи №1. По теореме Менелая для РВС и прямой АМ имеем:

.

Дополнительный вопрос: чему равно отношение площадей треугольников АОР и МОВ?

При решении задач на отношение площадей часто полезна формула для площади треугольника .

. Нужно найти отношение АО:ОМ. В этом снова поможет теорема Менелая, для DАМС и прямой ВР, имеем: . Тогда .

Упражнение. Начертите треугольник АВС и прямую, пересекающую две его стороны. Задайте два каких-либо отношения отрезков на сторонах и найдите третье отношение отрезков внутри треугольника. Каково отношение площадей полученных треугольников?

Задача №2. (Гор. Ол-да 2012/13, 9 кл). Точка K лежит на стороне АB треугольника АВС. Отрезок СК пересекает медиану АМ треугольника в точке Р, причём АР=АК. Найти отношение ВК:РМ.

Решение. По теореме Менелая для АВМ и прямой СК имеем:

.

Ответ: ВК:РМ= 2.

Задача №3. В треугольнике ABC проведена медиана BK, точка Р находится на отрезке ВС. О трезки ВК и АР пересекаются в точке М, причём ВР = МР, длина ВС = 1. Найти длину отрезка АМ.

Решение. (1-й способ).

Решение. (2-й способ).

По теореме Менелая для треугольника АСР и прямой ВК имеем:

. По условию АК = КС и ВР = РМ, поэтому СВ = МА = 1.

Ответ: АМ=1.

Рассмотрим задачи ОГЭ, ЕГЭ и олимпиад, в которых теорема Менелая используется совместно с другими геометрическими теоремами: подобием, теоремой Фалеса, свойством биссектрисы. Вспомним их.

З адача №4. (№8, Математика 6-8, июнь 1995). В треугольнике ABC проведена прямая, параллельная АС. Эта прямая пересекает сторону АВ в точке Р, медиану АМ – в точке Т, а сторону BС в точке К. Найти длину АС, если РТ=3, ТК=5.

Решение. По теореме Менелая для треугольника PKB и прямой AM имеем . (*)

PKAC, тогда из подобия треугольников ABC и PBК следует, что  . и . Подставим в (*), получим , значит, АС=11/8РК=11.

Ответ: АС=11.

З адача №5. (№ 26 ОГЭ). В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 28. Найдите стороны треугольника ABC.
В Интернете встречается решение такой задачи с помощью дополнительного построения и далее либо подобия, либо нахождения площадей, и только после этого сторон треугольника. Т.е. оба этих способа требуют дополнительного построения. Однако решение такой задачи с помощью свойства биссектрисы и теоремы Менелая не требует никаких дополнительных построений. Оно гораздо проще и рациональнее.

Решение. BE AD= K. Треугольник BAD равнобедренный, потому что биссектриса угла B (то есть - BK)  перпендикулярна основанию AD. AK = KD = 14. Это означает, что AB = BD = BC/2. Поскольку BE – биссектриса, то по её свойству AE = EC/2, а значит, АЕ=АС/3.

По теореме Менелая для треугольника BЕC и прямой АД имеем . Но KE + BK=28, отсюда BK = 21; KE = 7. 

По теореме Пифагора для треугольника AКB . По теореме Пифагора для треугольника AКЕ .

Ответ: AВ = 7√13; ВС=1413; AC = 21√5.

З адача №6. (№ 2.18.2, Гордин, 2016). В треугольнике ABC высота AH равна 30, медиана BM равна 25, расстояние от точки пересечения отрезков BM и AH до стороны BC равно 6.

а) Докажите, что BH : CH =1 : 3.

б) Найдите площадь треугольника AMB.

Решение.

а) По теореме Менелая для треугольника АСН и прямой ВМ имеем .

б) По теореме Менелая для треугольника ВСМ и прямой КН имеем . Так как ВМ=25, то ВК=10, ВМ=15. По теореме Пифагора ВН=8, тогда СН=24, а ВС=32.

Из КНВ . . Ответ: 240.

Задача №7. (Казахстан. Республиканская олимпиада по математике, 2007 год, 10 класс). В треугольнике ABC точка M — середина стороны AB, BD — биссектриса угла ∠ABC, D лежит на AC. Известно, что ∠BDM=90. Найдите отношение AB:BC.

Р ешение. Продолжим прямую МD до пересечения с ВС в точке F. В треугольнике MBF BD – биссектриса и высота, а, значит, и медиана, то есть ВМ=BF. CF=BF-BC. По теореме Менелая для треугольника ABC и прямой MF имеем . (*)

Так как М – середина АВ, то BM=MA. BD — биссектриса угла B, тогда по свойству биссектрисы: . Для третьей дроби . Из (*) получим . Ответ: АВ:ВС=3:1.

В заключении заметим, что существует и пространственная теорема Менелая. Она связывает отношения отрезков, которые получаются на рёбрах тетраэдра при пересечении его плоскостью, не параллельной ни одной из его граней.

Задачи для самостоятельного решения.

№1. В треугольнике АВС биссектриса AD делит сторону ВС в отношении BD:DC = 2:1. В каком отношении медиана СЕ делит эту биссектрису (СЕ и AD пересекаются в точке О)?

а) Решить задачу, используя дополнительные построения.

б) Решить задачу с помощью теоремы Менелая. Ответ: 3:1.

в) Найти отношение площадей треугольников АОЕ и СОD.

№2. В остроугольном треугольнике АВС точка Е делит сторону ВС в отно­шении 2 : 3, точка D делит сторону АС в отношении 4 : 1. В каком отно­шении отрезок АЕ делит отрезок ВD? Ответ: 5/6.

№3. (МО Екатеринбург, 97/98, областной тур, 8 кл).   На стороне BC треугольника ABC выбрана точка F. Оказалось, что отрезок AF пересекает медиану BD в точке E так, что AE = BC. Докажите, что BF = FE.