ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ НА ЭЛЕКТИВНЫХ КУРСАХ ПО МАТЕМАТИКЕ

Тема: ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ НА ЭЛЕКТИВНЫХ КУРСАХ ПО МАТЕМАТИКЕ

1. Методические особенности решения задач повышенной сложности на элективных курсах по математике в 11 классе

Важным элементом профильного обучения выступают элективные курсы, которые по сравнению с профильными предметами имеют большую вариативность содержания, усиливают практическую и исследовательскую составляющую профильного обучения.

Методическими особенностями изучения элективных курсов при решении задач повышенной сложности, выступает ориентация учащихся на индивидуализацию обучения и социализацию; на подготовку к осознанному и ответственному выбору сферы будущей профессиональной деятельности. 

Основными задачами элективных курсов, при решении задач повышенной сложности, являются:

содействие в самоопределении учащихся в выборе дальнейшей профессиональной деятельности;

создание положительной мотивации учения на выбранном профиле;

ознакомление учащихся с основными видами деятельности выбранного профиля;

активизация познавательной деятельности школьников;

повышение информационной и коммуникативной компетентности учащихся.

Решение задач повышенной сложности на элективных курсах математики обеспечивается в основном за счет следующих направлений.

Первое направление - распространение понятий, изучаемых на более широком перечне геометрических объектов. Значительное внимание уделено построению сечений многогранников, тел вращения. Рассматриваются срезанные геометрические тела (конус, пирамида, части шара) и их свойства, вычисление их объема и площади поверхности.

Второе направление - применение расширенного перечня методов. Например, кроме параллельного проектирования, рассматривается центральное проектирование. Вводится метод следов и проекций.

Третье направление - обоснованию и доведение ряда положений, которые в общеобразовательном курсе остаются без доказательств.

Четвертое направление - для развязывания предлагается большой набор задач повышенной сложности, которые предусматривают одновременное применение математического аппарата из разных областей курса математики. Значительное внимание уделено методу координат, метода векторов уравнением геометрических тел.

Таким образом, создается математический аппарат для изучения в вузе соответствующих разделов высшей математики.

Система решения задач повышенной сложности для учащихся 11 класса должна содержать тренировочные упражнения, теоретические (на доведение и исследования) и прикладные задачи различной степени сложности.

Поэтому в процессе обучения следует уделить особое внимание функциональной направленности этого курса. Понятие функции целесообразно рассматривать с теоретико-множественных позиций. Это даст возможность более четкого определения многих математических понятий. Исследование свойств функций в той или иной форме должно сопровождать изучение математики на протяжении всего обучения. При этом следует постоянно обращать внимание учащихся на связь таких понятий, как функция, уравнение, неравенство. В частности, необходимо добиваться от учеников понимание того, что решение уравнения f (x) =0 и неравенства f (x)> 0 являются отдельными составляющими задачи исследования функции y = f (x) (нахождение нулей функции и промежутков ее знакопостоянства). 

В отличие от академического уровня, глубоко изучается понятие предела в точке, непрерывность функции, точки разрыва, понятие предела на бесконечности. Рассматривается числовая последовательность как функция натурального аргумента, от чего осуществляется переход к понятию границы числовой последовательности, а через нее - пропедевтический переход в пределы.

Программа предусматривает изучение тригонометрических функций, степенной, показательной, логарифмической, введение понятия обратной функции. При изучении функций следует сделать упор на моделировании реальных процессов, интерпретации физического процесса как функции от переменной физической величины. Учащиеся должны ассоциировать характер реального процесса с соответствующей функцией, ее графику, свойствами. Важно, чтобы присущие явлению свойства связывались со свойствами функций (падение, рост, движение к определенной границы).

Понятие производной следует рассматривать в двуедином аспекте: как формальное математическое определение с помощью границы и как обобщение результатов решения соответствующих прикладных задач естествознания, математики, техники. Это сразу выделяет главный прикладной смысл понятия, делает его более естественным и доступным для восприятия. Важна интерпретация отдельных характеристик определенного процесса с помощью производной функции и производных высших порядков, классическим примером чего является связь путь - скорость - ускорение. При формировании понятия о физическом и геометрическом смысле производной следует подчеркнуть, что производная моделирует не только скорость механического движения, но и скорость изменения любого процесса со временем (например, скорость нагрева тела, скорость испарения, силу переменного тока и т.д.). Одновременное изучение физического и геометрического содержания производной дает возможность показать учащимся связь между скоростью протекания процесса и характеристиками его графика.

В 11 классе при решении задач на элективных курсах, целесообразно значительное внимание уделять использованию понятий и свойств производной, для развязывания задач, в частности, определения свойств функции, доведение тождеств, развязывание уравнений и их систем.

Одной из важных задач курса математики является развитие графической культуры учащихся, в том числе умение графического изображения и интерпретации объектов, которые изучаются. Следует заметить, что работа с графическими объектами является мощным инструментом как теоретической математике, так и прикладной (графическое изображение объектов и процессов, работа с графиками, диаграммами, схемами). Поэтому особое внимание при изучении функций следует уделить формированию у учащихся умений устанавливать свойства функции по ее графику и наоборот, строить эскизы графиков функций, заданных различными способами - аналитически, описательно, в форме таблицы, а также выполнять геометрические преобразования графиков. Необходимо научить учащихся устанавливать взаимосвязь графика функции и ее свойств - непрерывность, точки разрыва, промежутки возрастания и убывания, знакопостоянства, выпуклости, наибольшее и наименьшее значения, точки максимума, минимума, перегиба, используя для этого математический аппарат производной и границ функции.

Немаловажное значение при разработке методических рекомендаций при решении задач повышенной сложности на элективных курсах, отводится изучению темы: «Интеграл и его применение», базирующиеся на рассмотрении совокупности первобытных данной функции, и которое возможно трактовать как решение дифференциального уравнения

 у'= f (x). На базе понятия интеграла рассматриваются основные теоремы интегрального исчисления и применения понятия интеграла для развязывания прикладных задач, а от этого - формирование определенных навыков интегрирования. Однако школьный курс математики не предусматривает дальнейшего развития навыков техники интегрирования.

Значительное место в методических особенностях решения задач повышенной сложности на элективных курсах по математике в 11 классе уделяется решению задач с параметрами. В ходе развязывания таких задач в арсенал приемов и методов мышления школьников естественно включаются анализ, индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, классификация и систематизация, аналогия. Эти задачи позволяют проверить уровень знания основных разделов школьного курса математики, уровень логического мышления учащихся, начальные навыки исследовательской деятельности. Поэтому задача с параметрами имеют диагностическую и прогностическую ценность.

Для организации элективных занятий целесообразно использовать методы проблемного обучения: проблемное изложение, эвристические беседы, исследовательский метод. При этом количество, объем и сложность задач для самостоятельной работы должна постепенно увеличиваться в течение изучения факультативов. Система оценивания знаний учеников должно быть достаточно гибкой. Нужно поощрять учеников, использовать оценивания с целью мотивации к изучению математики.

2. Разработка рекомендаций по отбору задач для занятий на элективном курсе по математике

Профильное обучение призвано обеспечить углубленную подготовку старшеклассников из выбранных дисциплин, облегчить ориентацию в выборе профиля обучения, способствовать социализации выпускников, следуя принципу индивидуализации, то есть расширить возможности ученика с целью максимальной профессиональной реализации его в будущем. Основным дидактическим средством для предлагаемого курса являются тексты рассматриваемых типов задач, которые могут быть выбраны из разнообразных сборников, различных вариантов ЕГЭ, интернет – сайтов, контрольно- измерительных материалов прошлых лет или составлены самим учителем.

Для более эффективной работы учащихся целесообразно в качестве дидактических средств использовать образцы оформлений решения заданий части 2, интернет - ресурсы.

По окончанию каждого раздела предполагается промежуточный контроль в форме срезовых и тестовых заданий и других активных методов.

Материал программы построен с учётом использования активных методов обучения, а рациональное распределение разделов программы позволит получить качественные знания и достичь запланированных результатов.

Содержание курса

1. Вводное занятие. Проект ЕГЭ-2024 (2 часа.) Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2024 году единого государственного экзамена по математике в двух уровнях. Кодификатор элементов содержания по математике для составления контрольных измерительных материалов для проведения единого государственного экзамена.

2.Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2024 года по математике.

3. Основные задачи тригонометрии. Тригонометрические уравнения. (7 часов)

Тригонометрические функции и их свойства. Преобразование тригонометрических выражений. Решение тригонометрических уравнений. Отбор корней.

Методические рекомендации. Изучение этой темы предполагает систематизацию полученных знаний по теме и углубление школьного курса. Систематизируются способы решения тригонометрических уравнений и их систем. Особое внимание уделяется нахождению корней, принадлежащих заданному отрезку. Рассматриваются уравнения, которые предлагаются на итоговой аттестации в заданиях типа 13.

Материал излагается в форме беседы с учащимися при повторении, в форме лекции при рассмотрении сложных тригонометрических уравнений. При решении уравнений используются коллективная, групповая и индивидуальная формы работы с учащимися. Качество усвоения темы проверяется выполнением самостоятельной работы в тестовой форме на последнем занятии.

Основные вопросы геометрии (8 часов)

Прямые и плоскости в пространстве:

угол между прямой и плоскостью;

угол между плоскостями;

расстояние между прямыми и плоскостями;

угол и расстояние между скрещивающимися прямыми.

4. Многогранники. Сечения многогранников. Тела вращения. Комбинации тел. Некоторые приёмы вычисления отношений и расстояний в стереометрии. Нестандартные планиметрические задачи

Методические рекомендации. При решении стереометрических задач необходимо обобщить имеющиеся у учащихся знания о многогранниках и телах вращения. Теоретический материал (используемые свойства тел и формулы) кратко повторяется на первом занятии в ходе решения базовых задач по готовым чертежам. Особое внимание следует уделить умениям учащихся правильно выполнять чертёж согласно условию задачи, а также «узнать» на пространственном чертеже плоские фигуры с тем, чтобы свести решение задачи к пошаговому применению свойств плоских фигур. Рассмотреть в планиметрических задачах всевозможные конфигурации, разные случаи взаимного расположения рассматриваемых фигур и линий. Задания типа 14, 17.

5. Показательные и логарифмические уравнения, неравенства. Системы (8 часов)

Логарифмические уравнения и неравенства. Показательные уравнения и неравенства. Решение уравнений и неравенств, при некоторых начальных условиях. Разные приёмы решения систем. Основная цель - совершенствовать умения и навыки решения уравнений и неравенств, используя определения, учитывая область определения рассматриваемого уравнения (неравенства); познакомить с методами решения уравнений (неравенств), комбинированных заданий при некоторых начальных условиях с помощью различных методов.

Методические рекомендации. Материал излагается при рассмотрении конкретных уравнений, неравенств и заданий с привлечением учащихся, при этом выделяются основные методы и приемы их решения. Учитывая сложность таких заданий, на этих занятиях преобладают фронтальные и групповые формы работы. Решая уравнения и неравенства, целесообразно выполнять равносильные преобразования, так как проверка может оказаться весьма затруднительной. Задания типа 15.

6. Задачи типа 16,18,19 из ЕГЭ (6 часов)

В большинстве случаев задачам типа 17,18,19 в программе школьного курса времени не уделяется. Поэтому целесообразно данные задачи разобрать на элективном курсе.

Так, например, задачи с параметром (задание 18) играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Трудности решения такого рода задач вызваны, прежде всего, тем, что в любом случае, даже при решении простейших уравнений и неравенств, содержащих параметры, приходится производить ветвление всех значений параметров на отдельные классы, при каждом из которых задача имеет решение. Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, т. к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащегося и их математической культуры.

Поэтому владение методами решения задач, содержащих параметры, сегодня как никогда актуально для выпускников школы.

Так же в программе школьного курса математики, не рассматриваются так называемые «банковские» или экономические задачи (задание 16). Эта задача ориентирована на реальную жизнь. В заданиях №16 рассматриваются идеализированные жизненные ситуации, которые являются некоторыми текстовыми упрощениями, моделями, реально возникающих, например, при обращении в банк, покупке или продаже ценных бумаг, выпуск производственной продукции и получение прибыли.

И последнее задание, под номером 19, это задачи, которые относятся к теории чисел. Для решения необходимо уметь строить и исследовать простейшие математические модели.

Методические рекомендации. Материал излагается при рассмотрении конкретных заданий по теме. Предполагается индивидуальная и групповая работы.

Итоговое повторение – (2 часа)

В разделе  предполагается провести заключительную контрольную работу по материалам и в форме ЕГЭ, содержащую задания, аналогичные демонстрационному варианту (предполагается использование электронных средств обучения).

Исходя из разработанных рекомендаций, разработано календарно-тематическое планирование решения задач повышенной сложности на элективных курсах по математике представленное в таблице 1.

Таблица 1

Календарно-тематическое планирование

Таким образом, в процессе изучения решения задач повышенной сложности на элективных курсах по математике в 11 классе, целесообразно использовать как традиционные формы обучения, так и самообразование, саморазвитие учащихся посредством самостоятельной работы с информационным и методическим материалом. Особое значение отводится самостоятельной работе учащихся, при которой учитель на разных этапах изучения темы выступает в разных ролях, чётко контролируя и направляя работу учащихся.

Средства обучения: дидактические материалы, творческие задания для самостоятельной работы, мультимедийные средства, справочная литература. Занятия носят проблемный характер. Предполагаются ответы на вопросы в процессе дискуссии, поиск информации по смежным областям знаний.

3. Разработка элективных занятий в 11 классе.

Занятие №26

«Экономические задачи»

Цели: научить учащихся применять математический аппарат при решении  экономических  задач; показать уровень заданий 16 Единого Государственного Экзамена 2024 года, сформировать умение их решать.

Ход занятия

I. Орг. Момент

II. Разминка

1. В пачке 600 листов бумаги формата А3. За месяц в типографии расходуется 3000 листов. Какое наименьшее количество пачек бумаги нужно купить в офис на 6 месяцев?

2. Магазин закупает тетради по оптовой цене 10 рублей за штуку и продает с наценкой 20%.какое наибольшее число таких тетрадей можно купить в этом магазине на 600 рублей?

III. Объяснение нового материала

При чтении условий любой задачи можно встретить такие величины как сумма кредита, процентная ставка, периодическая выплата по кредиту, стоимость ценной бумаги и другие. Попробуем в них разобраться.

Прежде всего, нужно разложить условия задачи на последовательные действия. Очень важен порядок этих действий!

Например:

Взял кредит – сумма на количество лет.

Банк начислил проценты

Внес периодическую плату по кредиту

Дальше пункты 2 и 3 могут повторяться в зависимости от количества лет.

Внес остаток долга – погасил кредит.

Теперь нужно математически выразить каждое наше действие, и очень важно соблюсти порядок, в котором эти действия происходят.

Пусть размер кредита равен S, процент банка p, а ежегодная выплата по кредиту K.

Формулы для подсчета процентов:

а) если величину S увеличить на p% получится ;

б) если величину S уменьшить на p% получим ;

в) если величину S дважды увеличить на p% получим ;

г) если величину S увеличивать на p% не два раза, а три раза, получится

д) если величину Х увеличивать на p% n раз, то степень .

Рассмотрим теперь, если заемщик выплачивает сумму K по кредиту. Тогда через год после начисления процентов и выплаты суммы K, размер долга равен . Так как каждый год сумма будет умножаться на выражение в скобках, введем замену переменных.

Обозначим:, тогда S * Р - K.

Через два года размер долга будет выглядеть следующим образом:

Через три года:

Через четыре года:

Через n лет:.

В скобках мы видим геометрическую прогрессию. Для подсчета величины в скобках иногда применяется формула суммы P членов геометрической прогрессии, где равен 1, а q равен P.

Формула для суммы n членов геометрической прогрессии:

=

В нашем случае размер долга через n лет равен:

*.

Итак, мы видим в нашей формуле следующие четыре переменные:

размер денежной суммы - S

процент банка - p,

периодическая выплата банку (транш) – K

временной период происходящих действий (года, месяцы) – n

IV. Решение задач

Задача №1

1 ян­ва­ря 2016 года Иван Иванович взял в банке 1,1 млн руб­лей в кре­дит. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая — 1 числа каж­до­го сле­ду­ю­ще­го ме­ся­ца банк на­чис­ля­ет 2 про­цен­та на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 2%), затем Иван Иванович пе­ре­во­дит в банк платёж. На какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство ме­ся­цев Иван Иванович может взять кре­дит, чтобы еже­ме­сяч­ные вы­пла­ты были не более 220 тыс. руб­лей?

Дано: S=1100 000; K= 220 000; p=2%

Найти: n?

Решение:

Воспользуемся формулой: ;

1 февраля 2016года: 1100 000 *1,02 -220 000 = 902 000.

1 марта 2016года: 902 000*1,02 -220 000 = 700 040

1 апреля 2016 года: 700 040*1,02 -220 000 = 494040,8

1 мая 2016 года: 494040,8*1,02 -220 000 = 283921,6

1 июня 2016 года: 283921,6*1,02 -220 000 =69 600,05

1 июля 2016 года: 69 600,05*1,02 = 70 992,05 – остаток суммы долга.

В по­след­ний месяц вы­пла­та со­ста­вит менее 220 тыс. руб. Мы видим, что ми­ни­маль­ный срок кре­ди­та в усло­ви­ях за­да­чи со­став­ля­ет 6 ме­ся­цев.

Ответ: 6.

Задача №2

Индивидуальный предприниматель по­лу­чил кре­дит в банке под опре­де­лен­ный про­цент го­до­вых. Через год индивидуальный предприниматель в счет по­га­ше­ния кре­ди­та вер­нул в банк ¾ от всей суммы, ко­то­рую он дол­жен банку к этому вре­ме­ни, а еще через год в счет пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та он внес в банк сумму, на 21% пре­вы­ша­ю­щую ве­ли­чи­ну по­лу­чен­но­го кре­ди­та. Каков про­цент го­до­вых по кре­ди­ту в дан­ном банке?

Решение:

Так как нам неизвестна сумма кредита S– примем ее за 1;

n=2; K1=3/4=0,75; K2=1.21, где K1 и K2 - это первая и вторая выплата банку.

1 год:

2 год:

Решаем уравнение относительно p:

Ответ: 120%.

Задача №3

31 декабря 2014 года Илья взял в банке некоторую сумму в кредит под 14% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14%), а затем Илья переводит в банк 4 548 600 рублей. Какую сумму взял Илья в банке если он выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?

Дано:

р = 14%; n=2; K=4 548 600.

Найти: S?

Решение:

Пусть Илья взял в банке S рублей. Тогда в конце 1 года сумма долга составит

После первой выплаты долг банку будет составлять

К концу 2 года после начисления процентов долг банку составит

Так как Илья выплатил долг двумя равными платежами, то получаем уравнение:

Илья взял в банке 7 490 000 рублей.

Ответ: 7 490 000.

VI. Домашнее задание

Задача

31 декабря 2013 года Иван взял в банке 19 860 000 в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Иван переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Иван выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?

Дано:

S=19 860 000; p=10%; n=3

Найти: K?

Решение:

1 год:

После того, как Иван перевел в банк K рублей, сумма долга составила

2 год:

Иван перевел K рублей в банк и сумма долга стала равна

3 год - банк начислил проценты и долг составил

Иван выплатил третий платеж и полностью погасил долг

Ответ: 7 986 000.

VII. Подведение итогов занятия

Анализируется весь ход занятий и его основные моменты, оценивается деятельность каждого ученика.

VIII. Рефлексия

Учащимся предлагается закончить предложение:

а) на этом занятии я …

б) учитель на занятии создал …

в) я чувствовал(а) себя уверенно, т.к. …

Занятие №27

«Экономические задачи»

Цели: повторить и закрепить умение учащихся применять математический аппарат при решении  экономических  задач.

Ход занятия

I. Орг. Момент

II. Разминка

Повторение изученных формул для подсчёта процентов.

III. Решение задач

Задача №1

Максим приобрел ценную бумагу за 7 тысяч рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 2 тысячи рублей. В любой момент Максим может продать ценную бумагу и вырученные деньги положить на банковский счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10%. В течение, какого года после покупки Максим должен продать ценную бумагу, чтобы через 30 лет после покупки этой бумаги сумма на счете была наибольшей?

Решение:

Во второй год цена составит: тысячи рублей

В третий год тысячи рублей

На четвертый год тысячи рублей

………………………………

В n-й год тысячи рублей

Сопоставим 10% банковский рост цены бумаги ее ежегодному росту на 2000 рублей.

10% от цены бумаги на n-ом году

Для того чтобы было выгодно нужно чтобы 10% от этой суммы были больше, чем 2 тысячи рублей.

Получаем неравенство:

Наименьшее натуральное n, удовлетворяющее этому неравенству равно 8.

Ответ: 8.

Задача № 2

Два бизнесмена купили акции одного достоинства на сумму 3640 рублей. Когда цена на эти акции возросла, они продали часть акций на сумму 3927 рублей. Первый бизнесмен продал 75% своих акций, а второй 80% своих. При этом сумма от продажи акций, полученная вторым бизнесменом, на 140% превысила сумму, полученную первым бизнесменом. На сколько процентов возросла цена одной акции?

Решение:

Пусть c — начальная цена одной акции, x — количество акций, купленных первым бизнесменом, y — количество акций, купленных вторым бизнесменом.

Тогда,

И пусть цена одной акции возросла на p % , т. е стала цена одной акции. Тогда первый продал 0,75x акций, второй — 0,8y акций. Первый получил сумму за продажу акций -

а второй

Так как сумма от продажи акций, полученная вторым бизнесменом, на 140% превысила сумму, полученную первым бизнесменом, то значит, он получит сумму

- первая замена

– вторая замена

Подставим первую замену

Подставим вторую замену

Ответ: 37,5.

IV. Самостоятельная работа

Вариант 1.

Дмитрий взял кредит в банке на 5 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на 10 %, а затем уменьшается на сумму уплаченную Дмитрием. Суммы, выплачиваемые Дмитрием в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, т. е. на одну и ту же величину. За весь срок кредитования Дмитрий выплатил банку в общей сложности, 16250 руб. Какую сумму он взял в банке в кредит?

Решение:

Пусть x- равномерно выплачиваемая ежемесячная выплата. Тогда,

И вся сумма, выплаченная за период кредитования равна:

6,5 x = 16250

x = 2500

Сумма, полученная в кредит, равна: 2500*5=12500

Ответ: 12500

Вариант 2.

Иван взял кредит на срок 9 месяцев. В конце каждого общая сумма оставшегося долга увеличивается на 12%, а затем уменьшается на сумму уплаченную Иваном. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждого месяца уменьшалась равномерно, т. е. на одну и ту же величину. Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?

Решение:

Пусть x – ежемесячно выплачиваемая сумма. Тогда – сумма взята Иваном в кредит. С другой стороны,

Составим пропорцию:

9x - 100%

14.4x - y %

y % =

Значит, сумма, уплаченная Иваном банку, составит 160% - 100% = 60% от суммы кредита, взятого Иваном в банке.

Ответ: 60

V. Домашнее задание

15 января планируется взять кредит в банке на 25 месяцев. Условия возврата таковы:1-ого числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-ого по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; 15-ого числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь период кредитования на 39% больше суммы взятого кредита. Найти r %.

Решение:

Пусть сумма кредита равна x, взята на 25 месяцев под r % в месяц.

В итоге выплатим x+0,39x. Оформим выплаты долга и процентов в виде таблицы:

Посчитаем выплату процентов

Значение выражения, записанного в скобках, найдём по формуле суммы арифметической прогрессии.

Ответ: 3.

VI. Подведение итогов занятия

Анализируется весь ход занятия и его основные моменты, оценивается деятельность каждого ученика на занятии.

VII. Рефлексия

Учащимся предлагается закончить предложение:

а) на этом занятии я …

б) учитель на занятии создал …

в) я чувствовал(а) себя уверенно, т.к. …

Занятие №30

«Теория чисел»

Цели: Закрепить знания о числах и их свойствах; вспомнить виды прогрессии. Научится логически мыслить и охватывать задачу целиком. Показать уровень заданий 19 Единого Государственного Экзамена 2024 года, сформировать умение их решать.

Ход занятия

I Орг. Момент.

II. Разминка.

Имеется 19 гирек весом 1 г, 2 г, 3 г, ..., 19 г. Девять из них – железные, девять – бронзовые и одна – золотая. Известно, что общий вес всех железных гирек на 90 г больше, чем общий вес бронзовых.

Найдите вес золотой гирьки.

Решение:

Общий вес гирек: =190

Вес железных гирек не больше, чем

= = 135

значит, вес бронзовых гирек не больше, чем 135 – 90 = 45г.

Но при этом вес бронзовых гирек равен =45 и, значит, вес железных равен: 45 + 90 = 135г.

Следовательно, вес золотой гирьки 190 – 135 – 45 = 10г.

Ответ: 10 г.

III. Повторение

N – натуральные числа (1, 2, 3, …);

Z – целые числа (0, ±1, ±2, ±3, …);

Q – рациональные числа, их можно представить в виде дроби m/n, где m – целое число, а n – натуральное (3,2/3, -4/3 );

R – действительные числа (3, √7, 0, -2/3);

Иррациональные числа – это действительные числа, которые не являются рациональными (√7).

Свойства сложение и умножения натуральных чисел:

a + b = b + a – переместительное свойство сложения

(a + b) + с = a + (b + c) – сочетательное свойство сложения

a∙b = b∙a – переместительное свойство умножения

(a∙b)∙c = a∙(b∙c) – сочетательное свойство сложения

a(b ± с) = ab ± bc – распределительное свойство умножения относительно сложения/вычитания

Если m, n, k натуральные числа, то при m – n = k говорят,

что m – уменьшаемое, n – вычитаемое, k – разность; m : n = k говорят,

что m – делимое, n – делитель, k – частное.

Наибольший общий делитель (НОД) двух данных чисел a и b – это наибольшее число, на которое оба числа a и b делятся без остатка.

Наименьшим общим кратным (НОК) двух и более натуральных чисел называется наименьшее натуральное число, которое само делится нацело на каждое из этих чисел.

Среднее арифметическое множества чисел – сумма всех чисел, делённое на их количество.

Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом d. 

Формула вычисления арифметической прогрессии: 

Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность, задаваемая двумя параметрами b, q (q ≠ 0) и законом b1 = b,  = bn-1∙q, n = 2, 3, … .

Формула вычисления геометрической прогрессии: bn = b1∙qn-1.

Формула суммы n-первых членов геометрической прогрессии: 

1.  

2.

IV. Решение задач

Задача №1

На столе перед нумизматом лежит 200 монет орлом кверху. За один ход нумизмат переворачивает любые 4 разные монеты. Разрешено так же переворачивать те монеты, которые уже переворачивались ранее.

а) Может ли в результате нескольких ходов ровно 6 монет выпасть кверху решкой?

б) Может ли в результате нескольких ходов ровно 3 монеты выпасть кверху решкой?

в) Найдите наибольшее число монет, которое может выпасть кверху решкой, если хотя бы одна монета должна в конечном итоге выпасть к верху орлом?

Решение:

а) Да. Пусть в первый ход нумизмат переворачивает 4 монеты. Вторым ходом он переворачивает 3 ещё не тронутых монеты и 1 монету, которую перевернул за первый ход. Таким образом, окажется ровно 6 монет решкой кверху.

б) Нет. Так как количество монет решкой кверху после каждого хода будет оставаться чётным. Изначально решкой кверху лежит 0 монет (чётное число).

Если за один ход нумизмат переворачивает 4 монеты, которые были решкой кверху, то количество монет кверху решкой уменьшится на 4.

Если за один ход нумизмат переворачивает 3 монеты кверху решкой и 1монету кверху орлом, то количество монет кверху решкой уменьшится на 2.

Если за один ход нумизмат переворачивает 2 монеты кверху решкой и 2 монеты кверху орлом, то количество монет кверху решкой не изменяется.

Если за один ход нумизмат переворачивает 1 монету кверху решкой и 3 монеты кверху орлом, то количество монет кверху решкой увеличивается на 2.

Если за один ход нумизмат переворачивает 4 монеты, которые были кверху орлом, то количество монет кверху решкой увеличивается на 4.

Таким образом, после произвольного хода количество монет кверху решкой изменяется на 4, на 2 или на 0, то есть на чётное число. Изначально количество монет кверху решкой 0 – чётное число, следовательно, их число будет оставаться чётным числом и не может быть равно 3.

в) Число монет кверху решкой не должно равняться 200 (по условию) и не может равняться 199, так как число 199 – нечётное. Покажем, что число монет решкой кверху может равняться 198. Пусть первые 49 ходов нумизмат переворачивал только ранее нетронутые монеты. В итоге кверху решкой окажется 49*4=196 монет. За 50 –й ход нумизмат перевернёт 3 монеты, которые лежат орлом кверху, и 1 монету, которая лежала кверху решкой. К верху решкой окажется 198 монет.

Ответ: а) да; б) нет; в) 198.

Задача № 2.

В целочисленной последовательности , , состоящей из целых чисел, сумма любых двух соседних членов последовательности равна или5, или 7, или 29.

а) Приведите пример такой последовательности.

б) может ли такая последовательность состоять из 812 членов?

в) Какое наименьшее число членов может быть в такой последовательности?

Решение.

Нужно сформировать последовательность таким образом, чтобы на n – м месте получилось число 336. Первое значение дано по условию задачи

, сформируем следующие первые члены:

2; 3; 4; 1; 6; -1; 8;

Последующие члены будем формировать по правилу

Получим: -3; 10; -5; 12;….; 334; -329; 336.

б) Из полученной последовательности в пункте (а) можно заметить, что на нечётных местах стоят чётные члены, а на нечётных местах – нечётные члены. Это правило будем соблюдать при любом виде формирования последовательности, так как идёт оперирование нечётными числами 5, 7 и 29. Следовательно, если последовательность состоит из 812 членов, то на последнем 812 – месте будет находиться нечётное число. Вместе с тем число 336 – нечётное, значит сформировать последовательность длиной 812 членов нельзя.

в) Чтобы последовательность содержала минимальное число членов, она должна максимально быстро возрастать. Это достигается, если сумма первых двух членов будет равна 5, а сумма вторых двух членов – 29, то есть для любого k можно записать правило:

или в виде +24.

В результате получаем следующие члены последовательности:

Последним числом нужно получить число 336. Оно чётное, следовательно должно стоять на нечётной позиции. Нечётная позиция определяется индексом 2k+1, следовательно, 336

и достигается при k,

то есть k должно быть не менее 14 и в последовательности будет минимум 2*14+1=29 членов. Например, это последовательность вида 2,3,26,-21,50,

-45,74,-69,98,-93,122,-117,146,-141,170,-165,194,-189,218,-213,242,-237,266,

-261,290,-285,314,-307,336.

Ответ: а) да; б) нет; в) 29.

V. Домашнее задание

На доске записаны числа 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ... 18. За один ход разрешается стереть произвольно три числа, сумма которых меньше 32. Суммы троек стёртых чисел на каждом из ходов должны быть различными.

а) Напишите пример последовательных трёх ходов.

б) Возможно ли сделать 5 ходов?

в) Определите наибольшее возможное число ходов, которые можно сделать?

Решение:

а) Пример последовательных трех ходов (стёрты тройки чисел):

(4, 7, 10); (5, 8, 11); (6, 9, 12).

б) Пусть сделано 5 ходов, стёрли 5⋅3=15 чисел, то есть стерты все числа.

Сумма чисел 4, 5, 6,...18 равна . Каждая из сумм стираемых чисел меньше 32, значит, сумма всех стёртых за 5 ходов чисел меньше 32⋅5=160, 160 < 165. Следовательно, 5 ходов сделать нельзя.

в) Пусть можно сделать 4 хода. Тогда сумма стёртых за 4 хода чисел не меньше 4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15 =.

С другой стороны, эта сумма не больше суммы четырёх различных натуральных чисел, меньших 31+30+29+28=118. Значит, можно сделать 4 хода.

Пример последовательных четырёх ходов:

(17,10,4), (19,9,5), (15,8,6), (14,3,7).

Ответ: а) (4, 7, 10); (5, 8, 11); (6, 9, 12); б) нет; в) 4.

VI. Подведение итогов занятия

Анализируется весь ход занятия и его основные моменты, оценивается деятельность каждого ученика на занятии.

VII. Рефлексия

Учащимся предлагается закончить предложение:

а) на этом занятии я …

б) учитель на занятии создал …

в) я чувствовал(а) себя уверенно, т.к.