Конспект урока математики в 9 классе «Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа п. Агириш

Советского района ХМАО-Югры Тюменской области.

Конспект урока по математике в 9 классе

тема «Сумма n первых членов

арифметической прогрессии»

Автор: учитель математики первой

квалификационной категории

Боровских Мария Андреевна

п. Агириш, 2014г.

Конспект урока

«Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии». 9 класс.

Тема урока:«Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии».

Цели урока:

Образовательные: формировать у учащихся умение решать типовые математические задачи на вычисление суммы членов арифметической прогрессии; применять теорию в конкретных ситуациях.

Развивающие: обучение учащихся самостоятельному приобретению знаний путем творческого поиска и решения проблемных вопросов и ситуаций.

Воспитательные: формирование личностных качеств: точность и ясность словесного выражения мысли; сосредоточенность и внимание; настойчивость и ответственность.

Задача:обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися навыками вычисления суммы первых членов арифметической прогрессии.

Эпиграф к уроку:

В математике следует помнить не

формулы, а процессы мышления.

математикВ.П. Ермаков.

Основные этапы урока:

организационный;

подготовка к активной деятельности на основном этапе урока;

изучение нового материала;

первичная проверка усвоения знаний;

закрепление знаний (работа в группах);

контроль и проверка знаний;

подведение итогов урока;

домашнее задание и инструктаж по его выполнению.

Ход урока.

Организационный момент.

Подготовка к активной деятельности на основном этапе урока. «Повторение - мать учения».Повторить формулу n-ого члена арифметической прогрессии.

Проверка д.з.

an = a1 +d(n-1)

Перед тем, как перейти к новому материалу, вспомним уже известный материал об арифметической прогрессии:

1.Выразить a6, a10,a3, a4, an-1 , an-5 через предыдущий член прогрессии и d.

(Правило: каждый член прогрессии равен предыдущему, сложенному с числом d).

Выразить an-1, an-4, an-6 через последующие члены прогрессии и d.

(Правило: предыдущий член прогрессии равен разности последующего члена и числа d)

Проверить д.з.

№356.Между числами 2,5 и 4 вставьте четыре таких числа, которые вместе с данными числами образуют арифметическую прогрессию.

Решение.

Так как между числами 2,5 и 4 нужно вставить 4 числа, то арифметическая прогрессия будет содержать 6 членов, причем a1 = 2,5, a6 = 4.

Найдем разность прогрессии по формуле: an = a1 +d(n-1)

a6 = a1 + d(6 – 1)

4= 2,5 +5d

-5d = -4 + 2,5

d = 0,3 Получили прогрессию:

2,5; 2,8; 3,1; 3,4; 3,7; найти сумму этих членов.

S6 = 2,5 + 2,8 + 3,1 + 3,4 + 3,7 + 4 =19,5.

4.На доске картина «Трудная задача». Художник Н.П. Богданов-Бельский. Задача профессора С.А. Рачинского. Выступление ученика.

Устным счетом быстро найти результат вычисления.

Числа 10, 11, 12, 13 и 14 обладают любопытной особенностью:

102 + 112 + 122 = 132 +142.

Так как 100 + 121 + 144 = 365, то легко рассчитать в уме, что воспроизведенное выражение на картине равно 2.

Учитель: а вам я хочу предложить следующую задачу-стихотворение:

«Задача очень непроста. От 1 и до 100 сложить в уме все числа».

1+2+3+4+…+98+99+100.

С данной задачей связан интересный исторический факт из жизни немецкого математика Карла Гаусса.

5.Портрет К. Гаусса на доске. Ученик, который заранее подготовил сообщение, рассказывает, что, когда Гаусс учился в школе, учитель предложил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100. Маленький Гаусс решил эту задачу за минуту.Как Гаусс получил ответ?

Поиск путей решения.

Учащиеся высказывают свои предположения, затем подводится итог: сообразив, что суммы 1+100, 2 + 99 и т.д. равны, Гаусс умножил 101 на 50. Он заметил закономерность, которая присуща арифметической прогрессии. С помощью этих рассуждений можно найти сумму nпервых членов любой прогрессии.

6.Задача. Дана конечная арифметическая прогрессия:

2,5; 2,8; 3,1; 3,4; 3,7; 4. Найти сумму этих членов, применяя эту закономерность.

= 2,5 + 2,8 +3,1 + 3,4 + 3,7 +4

= 4 + 3,7 + 3,4 +3,1 +2,8 +2,5

2 = 6,5 * 6 = 39. S = 39 : 2 = 19,5. А если надо найти сумму 50 первых членов?

Удобный этот способ для вычисления?

Идея интересная, но вычисления не рациональные.

Что нужно знать для вычисления суммы? Формулу!

Вывод формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Ученики вместе с учителем записывают вывод формулы

Пусть (аn)- арифметическая прогрессия. Найти Sn.

Sn.= a1+ a2+ a3+ … +an-1 + an

Sn.= an+ an-1+ an-2+ … + a2 + a2

2Sn.= (a1+ an)+( a2+ an-1)+… + (an-1 + a2) + (an +a1)

a2+an-1= a1+ d+an-d = a1+ an

…

2Sn.= (a1+ an) ∙n Sn. =

Первичное закрепление. Сейчас применим полученную формулу для вычисления суммы n-первых членов арифметической прогрессии.

Устная самостоятельная работа в парах. ( Самостоятельная работа обучающего характера).

1. Решить задачу Гаусса. S100 =

2.Найдите сумму первых 12 членов арифметической прогрессии (аn), если а1 = 3,

a12 = 36. S12 = 234.

3. Найдите сумму первых 7 членов арифметической прогрессии (an), a1 = - 5, a7 = 1.

S7 = -14

4. Найдите сумму первых 10 членов арифметической прогрессии (аn), если а1 =- 4,

a10 = 15 S10 = 55

5.Решить № 369(б). 1 ученик работает на доске, остальные в тетради. (комментарий)

6. Вычислите сумму 9 первых членов арифметической прогрессии (bn), если первый член равен -17 и разность равна 6.

Можно ли вычислить сразу, используя формулу?

Нет, так как неизвестен 9 член.

Как его найти?

По формуле n-ого члена арифметической прогрессии.

an = a1 +d(n-1)

А нельзя ли найти сумму n первых членов арифметической прогрессии, не вычисляя девятого члена прогрессии?

 

Постановка проблемы.

Проблема: получить формулу суммы nпервых членов арифметической прогрессии, зная ее первый член и разность.

Один ученик выводит формулу у доски, остальные в тетради.

Контроль и проверка знаний. Групповая работа. (4 группы)

Учитель.

Многие из вас уже задумывались над выбором будущей профессии и сейчас представьте себя в роли работника лесхоза. Каждая из четырех групп получает задачу с условием в виде рисунка и заданием: вычислить объем затрат и стоимость добытой древесины. Для этого каждая группа получает накладную, в которую заносятся результаты вычислений (необходимое условие для вычислений – это применение формулы n-первых членов арифметической прогрессии)

Дифференцированная самостоятельная работа (3 варианта)

Вариант 1.Дано: (а)- арифметическая прогрессия.

1.a1 = - 3, a6 = 21, S6 = ?

2.a1= 6, d = 4. S = ?

Вариант 2. Дано: (а)- арифметическая прогрессия.

1. a1 = 2, a8 = -23. S8 = ?

2.a1 = -7, d = 4. S5 = ?

3.Найдите сумму 2 + 4 + 6 + … + 2n, слагаемыми которой являются все четные натуральные числа от 2 до 2n.

Вариант 3. (для сильных ребят). Поливка огорода по рисунку.

В огороде 30 грядок, каждая длиной 16м и шириной 2,5м. Поливая грядки, если приносит ведра с водой из колодца, расположенного в 14 м от края огорода, и обходит грядки по меже, причем воды, приносимой за один раз, достаточно для поливки только одной грядки. Какой длины путь должен пройти огородник, поливая весь огород? Путь начинается и кончается у колодца.

Решение.

Для поливки первой грядки огородник должен пройти путь

14+ 16 +2,5 +16 +2,5 +14 = 65м.

Приполивки второй грядки он проходит

14+ 2,5 + 16 + 2,5 +16 +2,5 +2,5 +14 = 70 м.

Каждая следующая грядка требует пути на 5м длиннее предыдущей. Имеем прогрессию:

65; 70; 75; … ; 65 + 5 *29.

Сумма ее членов равна

Огородник при поливке всего огорода проходит путь в 4,125 м.

Взаимоконтроль. Ученики меняются тетрадями и проверяют друг у друга. Выставляют

оценки. Объективность выставления оценок учитель проверяет, подводя итог урока.

Подведение итогов урока (Рефлексия)

Определяем вместе: что делали, зачем, к какому результату пришли. Либо обсуждают в парах: я научился, я узнал нового…, я что-то не понял…. И если при обсуждении в парах кто-то разобрал материал лучше, чем его сосед, он может объяснить своему однокласснику недопонятые моменты еще раз. Считаю это важным этапом т.к. то, что проговаривает ученик, а если еще и не один раз, лучше запоминается.

Домашнее задание.

Домашнее задание задается разной сложности, ученик сам выбирает себе задание (но хотя бы один пример из номера с легким заданием должен быть сделан для отработки практических навыков). Учащиеся со слабыми знаниями по желанию могут тоже выполнять задания повышенной сложности.

Творческая работа.

Составление математического кроссворда по теме «Арифметическая прогрессия».

«3»- № 369 (б), № 370 (а).

«4»- № 370 (б); № 372 (а).

«5»- №373; № №75 (а), № 386.