Урок на тему «Сумма n первых членов арифметической прогрессии»

Этапы урока, целевые ориентиры, время

Задания, выполнение которых учащимися приведет к достижению запланированных результатов

Деятельность учителя

Деятельность учащихся и возможные варианты ответов

Планируемые результаты, формирование УУД

Задания базового уровня

Задания повышенного уровня

предметные

личностные,

метапредметные

Этап мотивации

Цель: подготовка к плодотворной работе на уроке

№577

№586 б).

Учитель обращает внимание учащихся на более сложное задание №586 б).

До начала урока, двое учащихся записывают на доске решение домашних задач №577 и №586 б).

Контроль и анализ качества усвоения изученного материала.

Рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности, признание и исправление допущенных ошибок

Актуализация и фиксирование индивидуального затруднения в пробном действии

Цель: актуализация знаний и умений полученных на предыдущих уроках.

Повторение формулы нахождения n-ого члена арифметической прогрессии, определение арифметической прогрессии.

На предыдущих уроках мы начали изучать арифметическую прогрессию.

-Дайте, пожалуйста, определение арифметической прогрессии.

-Как называется число, которое прибавляется к предыдущему члену последовательности, чтобы получить следующее?

-Задайте формулу для нахождения разности арифметической прогрессии.

-Задайте формулу для вычисления n-ого члена арифметической прогрессии.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

-Это число называется разностью арифметической последовательности.

d=a2-a1 или d=an-an-1

an=a1+d(n-1)

Использование математической терминологии для описания и задания  арифметической прогрессии

Развивать умение точно и грамотно выражать свои мысли, уметь слушать и понимать речь других участников образовательного процесса

Устный счет

Индивидуальная работа по карточкам.

Трем учащимся предлагается самостоятельно выполнить индивидуальные задания на карточках разного уровня сложности.

I. Продолжите ряд чисел

А) 1; 2; 3; 4…

Б) 2; 4; 6; 8…

В) -8; -6; -4….

Г) 5; 10; 15…

Д) 10; 20; 30…

Е)

Ж) -0,5; -1; -1,5

З) -3; 3; 9; 15…

II. Найдите члены арифметической прогрессии обозначенные буквами.

1) -3,4; -1,4; a3; a4

2) 14; a2; 20; a4

Учащиеся выполняют индивидуальные задания на карточках, а остальная часть класса продолжает работать с учителем

I.

А) 5; 6; 7…

Б) 10; 12; 14…

В)-2; 0; 2…

Г) 20; 25; 30

Д) 40; 50; 60…

Е)

Ж) -2; -2,5; -3….

З) 21; 27; 33…

II.

1) a3=0,6; a4=2,6;d=2

2) d= a2=17; a4=23;

устном счете.

Научиться воспроизводить приобретенные знания, навыки в конкретной деятельности.

Применение полученных знаний и навыков при решении устных задач.

Формирование навыка осознанного выбора наиболее эффективного способа решения

Развивать умение точно и грамотно выражать свои мысли.

Этап выявления места и причины затруднений

Цель: выявление и фиксация во внешней речи причины затруднения вызванных необычной ситуацией.

Ребята перед вами два портрета, на одном известный русский поэт, а на другом не менее известный немецкий математик. Назовите, пожалуйста, их имена.

-Как вы думаете, что общего между этими выдающимися людьми.

-Может ли существовать другая связь, например, между их деятельностью?

- Какое отношение А. С. Пушкин имеет к изучаемой нами теме?

А. С. Пушкин

(1799-1837)

Карл Гаус

(1777-1855).

Предполагаемые ответы:

Они жили примерно в одно и то же время.

Не знаю.

Они писали стихи.

Наверное, может быть что-то другое общее.

Он решал арифметические прогрессии.

Обобщение знаний из различных областей знаний: математика, литература, краеведенье, история.

Формирование навыков сопоставления знаний и фактов, умение аргументировать свою точку зрения, умение слушать и слышать других

Этап построение проекта выхода из создавшейся ситуации

Цель: определение действий и их последовательности, для достижения успешного решения возникшей проблемной ситуации

Ребята, обратите внимание на задание, которое выполнял …..

Ему необходимо было подсчитать сумму первых 40 чисел натурального ряда. 1+2+3+4+5+6+…+40=?

Он справился с ним? (Да/нет)

Быстро он это сделал или ему пришлось потратить на выполнение этого задания значительную часть времени?

(Пришлось потратить много времени)

Одному из учащихся предлагается на доске подсчитать сумму первых 40 чисел натурального ряда. 1+2+3+4+5+6+…+40=?

(К решению этой задачи ученик приступает одновременно с теми детьми, которые работают самостоятельно по карточкам)

А можно ли сократить время на решение данной задачи?

И что для этого необходимо сделать?

А можно ли вычислить сумму любого количества слагаемых? и.т.д.

Анализ учащимися проблемной задачи, постановка задач урока.

Формирование навыка осознанного выбора наиболее эффективного способа решения.

Сообщение о немецком математике Карле Гауссе.

Можно предложить прочитать об этом немецком математике в учебнике стр.148.

Карл Гаусс (1777-1855)- немецкий математик, астроном, геодезист, физик. Выдающиеся математические способности проявил в раннем детстве. Его многочисленные исследования в области алгебры, теории чисел, геометрии и математического анализа оказали значительное влияние на развитие теоретической и прикладной математики, астрономии и физики.

Слушают сообщение или работают с учебником.

Формирование представлений о математике как о методе познания действительности.

Поддерживать инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации.

Самостоятельно обнаруживать и формулировать учебную проблему, определять цель учебной деятельности.

Реализация построенного проекта

Цель: вывод формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии и преодолениее возникших затруднений

Рассмотрим пример нахождения суммы не 40 первых членов натурального ряда, а например, 100. Обозначим сумму буквой S латинского алфавита и запишем следующее

S=1+2+3+4+5+…+99+100

S=100+99+…+5+4+3+2+1

Карл Гаусс заметил, что

1+100=101

2+99=101

3+98=101

Всего таких сумм он получил ровно половину от числа слагаемых, то есть 50

Тем самым он смог вычислит S=10150=5050

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии

Или

Учащиеся сначала внимательно следят за рассуждением и выводом формулы учителем на доске, а затем записывают вывод в свои тетради.

Записывают в тетрадях

Тема: Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии

Формулы обводят в рамочку простым карандашом.

Вывод формулы нахождение суммы n-первых членов арифметической прогрессии.

Формирование навыков составления алгоритма решения задач, организовывать и планировать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками.

6. Этап первичного закрепления с проговариванием во внешней речи

Цель: в форме коммуникативного взаимодействия закрепить навыки решения типовых заданий

Решение задач.

№603

№605 б)

Контролирует ход решения каждого учащегося, комментирует записи на доске, вносит замечания по оформлению задачи в тетрадях.

Объясняет решение учитель

2 человека работают параллельно у доски

Учащиеся следят за рассуждениями учителя, и записываю решение задачи в тетрадях.

Научиться воспроизводить приобретенные знания, навыки в конкретной деятельности.

Развивать умение точно и грамотно выражать свои мысли, формирование устойчивой мотивации к применению приобретённых знаний

7.Физкультминутка

Цель: снятие физической нагрузки и эмоционального напряжения

А теперь мы все отложим, выйдем из-за парт и руки на пояс приложим. Повернулись, потянулись, и конечно улыбнулись, руки мы пожали дружно, и сказали «это нужно», чтоб пятерки получать надо всем удачи пожелать, а теперь ребята с вами будем мы прогрессии решать! Садитесь, пожалуйста, на свои места, будем продолжать!

Дети выполняют действия, описываемые в стихотворении.

Управлять своим поведением, снятие напряжения путем физической и эмоциональной разгрузки.

8.Этап самостоятельной работы с проверкой по эталону

Цель: организации для каждого ученика ситуации успеха, мотивирующей его к включению в дальнейшую познавательную деятельность.

№604 а)

№ 607 (дополнительное задание для сильных учащихся).

В случае возникновения затруднений помогает найти и исправить ошибки в тетрадях индивидуально.

Контролирует и направляет учащихся, работающих самостоятельно с опережением.

Самостоятельное решение заданий в тетрадях.

В классе есть сильные ученики, которые работают быстрее, чем остальные, поэтому им можно предложить дополнительные задания, за которые позднее необходимо выставить оценки.

Научиться воспроизводить приобретенные знания, навыки в конкретной деятельности.

Формирование положительной мотивации к самостоятельной учебной деятельности, мобилизация сил для преодоления возникающих затруднений и создание ситуации успеха.

9.Этап включения в систему знаний и повторения

Цель: обобщения материала по разделу арифметическая прогрессия , отображение применения математических знаний в литературе.

№604 б)

Решение творческих задач

(работа в малых группах)

Вернемся к портретам наших сегодняшних героев. О Карле Гауссе говорили сегодня достаточно много, а вот про А. С. Пушкина незаслуженно забыли. Вспомните, пожалуйста, строки из романа «Евгений Онегин», сказанные Пушкиным об одном герое «… Не мог он ямба от хорея, как мы не бились отличить».

Отличие ямба от хорея состоит в том, что по-разному расставляются ударные слоги.

Ямб – стихотворный метр с ударением на четные слоги стиха.

Например,

«Мой дядя самых честных правил»

Ударными являются 2; 4; 6; 8;… слоги.

Хорей – стихотворный размер с ударением на нечетные слоги стиха.

Например,

«Буря, мглою небо кроет»

1; 3; 5; 7…

Эти номера и образуют арифметические прогрессии. Я предлагаю вам определить стихотворный размер нескольких известных произведений А. С. Пушкина.

Учащиеся разбиваются на три-четыре команды по 2-3 человека и прочитав на карточке строки из стихотворений А. С. Пушкина, должны определить стиль (ямб или хорей).

Систематизировать знания, умения учащихся по теме: арифметическая прогрессия и применять полученные знания в новых условиях.

Уметь совместно договариваться о правилах поведения и общения, следовать им, оформлять свои мысли в устной форме, управлять своим поведением, слушать других.

Этап рефлексии учебной деятельности на уроке

Цель: обобщение проделанной работы, акцентирования внимание на новых понятиях и терминах

Каким способом можно вычислит сумму n членов арифметической прогрессии?

Какой немецкий математик в раннем возрасте за короткое время смог вычислить сумму первых ста членов натурального ряда чисел?

- Что общего между стихотворным размером ямбом и хореем?

Формирование представлений о математике как о методе познания действительности.

Осознавать самого себя, как движущую силу своего научения, формирование способности к мобилизации сил и энергии для решения поставленной задачи.

Итоги урока.

Цель: оценка и самооценка деятельности обучающихся, рефлексия эмоционального состояния и задание домашней работы.

Записывает на доске домашнее задание.

п.26 №604б); №605а).

Комментарии: Выучить формулы суммы n членов арифметической прогрессии.

Выставление оценок в журнал за самостоятельную работу по карточкам, решение задач у доски и в тетрадях, за активную работу на уроке.

Записывают в дневники Д/З п. 26 №604б); №605а), формулы.

Выставление оценок в дневники.

Дерево настроений

Формирование навыков самоанализа и самоконтроля.

Формирование устойчивой мотивации к обучению.

Самооценка на основе критерия успешности; адекватное понимание причин успеха (неуспеха) в учебной деятельности.

Пусть (аn)-арифметическая прогрессия. Найдите n, если а1=8; d= 3; an=104.

Пусть (аn)-арифметическая прогрессия. Найдите n, если а1=11; d= 8; n=17;

Пусть (аn)-арифметическая прогрессия. Найдите d, если а1=5; n=10; an=509.

Пусть (аn)-арифметическая прогрессия. Найдите сумму ста первых натуральных чисел.

1. Мороз и солнце; день чудесный!
Еще ты дремлешь, друг прелестный
Пора, красавица, проснись:
Открой сомкнуты негой взоры
Навстречу северной Авроры,
Звездою севера явись!

.

2. По дороге зимней, скучной

Тройка борзая бежит.

Колокольчик однозвучный

Утомительно гремит.

3. Пока свободою горим,

Пока сердца для чести живы,

Мой друг, отчизне посвятим

Души прекрасные порывы.

4. "Ветер, ветер! Ты могуч,

Ты гоняешь стаи туч.

Ты волнуешь сине море

Всюду веешь на просторе..."

5.Я помню чудное мгновенье:
Передо мной явилась ты,
Как мимолетное виденье,
Как гений чистой красоты.

6.Подруга дней моих суровых,
Голубка дряхлая моя!
Одна в глуши лесов сосновых
Давно, давно ты ждешь меня

7.Я знаю край: там на брега
Уединенно море плещет;
Безоблачно там солнце блещет
На опаленные луга;
Дубрав не видно - степь нагая
Над морем стелется одна.

8.Орел бьет сокола, а сокол бьет гусей;
Страшатся щуки крокодила;
От тигра гибнет волк, а кошка ест мышей.
Всегда имеет верх над слабостию сила.