Урок алгебры в 9 классе «Арифметическая прогрессия»
КОНСПЕКТ ОТКРЫТОГО УРОКА ПО МАТЕМАТИКЕ
Современный урок трудно представить без использования информационно-коммуникационных технологий. Использование электронных образовательных ресурсов (ЭОР) значительно облегчает и сокращает время подготовки учителя к уроку. ЭОРы развивают активно-деятельностные формы обучения; способствуют осознанию учащимися процесса обучения; развивают познавательную активность учащихся; способствуют достижению наивысшего возможного результата в общем развитии всех учеников, в том числе самых сильных и самых слабых; позволяют провести рефлексию знаний.
Более того, дают возможность «конструировать» школьные уроки и другие учебные занятия, определяя их оптимальное содержание, формы и методики обучения; способствует организации учебного процесса.
Задания, которые я использовала на уроке, дают возможность повторить и закрепить пройденный материал, подготовить учащихся к контрольной работе.
ПЛАН - КОНСПЕКТ УРОКА
ФИО: Кузьменко Наталья Николаевна
Место работы: ГБОУ гимназия г.Сызрани
Должность: учитель математики
Предмет: алгебра
Класс: 9
Тема и номер урока в теме: «Арифметическая прогрессия», урок 1.
Базовый учебник: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б.Суворова «Алгебра-9»
Цель урока: сформировать понятие арифметической прогрессии и ее компонентов; научить применять полученные знания при решении основных типов задач на арифметическую прогрессию.
Образовательная цель (формирование познавательных и логических УУД): формирование первоначальных представлений об арифметической прогрессии; поиск и выделение необходимой информации; подведение под понятия; выведение следствий; устанавливать причинно – следственные связи; строить логическое рассуждение и делать выводы; формирование образовательной компетентности.
Развивающая цель: (формирование регулятивных УУД) умение определять понятия, создавать обобщения; развитие умений анализировать.
Воспитательная цель (формирование личностных УУД) воспитание настойчивости в достижении цели и заинтересованности в конечном результате труда; умения слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблемы, доказывать свою точку зрения; формирование целостного мировоззрения.
Задачи:
Обеспечить осознание и усвоение понятия арифметической прогрессии и ее компонентов;
Формирование УУД при решении задач и формировании новых знаний;
Способствовать индивидуализации и дифференциации обучения с помощью информационно-коммуникационных технологий.
Тип урока: объяснение нового материала
Формы работы учащихся: индивидуальная и фронтальная работа
Оборудование: компьютер (выход в интернет), экран, доска, документ камера, акустическая система, мультимедийный проектор, раздаточный материал
Длительность: 1 урок
Структура и ход урока
Методическая литература и ЭОР
А.Г.Мордкович «Алгебра 9», учебник, «Мнемозина», 2010
А.Г.Мордкович «Алгебра 9», задачник, «Мнемозина», 2010
Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б.Суворова «Алгебра-9» 2009
Л.А.Александрова, «Самостоятельные работы. Алгебра 9», «Мнемозина», 2010
Лебединцева Е.А., Беленкова Е.Ю. Алгебра 9 класс. Задачи для обучения и развития учащихся. – М.: Интеллект-Центр, 2006.
Энциклопедия для детей. – М., Аванта +, 1997.
Лиман М.М. Школьникам о математике и математиках. – М., Просвещение, 1981.
http://fcior.edu.ru/card/1997/opredelenie-arifmeticheskoy-progressii-svoystvo
http://math.oge.sdamgia.ru/test?theme=9
http://www.bryanskedu.net/metodik/math/didakt/
Ход урока.
Орг.момент, приветствие, пожелания.
Здравствуйте, ребята!. Садитесь, пожалуйста. Сегодняшний урок я хотела бы начать словами:
Закончился 20-ый век.
Куда стремится человек?
Изучены и космос, и моря,
Строенье звёзд и вся Земля.
Но математиков зовёт
Известный лозунг:
«Прогрессио - движение вперёд».
Я хочу, чтобы наша встреча сегодня принесла много открытий, опыта и хорошего настроения. Вместе с вами мы будем двигаться только вперёд, т.к. слово «Прогрессио» в переводе с греческого языка означает движение вперёд.
Немного истории
Сведения, связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции. На связь функции с прогрессией обратил внимание Архимед еще во времена до нашей эры.
Актуализация знаний учащихся.
Ребята, предыдущие уроки алгебры были посвящены теме «Последовательности».
Для того чтобы перейти к изучению понятия прогрессия, необходимо вспомнить некоторые понятия:
- Какая последовательность называется числовой?
- (Числовая последовательность - это функция, заданная на множестве натуральных чисел)
- Какие способы задания последовательностей вы знаете?
- (аналитический, рекуррентный, словесный)
-Что значит, последовательность задана аналитически?
-(Последовательность задана аналитически, если указана формула его n – ого члена уn = f(n)
- Что значит, последовательность задана рекуррентно?
- (Задается формула, по которой каждый следующий член находят через предыдущие члены. В случае рекуррентного способа задания функции всегда дополнительно задается один или несколько первых членов последовательности.)
- Задайте последовательность словестным способом
-(Последовательность всех неотрицательных чисел, кратных числу 5. 0; 5; 10; 15; 20; 25; ...)
4. Объяснение нового материала.
Рассмотрим с вами последовательности:
2; 6; 10; 14; 18; 22; 26…..
10 124 -6 45 76 -12 90 876 …
- Что записано на слайде?
- (числовые последовательности)
- Действительно ребята числовые последовательности, как мы с вами выяснили и этот ряд чисел бесконечный, чтобы
перечислить нам не хватит жизни. Поэтому числовые последовательности задают формулами.
- Какую особенность в записи данных последовательностей вы увидели?
-(1-я члены последовательности записаны в порядке возрастания, и каждый последующий член отличается от предыдущего ровно на 4;
- а как вы посчитали что на 4?
-(6-2=4; 10-6=4)
- Данная последовательность называется арифметической прогрессией. Она является частным случаем числовой последовательности. Обозначают , где а – это член последовательности, а n- его номер в ряду чисел..
Рассмотрим еще пример на слайде
- Если мы к первому члену данной последовательности «3» прибавим «4», то получим второй член последовательности «7», если к нему мы прибавим еще «4» то получим «11» и т.д. мы можем получить таким образом любой член последовательности.
- А что означает число 4? Число 4- это разность арифметической прогрессии, она обозначается буквой d.
- Приведите пример арифметической прогрессии
Теперь перейдем к общим рассуждениям.
Но это мы рассмотрели на примере, а если нам рассмотреть в общем виде:
Пусть нам задана числовая последовательность в которой:
а1- первый член последовательности,
а2- второй….
аn—ый член последовательности
буквой d- обозначим разность между последующим и предыдущем членом данной последовательности.
Сможем ли мы с вами сказать какая же последовательность может называться арифметической прогрессией ? Попытайтесь своими словами объяснить, что такое арифметическая прогрессия
- (Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.)
На примере мы с вами рассмотрели как можно задать следующий член последовательности, зная первый член прогрессии и разность между последующим и предыдущим членом, а как найти любой n – ый член прогрессии. Например тысячный, миллионный….Попробуйте. Пусть задана арифметическая прогрессия: 3;9;15…. Нужно найти .
Сможем мы сразу это сделать, или придется подставлять и считать.
- (это не рационально требует много времени)
- Да, ребята если мы будем считать, последовательно суммируя разность арифметической прогрессии и предыдущий член последовательности, чтобы узнать миллионный член данной прогрессии то нам потребуется, достаточно много времени.
- Но это можно сделать быстро. Для этого мы с вами выведем формулу! Путь задана арифметическая прогрессия , с первым членом и разностью d, тогда
а1=а1
а2=а1+d
a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d
a4=a3+d=a1+2d+d=a1+3d....
- Какую закономерность увидели?
( что каждый последующий член - это а1 член плюс произведение разности последующего члена и предыдущего на число меньшего на единицу чем порядковый номер члена прогрессии)
Итак формула как же будет записан n-ый член прогрессии?
, где n-номер члена, – первый член, d - разность арифметической прогрессии , аn –n-ый член этой прогрессии
- Вернемся к нашей задаче, попробуем ее решить, применяя эту формулу. Пусть задана арифметическая прогрессия: 3;9;15…. Нужно найти .
- =3, d=9-3=6 = 3+(1000000-1)6=3+999999*6=3+5999994=5999997
Молодцы!
Работа с текстом.
У Вас на столах есть распечатки текстов о арифметической прогрессии, Ваша задача прочитать этот текст и найти тот теоретический материал, который мы с вами еще не рассмотрели и назвать мне его и запишите его в свои тетради.
Арифметические прогрессии подразделяются по способу задания:
Возрастающей, если в арифметической прогрессии разность d > 0.
Убывающей, если в арифметической прогрессии разность d <0.
Постоянной, если в арифметической прогрессии d = 0.
5. Решение задач (закрепление изученного материала)
- Итак, теоретический материал рассмотрели, перейдем к практике. Вам в этом году проходить Государственную Итоговую аттестацию , и задачи связанные с арифметической прогрессией встречаются в материалах подготовки к экзамену это задание №6. Поэтому при изучении данной темы нам необходимо рассмотреть все типы задач на арифметическую прогрессию.
Сегодня мы с вами рассмотрим некоторые типы задач, которые могут Вам встретится на ОГЭ. Для этого мы переместимся на известный нам сайт Дмитрия Гущина.
Все решения выполняют учащиеся около доски с полным пояснением под руководством учителя
Задание 6 № 321663. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: …; −9; x; −13; −15; … Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x .
Решение.
Найдем разность арифметической прогрессии: Поэтому
Ответ: −11.
Задание 6 № 339063. Дана арифметическая прогрессия (an), разность которой равна 2,5, a1 = 8,7. Найдите a9.
Решение.
Член арифметической прогрессии с номером можно найти по формуле Требуется найти
Ответ: 28,7.
Задание 6 № 113. Дана арифметическая прогрессия Найдите .
Решение.
Определим разность арифметической прогрессии:
Член арифметической прогрессии с номером может быть найден по формуле
Необходимо найти , имеем:
Ответ: 23.
20 Задание 6 № 321384. В первом ряду кинозала 24 места, а в каждом следующем на 2 больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду?
Решение.
Число мест в ряду представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом и разностью Член арифметической прогрессии с номером может быть найден по формуле
Необходимо найти , имеем:
Ответ: 38.
3)Дана арифметическая прогрессия 1,3,5,7…. Составим формулу n-го члена.
Прежде чем составлять формулу для данной прогрессии запишем общую:
a1 =1 разность соседних членов арифметической прогрессии d=5-3=2
Подставим в формулу: (чему равен первый член прогрессии и разность членов прогрессии мы составили формулу для вычисления n-го члена прогрессии)
4) Дана арифметическая прогрессия:. Известно, что а5=6, d=2Найти а1
6. Самостоятельная работа (в парах)
Всем учащимся даются задачи практического содержания. Кто быстрее решит предоставляет свое решение на документ камеру и объясняет ход решения
Задача №1 Для участия в международной математической игре «Кенгуру – математика для всех» в оргкомитет необходимо подать заявку от школы. В первый день после указанного срока подали заявки 5 школ, во второй день 7 школ, а в третий 9 школ. Считая, что закономерность не будет нарушена, вычислите сколько заявок будет подано на 7-й день.
17 заявок будет подано на 7-й день
задача №2
В январе в городе произошло 60 автомобильных аварий. Благодаря мерам, предпринимаемым дорожными службами, в каждый следующий месяц число аварий становилось на 4 меньше. Сколько предположительно ожидается ДТП в 6 месяце?
ожидается дтп в 6 месяце..
задача №3
Родители ко Дню рождения своего сына Андрея решили купить и обновить ему мобильный телефон. Для этого они в первый месяц отложили 650 рублей, а в каждый последующий месяц они откладывали на 50 рублей больше, чем в предыдущий. Сколько они отложат в 10 месяц?
рублей отложат родители
7. Рефлексия, подведение итогов
У Вас на партах лежит листок, на котором напечатаны не оконченные предложения, прошу выбрать любой и закончить его
1. Сегодня я узнал…
2. Было интересно…
3. Было трудно…
4. Я выполнял задания…
5. Я понял, что…
6. Теперь я могу…
7. Я почувствовал, что…
8. Я приобрел…
9. Я научился…
10. У меня получилось…
11. Я смог…
12. Я попробую…
13. Меня удивило
14. Мне захотелось…
- Итак, ребята мы сегодня с Вами познакомились с арифметической прогрессией . что это за прогрессия?
Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом
- Запишите формулу для отыскания n-го члена прогрессии
Мы, потрудились с Вами на славу, я думаю, что этот урок поможет Вам на выпускных экзаменах. А закончить урок я хотела бы словами:
"Прогрессио – движение вперёд!"
Урок сегодня завершён,
Но каждый должен знать:
Познание, упорство, труд
Всегда к прогрессу в жизни приведут.
Структура и ход урока
№ |
Этап урока |
Название используемых ЭОР |
Деятельность учителя (с указанием действий с ЭОР, например, демонстрация) |
Деятельность ученика |
Время (в мин.) |
Формируемые УУД |
|||
Познавательные |
Регулятивные |
Коммуникативные |
личностные |
||||||
1 |
Организационный момент |
Слайд 1 Слайд 2 |
Приветствую учащихся. Создание благоприятного психологического настроя на работу. |
Приветствуют учителя, организуют свое рабочее место, демонстрируют готовность к уроку. |
1 |
Развитие умения организовать рабочую среду. |
Развитие доброжелательности и эмоциональной отзывчивости. |
||
2 |
Немного истории |
Слайд 3 |
Сообщает некоторые исторические сведения о числовой последовательности |
Принимают информацию. |
1 |
Развитие познавательных интересов. |
Умение слушать |
||
3 |
Актуализация и мотивация |
Выявляет уровень опорных знаний и способов действий знаний. Выявляет пробелы в знаниях. Активизирует знания учащихся. |
Отвечают на вопросы учителя, высказывают свои предположения. Приводят примеры последовательностей |
5 |
Умение осознанно строить речевое высказывание в устной форме. |
Определение последовательности промежуточных целей с учетом конечного результата. |
Умение слушать и вступать в диалог; постановка вопросов, умение их задавать. |
Развитие учебного сотрудничества с одноклассниками |
|
4 |
Объяснение нового материала |
Слайд 5,6,7 |
Объясняет новый материал, задает вопросы, предлагает найти закономерности |
Записывают тему урока, воспринимают новую информацию, отвечают на вопросы, ищут закономерность, делают выводы Формулируют определение арифметической прогрессии |
15 |
Умение анализировать, формулировать., строить речевые высказывания. знаково – символические действия, |
Определение целей учебной деятельности |
Умение слушать и вступать в диалог |
Развивать и проявлять интерес к новому содержанию, осознавая неполноту своих знаний. Уметь формулировать собственное мнение и позицию. |
Слайд 8 |
Ставит проблемную задачу по нахождению любого члена арифметической прогрессии. Подводит к выводу формулы н-ого члена прогрессии |
Решают, пытаются найти 1000000 член прогрессии, Выводят формулу н-ого члена прогрессии |
Умение анализировать, формулирование проблемы, выдвижение гипотез и их обоснование |
Планирование своей деятельности для решения поставленной задачи |
Умение слушать и вступать в диалог |
Уметь формулировать собственное мнение и позицию. |
|||
Слайд 9 |
Организует работу учащихся по раздаточному материалу |
Работают с дополнительным материалом |
Анализируют |
Умение слушать и вступать в диалог; постановка вопросов, умение их задавать. |
Уметь формулировать собственное мнение |
||||
5 |
5. Решение задач (закрепление изученного материала) |
Слайд 10 |
Задает вопросы, комментирует ход решения, объясняет оформление задач |
Отвечают на вопросы, предлагают ход решения, решают задачи, решение записывают в тетрадь |
7 |
Выделение и формулирование познавательной цели, рефлексия способов и условий действия. Анализ объектов и синтез |
Планирование деятельности для решения поставленной задачи |
Умение слушать и вступать в диалог, Коллективное обсуждение проблем (при необходимости) |
Уметь формулировать собственное мнение и позицию. |
6 |
6.Самостоятельная работа (в парах) |
Организует работу в парах, предлагает решить задачи практического содержания |
Решают поставленные задачи, решение записывают в тетрадь. Первый решенный выходит и объясняет свое решение |
8 |
анализировать, формулировать., строить речевые высказывания. знаково – символические действия, |
Планирование деятельности для решения поставленной за Контроль полученного результата. дачи |
Умение слушать и вступать в диалог, Коллективное обсуждение проблем (при необходимости) |
Уметь формулировать собственное мнение и позицию. Уметь самостоятельно анализировать и оценивать свои действия и действия своих товарищей |
|
7 |
7.Рефлексия, подведение итогов |
Подводит итоги урока, предлагает ответить на вопросы |
Осуществляют самооценку собственной учебной деятельности, соотносят цель и результаты, степень их соответствия. |
3 |
Выделение и формулирование познавательной цели, рефлексия способов и условий действия. |
умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли. |
дают адекватную оценку и самооценку своей учебной деятельности |
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.
Разностью арифметической прогрессии называется число, показывающее на сколько каждый последующий член больше или меньше предыдущего. Обозначают буквой d.
Формула n-ого члена арифметической прогрессии имеет вид:
Арифметические прогрессии подразделяются по способу задания:
Возрастающей, если в арифметической прогрессии разность d > 0.
Убывающей, если в арифметической прогрессии разность d <0.
Постоянной, если в арифметической прогрессии d = 0.
Обязательно запишите к себе в тетрадь:
- формулу, определяющую арифметическую прогрессию;
- формулу n-ого члена арифметической прогрессии;
- способы задания арифметической прогрессии.
Задачи, решаемые на уроке
Задание 6 № 321663. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: …; −9; x; −13; −15; …
Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x.Решение.
Определим разность арифметической прогрессии:
Член арифметической прогрессии с номером может быть найден по формуле
Необходимо найти , имеем:
Ответ: 23.
Ответ: 23
Задание 6 № 339063. Дана арифметическая прогрессия (an), разность которой равна 2,5, a1 = 8,7. Найдите a9.
Задание 6 № 113. Дана арифметическая прогрессия Найдите .
Задание 6 № 321384. В первом ряду кинозала 24 места, а в каждом следующем на 2 больше, чем в предыдущем. Сколько
мест в восьмом ряду?
Задание 6 Дана арифметическая прогрессия 1,3,5,7…. Составим формулу n-го члена.
Задачи, решаемые в парах на уроке
1 задача: Для участия в международной математической игре «Кенгуру – математика для всех» в оргкомитет необходимо подать заявку от школы. В первый день после указанного срока подали заявки 5 школ, во второй день 7 школ, а в третий 9 школ. Считая, что закономерность не будет нарушена, вычислите сколько заявок будет подано на 7-й день.
2 задача: В январе в городе произошло 60 автомобильных аварий. Благодаря мерам, предпринимаемым дорожными службами, в каждый следующий месяц число аварий становилось на 4 меньше. Сколько предположительно ожидается ДТП в 6 месяце?
3 задача: Родители ко Дню рождения своего сына Андрея решили купить и обновить ему мобильный телефон. Для этого они в первый месяц отложили 650 рублей, а в каждый последующий месяц они откладывали на 50 рублей больше, чем в предыдущий. Сколько они отложат в 10 месяц?
Выберите любое понравившееся предложение и закончите его:
1. Сегодня я узнал…
2. Было интересно…
3. Было трудно…
4. Я выполнял задания…
5. Я понял, что…
6. Теперь я могу…
7. Я почувствовал, что…
8. Я приобрел…
9. Я научился…
10. У меня получилось…
11. Я смог…
12. Я попробую…
13. Меня удивило
14. Мне захотелось…