Урок «Арифметическая прогрессия»

КОНСПЕКТ ОТКРЫТОГО УРОКА ПО МАТЕМАТИКЕ

Современный урок трудно представить без использования информационно-коммуникационных технологий. Использование электронных образовательных ресурсов (ЭОР) значительно облегчает и сокращает время подготовки учителя к уроку. ЭОРы развивают активно-деятельностные формы обучения; способствуют осознанию учащимися процесса обучения; развивают познавательную активность учащихся; способствуют достижению наивысшего возможного результата в общем развитии всех учеников, в том числе самых сильных и самых слабых; позволяют провести рефлексию знаний.

Более того, дают возможность «конструировать» школьные уроки и другие учебные занятия, определяя их оптимальное содержание, формы и методики обучения; способствует организации учебного процесса.

Задания, которые я использовала на уроке, дают возможность повторить и закрепить пройденный материал, подготовить учащихся к контрольной работе.

ПЛАН - КОНСПЕКТ УРОКА

ФИО: Кузьменко Наталья Николаевна

Место работы: ГБОУ гимназия г.Сызрани

Должность: учитель математики

Предмет: алгебра

Класс: 9

Тема и номер урока в теме: «Арифметическая прогрессия», урок 1.

Базовый учебник: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б.Суворова «Алгебра-9»

Цель урока: сформировать понятие арифметической прогрессии и ее компонентов; научить применять полученные знания при решении основных типов задач на арифметическую прогрессию.

Образовательная цель (формирование познавательных и логических УУД): формирование первоначальных представлений об арифметической прогрессии; поиск и выделение необходимой информации; подведение под понятия; выведение следствий; устанавливать причинно – следственные связи; строить логическое рассуждение и делать выводы; формирование образовательной компетентности.

Развивающая цель: (формирование регулятивных УУД) умение определять понятия, создавать обобщения; развитие умений анализировать.

Воспитательная цель (формирование личностных УУД) воспитание настойчивости в достижении цели и заинтересованности в конечном результате труда; умения слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблемы, доказывать свою точку зрения; формирование целостного мировоззрения.

Задачи:

Обеспечить осознание и усвоение понятия арифметической прогрессии и ее компонентов;

Формирование УУД при решении задач и формировании новых знаний;

Способствовать индивидуализации и дифференциации обучения с помощью информационно-коммуникационных технологий.

Тип урока: объяснение нового материала

Формы работы учащихся: индивидуальная и фронтальная работа

Оборудование: компьютер (выход в интернет), экран, доска, документ камера, акустическая система, мультимедийный проектор, раздаточный материал

Длительность: 1 урок

Структура и ход урока

Методическая литература и ЭОР

А.Г.Мордкович «Алгебра 9», учебник, «Мнемозина», 2010

А.Г.Мордкович «Алгебра 9», задачник, «Мнемозина», 2010

Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б.Суворова «Алгебра-9» 2009

Л.А.Александрова, «Самостоятельные работы. Алгебра 9», «Мнемозина», 2010

Лебединцева Е.А., Беленкова Е.Ю. Алгебра 9 класс. Задачи для обучения и развития учащихся. – М.: Интеллект-Центр, 2006.

Энциклопедия для детей. – М., Аванта +, 1997.

Лиман М.М. Школьникам о математике и математиках. – М., Просвещение, 1981.

http://ru.wikipedia.org

http://fcior.edu.ru/card/1997/opredelenie-arifmeticheskoy-progressii-svoystvo

http://math.oge.sdamgia.ru/test?theme=9

http://www.bryanskedu.net/metodik/math/didakt/

Ход урока.

Орг.момент, приветствие, пожелания.

Здравствуйте, ребята!. Садитесь, пожалуйста. Сегодняшний урок я хотела бы начать словами:

Закончился 20-ый век.

Куда стремится человек?

Изучены и космос, и моря,

Строенье звёзд и вся Земля.

Но математиков зовёт

Известный лозунг:

«Прогрессио - движение вперёд».

Я хочу, чтобы наша встреча сегодня принесла много открытий, опыта и хорошего настроения. Вместе с вами мы будем двигаться только вперёд, т.к. слово «Прогрессио» в переводе с греческого языка означает движение вперёд.

Немного истории

Сведения, связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции. На связь функции с прогрессией обратил внимание Архимед еще во времена до нашей эры.

Актуализация знаний учащихся.

Ребята, предыдущие уроки алгебры были посвящены теме «Последовательности».

Для того чтобы перейти к изучению понятия прогрессия, необходимо вспомнить некоторые понятия:

- Какая последовательность называется числовой?

- (Числовая последовательность - это функция, заданная на множестве натуральных чисел)

- Какие способы задания последовательностей вы знаете?

- (аналитический, рекуррентный, словесный)

-Что значит, последовательность задана аналитически?

-(Последовательность задана аналитически, если указана формула его n – ого члена уn = f(n)

- Что значит, последовательность задана рекуррентно?

- (Задается формула, по которой каждый следующий член находят через предыдущие члены. В случае рекуррентного способа задания функции всегда дополнительно задается один или несколько первых членов последовательности.)

- Задайте последовательность словестным способом

-(Последовательность всех неотрицательных чисел, кратных числу 5. 0; 5; 10; 15; 20; 25; ...)

4. Объяснение нового материала.

Рассмотрим с вами последовательности:

2; 6; 10; 14; 18; 22; 26…..

10 124 -6 45 76 -12 90 876 …

- Что записано на слайде?

- (числовые последовательности)

- Действительно ребята числовые последовательности, как мы с вами выяснили и этот ряд чисел бесконечный, чтобы

перечислить нам не хватит жизни. Поэтому числовые последовательности задают формулами.

- Какую особенность в записи данных последовательностей вы увидели?

-(1-я члены последовательности записаны в порядке возрастания, и каждый последующий член отличается от предыдущего ровно на 4;

- а как вы посчитали что на 4?

-(6-2=4; 10-6=4)

- Данная последовательность называется арифметической прогрессией. Она является частным случаем числовой последовательности. Обозначают , где а – это член последовательности, а n- его номер в ряду чисел..

Рассмотрим еще пример на слайде

- Если мы к первому члену данной последовательности «3» прибавим «4», то получим второй член последовательности «7», если к нему мы прибавим еще «4» то получим «11» и т.д. мы можем получить таким образом любой член последовательности.

- А что означает число 4? Число 4- это разность арифметической прогрессии, она обозначается буквой d.

- Приведите пример арифметической прогрессии

Теперь перейдем к общим рассуждениям.

Но это мы рассмотрели на примере, а если нам рассмотреть в общем виде:

Пусть нам задана числовая последовательность в которой:

а1- первый член последовательности,

а2- второй….

аn—ый член последовательности

буквой d- обозначим разность между последующим и предыдущем членом данной последовательности.

Сможем ли мы с вами сказать какая же последовательность может называться арифметической прогрессией ? Попытайтесь своими словами объяснить, что такое арифметическая прогрессия

- (Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.)

На примере мы с вами рассмотрели как можно задать следующий член последовательности, зная первый член прогрессии и разность между последующим и предыдущим членом, а как найти любой n – ый член прогрессии. Например тысячный, миллионный….Попробуйте. Пусть задана арифметическая прогрессия: 3;9;15…. Нужно найти .

Сможем мы сразу это сделать, или придется подставлять и считать.

- (это не рационально требует много времени)

- Да, ребята если мы будем считать, последовательно суммируя разность арифметической прогрессии и предыдущий член последовательности, чтобы узнать миллионный член данной прогрессии то нам потребуется, достаточно много времени.

- Но это можно сделать быстро. Для этого мы с вами выведем формулу! Путь задана арифметическая прогрессия , с первым членом и разностью d, тогда

а1=а1

а2=а1+d

a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d

a4=a3+d=a1+2d+d=a1+3d....

- Какую закономерность увидели?

( что каждый последующий член - это а1 член плюс произведение разности последующего члена и предыдущего на число меньшего на единицу чем порядковый номер члена прогрессии)

Итак формула как же будет записан n-ый член прогрессии?

, где n-номер члена, – первый член, d - разность арифметической прогрессии , аn –n-ый член этой прогрессии

- Вернемся к нашей задаче, попробуем ее решить, применяя эту формулу. Пусть задана арифметическая прогрессия: 3;9;15…. Нужно найти .

- =3, d=9-3=6 = 3+(1000000-1)6=3+999999*6=3+5999994=5999997

Молодцы!

Работа с текстом.

У Вас на столах есть распечатки текстов о арифметической прогрессии, Ваша задача прочитать этот текст и найти тот теоретический материал, который мы с вами еще не рассмотрели и назвать мне его и запишите его в свои тетради.

Арифметические прогрессии подразделяются по способу задания:

Возрастающей, если в арифметической прогрессии разность d > 0.

Убывающей, если в арифметической прогрессии разность d <0.

Постоянной, если в арифметической прогрессии d = 0.

5. Решение задач (закрепление изученного материала)

- Итак, теоретический материал рассмотрели, перейдем к практике. Вам в этом году проходить Государственную Итоговую аттестацию , и задачи связанные с арифметической прогрессией встречаются в материалах подготовки к экзамену это задание №6. Поэтому при изучении данной темы нам необходимо рассмотреть все типы задач на арифметическую прогрессию.

Сегодня мы с вами рассмотрим некоторые типы задач, которые могут Вам встретится на ОГЭ. Для этого мы переместимся на известный нам сайт Дмитрия Гущина.

Все решения выполняют учащиеся около доски с полным пояснением под руководством учителя

За­да­ние 6 № 321663. Вы­пи­са­но не­сколь­ко по­сле­до­ва­тель­ных чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии: …; −9; x; −13; −15; … Най­ди­те член про­грес­сии, обо­зна­чен­ный бук­вой x .

Ре­ше­ние.

Най­дем раз­ность ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии: По­это­му

Ответ: −11.

За­да­ние 6 № 339063. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия (an), раз­ность ко­то­рой равна 2,5, a1 = 8,7. Най­ди­те a9.

Ре­ше­ние.

Член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с но­ме­ром можно найти по фор­му­ле Тре­бу­ет­ся найти

Ответ: 28,7.

За­да­ние 6 № 113. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия   Най­ди­те  .

Ре­ше­ние.

Опре­де­лим раз­ность ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии:

Член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с но­ме­ром может быть най­ден по фор­му­ле

Не­об­хо­ди­мо найти , имеем:

Ответ: 23.

20 За­да­ние 6 № 321384. В пер­вом ряду ки­но­за­ла 24 места, а в каж­дом сле­ду­ю­щем на 2 боль­ше, чем в преды­ду­щем. Сколь­ко мест в вось­мом ряду?

Ре­ше­ние.

Число мест в ряду пред­став­ля­ет собой ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с пер­вым чле­ном и раз­но­стью Член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с но­ме­ром может быть най­ден по фор­му­ле

Не­об­хо­ди­мо найти , имеем:

Ответ: 38.

3)Дана арифметическая прогрессия 1,3,5,7…. Составим формулу n-го члена.

Прежде чем составлять формулу для данной прогрессии запишем общую:

a1 =1 разность соседних членов арифметической прогрессии d=5-3=2

Подставим в формулу: (чему равен первый член прогрессии и разность членов прогрессии мы составили формулу для вычисления n-го члена прогрессии)

4) Дана арифметическая прогрессия:. Известно, что а5=6, d=2Найти а1

6. Самостоятельная работа (в парах)

Всем учащимся даются задачи практического содержания. Кто быстрее решит предоставляет свое решение на документ камеру и объясняет ход решения

Задача №1 Для участия в международной математической игре «Кенгуру – математика для всех» в оргкомитет необходимо подать заявку от школы. В первый день после указанного срока подали заявки 5 школ, во второй день 7 школ, а в третий 9 школ. Считая, что закономерность не будет нарушена, вычислите сколько заявок будет подано на 7-й день.

17 заявок будет подано на 7-й день

задача №2

В январе в городе произошло 60 автомобильных аварий. Благодаря мерам, предпринимаемым дорожными службами, в каждый следующий месяц число аварий становилось на 4 меньше. Сколько предположительно ожидается ДТП в 6 месяце?

ожидается дтп в 6 месяце..

задача №3

Родители ко Дню рождения своего сына Андрея решили купить и обновить ему мобильный телефон. Для этого они в первый месяц отложили 650 рублей, а в каждый последующий месяц они откладывали на 50 рублей больше, чем в предыдущий. Сколько они отложат в 10 месяц?

рублей отложат родители

7. Рефлексия, подведение итогов

У Вас на партах лежит листок, на котором напечатаны не оконченные предложения, прошу выбрать любой и закончить его

1. Сегодня я узнал…

2. Было интересно…

3. Было трудно…

4. Я выполнял задания…

5. Я понял, что…

6. Теперь я могу…

7. Я почувствовал, что…

8. Я приобрел…

9. Я научился…

10. У меня получилось…

11. Я смог…

12. Я попробую…

13. Меня удивило

14. Мне захотелось…

- Итак, ребята мы сегодня с Вами познакомились с арифметической прогрессией . что это за прогрессия?

Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом

- Запишите формулу для отыскания n-го члена прогрессии

Мы, потрудились с Вами на славу, я думаю, что этот урок поможет Вам на выпускных экзаменах. А закончить урок я хотела бы словами:

"Прогрессио – движение вперёд!"

Урок сегодня завершён,

Но каждый должен знать:

Познание, упорство, труд

Всегда к прогрессу в жизни приведут.

Структура и ход урока

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

Разностью арифметической прогрессии называется число, показывающее на сколько каждый последующий член больше или меньше предыдущего. Обозначают буквой d.

Формула n-ого члена арифметической прогрессии имеет вид:

Арифметические прогрессии подразделяются по способу задания:

Возрастающей, если в арифметической прогрессии разность d > 0.

Убывающей, если в арифметической прогрессии разность d <0.

Постоянной, если в арифметической прогрессии d = 0.

Обязательно запишите к себе в тетрадь:

- формулу, определяющую арифметическую прогрессию;

- формулу n-ого члена арифметической прогрессии;

- способы задания арифметической прогрессии.

Задачи, решаемые на уроке

За­да­ние 6 № 321663. Вы­пи­са­но не­сколь­ко по­сле­до­ва­тель­ных чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии: …; −9; x; −13; −15; …

Най­ди­те член про­грес­сии, обо­зна­чен­ный бук­вой x.Ре­ше­ние.

Опре­де­лим раз­ность ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии:

Член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с но­ме­ром может быть най­ден по фор­му­ле

Не­об­хо­ди­мо найти , имеем:

Ответ: 23.

Ответ: 23

За­да­ние 6 № 339063. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия (an), раз­ность ко­то­рой равна 2,5, a1 = 8,7. Най­ди­те a9.

За­да­ние 6 № 113. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия   Най­ди­те  .

За­да­ние 6 № 321384. В пер­вом ряду ки­но­за­ла 24 места, а в каж­дом сле­ду­ю­щем на 2 боль­ше, чем в преды­ду­щем. Сколь­ко

мест в вось­мом ряду?

Задание 6 Дана арифметическая прогрессия 1,3,5,7…. Составим формулу n-го члена.

Задачи, решаемые в парах на уроке

1 задача: Для участия в международной математической игре «Кенгуру – математика для всех» в оргкомитет необходимо подать заявку от школы. В первый день после указанного срока подали заявки 5 школ, во второй день 7 школ, а в третий 9 школ. Считая, что закономерность не будет нарушена, вычислите сколько заявок будет подано на 7-й день.

2 задача: В январе в городе произошло 60 автомобильных аварий. Благодаря мерам, предпринимаемым дорожными службами, в каждый следующий месяц число аварий становилось на 4 меньше. Сколько предположительно ожидается ДТП в 6 месяце?

3 задача: Родители ко Дню рождения своего сына Андрея решили купить и обновить ему мобильный телефон. Для этого они в первый месяц отложили 650 рублей, а в каждый последующий месяц они откладывали на 50 рублей больше, чем в предыдущий. Сколько они отложат в 10 месяц?

Выберите любое понравившееся предложение и закончите его:

1. Сегодня я узнал…

2. Было интересно…

3. Было трудно…

4. Я выполнял задания…

5. Я понял, что…

6. Теперь я могу…

7. Я почувствовал, что…

8. Я приобрел…

9. Я научился…

10. У меня получилось…

11. Я смог…

12. Я попробую…

13. Меня удивило

14. Мне захотелось…

Урок «Арифметическая прогрессия»