Разработка урока по теме «Сумма n первых членов геометрической прогрессии» (Алгебра, 9 класс)

Сумма n первых членов геометрической прогрессии

Основные формулы Прогрессии Арифметическая Геометрическая Определение Формула n-го члена. Свойство Сумма n-первых членов ?

Тест Вариант 1 Вариант 2 1. Какая из последовательностей является геометрической прогрессией 1) 1; 3; 4; 6; … 2) 1; 1/3; 1/6; 1/9; … 3) 5; 10; 25; 100; … 4) 3; 1; 1/3; 1/9; … 1. Какая из последовательностей является геометрической прогрессией 1) 1; 2; 3; 4; … 2) 2; 4; 6; 8; … 3) 2; 1; 1/2; 1/4; … 4) 1; 1/2; 1/3; 1/4; … 2. Дана геометрическая прогрессия (bn), q = 2, а b1 = 16. Найдите b4. 256 128 64 32 2. Дана геометрическая прогрессия (bn), q = −2, а b1 = 2. Найдите b5. 256 128 64 32

Тест 3. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: 17, 68, 272, ... Найдите b4. 1088 544 64 32 3. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: −25 ; −20 ; −16; ... Найдите b4. 1) 20 2) −12,8 3) − 20 4) 12,8 4. Выписано несколько последова-тельных членов геометрической прогрессии: … ; 150 ; x ; 6 ; 1,2 ; … Найдите x. 3 300 30 3,2 4. Выписано несколько последова-тельных членов геометрической прогрессии: … ; 2 ; x ; 18 ; −54 ; … Найдите x. 9 −9 −6 6

Ответы 1. 4 1. 3 2. 2 2. 4 3. 1 3. 2 4. 3 4. 3

Магницкий Леонтий Филлипович – русский математик и педагог, преподаватель математики в Школе математических и навигацких наук в Москве, автор первого в России учебного пособия по математике Магницкий Л.Ф. 1669-1739)

Задача из арифметики Магницкого Некто продал лошадь за 156 рублей. Но покупатель, обретя лошадь, раздумал и возвратил продавцу, говоря: «Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит». Тогда продавец предложил другие условия: «Если ,по-твоему, цена  лошади высока, то купи ее подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне 1/4 коп., за второй - 1/2коп., за третий - 1коп., и т.д.» Покупатель, соблазненный низкой ценой, и желая даром получить  лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. На сколько проторговался покупатель?

Решение: 1. Составим последовательность чисел 2. Данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем q =2; n = 24. 3. Попытаемся подсчитать сумму Проблема: Как вычислить? Нельзя ли решить эту задачу проще? Можно ли вывести формулу для решения данной задачи?

Легенда о геометрической прогрессии

Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку. Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.

-Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал, -сказал царь. -Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание, - продолжал царь. Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее. -Повелитель, - сказал Сета, - прикажи выдать мне столько зёрен риса, сколько получиться в сумме, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно риса. На вторую клетку - 2 зерна, на третью - 4, на четвертую - 8, на пятую - 16, на шестую -32,…, увеличивая число зёрен каждый раз вдвое.

- Довольно, - с раздражением прервал его царь. – Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моей милостью. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с рисом Сета улыбнулся хитро, покинул дворец и стал дожидаться у ворот дворца.

Почему так хитро улыбнулся Сета? Мог ли индусский царь выполнить желание Сеты? Об этом ты узнаешь чуточку позже. А сейчас поподробнее рассмотрим последовательность чисел, соответствующих количеству зерен риса, если, как попросил Сета, за каждую следующую клетку нужно дать вдвое больше, чем было в предыдущей. Получается последовательность: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,…. Или ,где Нужно найти

Решение / ∙ 2 Сгруппируем в этих равенствах одинаковые слагаемые и вычтем из второго равенства первое, получим

Решение Это заведомо превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени. Такое количество пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000 раз большей поверхности Земли. А утром царю доложили, что старшина придворных математиков просит выслушать важное донесение. - Не в твоей власти ,повелитель, исполнить подобное желание. Во всех амбарах твоих нет такого числа зерен, что потребовал Сета. Нет его и в житницах целого царства. Не найдется такого числа зерен и на всем пространстве Земли. С изумлением внимал царь словам старца. - Назови же мне это чудовищное число,- сказал он в раздумье. -О, повелитель! 18 446 744 973 709 551 615 18 квинтиллионов, 446 квадриллионов, 744 триллионов, 973 миллиарда, 709 миллионов, 551 тысяча и 615зерен!

Основные формулы Прогрессии Арифметическая Геометрическая Определение Формула n-го члена. Свойство Сумма n-первых членов ?

Ваше настроение