ЛАПКО ИРИНА ВАЛЕНТИНОВНА

Доказательства теоремы Пифагора

Материал опубликован 28 August 2018 в группе

Математика - наука великая

541

5057

Автор публикации: М. Дубицкая, ученица 11А класса

Доказательства теоремы Пифагора

Выполнила:

ученица 11 А класса

Дубицкая Милена

Руководитель:

учитель математики

Лапко Ирина Валентиновна

Содержание

Введение

Основная часть

1. Биография Пифагора

2. Из истории теоремы Пифагора

3. Пять способов доказательства теоремы Пифагора

3.1 Древнекитайское доказательство

3.2. Доказательство простейшее

3.3. Доказательство Хоукинсa

3.4. Доказательство Вальдхейма

3.5. Доказательство Евклида

Заключение

Список литературы

Введение

Теорема Пифагора с древнейших лет употребилась в разных спектрах науки, техники и жизни. О ней писали в своих произведениях римский архитектор и инженер Витрувий, греческий писатель-моралист Плутарх, греческий учёный 3 в. Диоген Лаэрций и многие другие. Существует легенда о том, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву быка или, как рассказывают другие, сто быков. Именно она послужила поводом для юмора в рассказах писателей и в стихах поэтов. Поэт Генрих Гейне(1797-1856), который славился антирелигиозными взглядами и язвительными насмешками над суевериями, в одном из своих произведений высмеивает «учение» о переселении душ следующим образом: «Кто знает! Кто знает! Душа Пифагора поселилась, быть может, бедняку - кандидата, не сумевшего доказать теоремы Пифагора и поэтому провалившегося на экзамене, тогда как в его экзаменаторах обитают души тех самых быков, которых некогда Пифагор принес в жертву бессмертным богам, обрадованный открытием своей теоремы». Возникновение Пифагоровой теоремы начинается задолго до Пифагора. В течение многих лет были сделаны самые разные доказательства теоремы Пифагора.

Цель : узнать историю возникновения доказательства теоремы Пифагора, повысить интерес к точным наукам у учеников. Увидеть сходства и различия между доказательствами.

Задачи :

1) Узнать об учёных ,которые доказали теорему.

2) Узнать об истории доказательства теоремы.

3) Проанализировать другие доказательства.

3) Сделать выводы.

Методы исследования:

1) Изучение и анализ литературы по данной теме.

2) Использование Интернет-ресурсов.

1. Биография Пифагора

Пифагор Самосский (570—490 гг. до н. э.) — философ, математик, основатель религиозно-философской школы пифагорейцев.

Родители Пифагора жили на острове Самос. В одних источниках отец ученого был камнерезом, а в других – богатым купцом. Мать Пифагора была из знатного рода Анкея, который являлся основателем греческой колонии Самоса. По преданию рождение ученого предсказала Пифия в Дельфах. Отметим, что имя Пифагор буквально значит «тот, о ком объявила Пифия». Ученый родился в Сидоне Финикийском.

Античные авторы утверждают, что Пифагор общался со многими известными мудрецами своей эпохи (греками, халдеями, персами, египтянами). В частности, еще в юности он отправился в Египет, где познакомился с местными жрецами. Некоторые авторы утверждают, что он проник в таинства, которые были запретны для чужеземцев.

Затем Пифагор в числе пленников персидского царя Камбиза попал Вавилон. Здесь он пробыл около 12 лет, пока не вернулся на Самос в 56-летнем возрасте. Античные авторы отмечают, что по возращению на родину соотечественники признали его мудрецом.

Но существует и другая версия. В частности, по Порфирию, ученый в 40-летнем возрасте покинул родину, потому что был не согласен с тиранической властью Поликрата. Таким образом, неизвестно, посещал ли математик Вавилон и Египет. Хотя современные историки утверждают, что Пифагор мог покинуть Самос не столько из-за разногласий с властью, сколько из желания проповедовать свое учение. Если придерживаться этого мнения, то покинув родину, Пифагор поселился в Кротоне (Южная Италия). Здесь он нашел много последователей, которых привлекала его философия и образ жизни.

Ученики Пифагора образовали своеобразное братство посвященных, которое состояло из касты отобранных единомышленников, обожествляющих своего учителя. Долгое время он имел огромное влияние в упомянутой греческой колонии. Но из-за в антипифагорейских настроений в Кротоне философ вынужден был перебраться в Метапонт, где и скончался. Так, существует легенда, будто удрученный Пифагор уморил себя голодом.

Последователи Пифагора пытались изменить законодательство в своих городах. Но большинство населения не разделяло идеалов философа, что вылилось в мятежи в Таренте и Кротоне. Многие пифагорейцы погибли в этих стычка, а другие рассеялись по Греции и Италии. Порфирий отмечает, что и сам Пифагор погиб во время антипифагорейского мятежа в Метапонте.

2. Из истории теоремы Пифагора

На сегодняшний день известно, что эта теорема не была доказана Пифагором. Но некоторые думают, что именно Пифагор полностью доказал её, а другие отрицают этот факт. Многие отдают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих "Начал". Однако, Прокл утверждает, что доказательство в "Началах" принадлежит самому Евклиду.

Как нам видно, история мало что сохранила о Пифагоре и его математической жизни. Но легенда ведает близкую информацию, сопровождающую открытие теоремы.

Историю теоремы Пифагора начнем с древнего Китая. Здесь особую роль играет математическая книга Чупей. В этом произведении рассказывается о треугольнике Пифагора со сторонами 3, 4 и 5 следующее:

"Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4" .

С лёгкостью можно изобразить способ построения. К верёвке длиною в 12 м. привяжем по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого.

Прямой угол сосредоточится между сторонами длиной в 3 и 4 метра. В этой книге изображён рисунок, который сопоставляется с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) утверждает, что равенство 3 І + 4 І = 5І знали египтяне около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета.

Он был уверен, что "натягиватели веревок" проектировали прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Немного больше знали о теореме Пифагора вавилоняне. В некотором рассказе, прилежащем ко времени Хаммураби, т.е. к 2000 году до нашей эры, повествуется приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника; следовательно, в Двуречье могли вычислять прямоугольные треугольниками в несложных случаях.

У индусов геометрия пересекалась с культом. Из этого следует, что о теореме, о квадрате гипотенузы знали в Индии около 8 века до нашей эры.

В средние века теорема Пифагора определяла границу, если не наибольших возможных, то, по крайней мере, хороших математических знаний. Весьма узнаваемый чертеж теоремы Пифагора, который и сейчас рисуется учениками, например, в облаченного в мантию профессора или человека в цилиндре, в те времена часто употреблялся как символ математики.

Приведем иные интерпретации теоремы Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков.

Теорема Евклида гласит:

"В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол".

Латинский перевод арабского текста Аннариции (около 900 года до нашей эры), сделанный Герхардом Кремонским (12 век) гласит (в переводе):

«Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол»

В Geometry Culmonensis (около 1400года) теорема читается так (в переводе):

“Итак, площадь квадрата, измеренного по длиной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу”

В русском переводе «Начал» Евклида, теорема Пифагора изображена так: «В прямоугольном треугольнике квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол».

Можно заметить, во многих странах и многих языках существуют разные варианты трактовки всем известной теоремы. Появившиеся в различное время и в различных языках, они показывают задачи одной математической закономерности, доказательство которой имеет много вариантов.

3. Пять способов доказательства теоремы Пифагора.

3.1. Древнекитайское доказательство.

На древнекитайском чертеже (приложение 1) четыре равных прямоугольных треугольника с катетами a , b и гипотенузой с расположены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной a + b , а внутренний - квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе:

a2 + 2ab +b2 = c2 + 2ab

a2 +b2 = c2

3.2. Доказательство простейшее.

Это доказательство получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Видимо, с него и начиналась теорема.

Оказывается, стоит только посмотреть на сетку равнобедренных прямоугольных треугольников (приложение 2), чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника АВС: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по два.

Теорема доказана.

3.3. Доказательство Хоукинсa.

Приведем еще одно доказательство, которое имеет вычислительный характер, однако сильно отличается от всех предыдущих. Оно опубликовано англичанином Хоукинсом в 1909 году; было ли оно известно до этого- трудно сказать. Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C (приложение 3) повернем на 90° так, чтобы он занял положение A'CB'. Продолжим гипотенузу A'В' за точку A' до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В'D будет высотой треугольника В'АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A'АВ'В . Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA' и СВВ' (или на два треугольника A'В'А и A'В'В).

SCAA'=b²/2

SCBB'=a²/2

SA'AB'B=(a²+b²)/2

Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание с и высоты DA и DB, поэтому :

SA'AB'B=c*DA/2+ c*DB/2=c(DA+DB)/2=c²/2

Сравнивая два полученных выражения для площади, получим:

a²+b²=c²

Теорема доказана.

3.4. Доказательство Вальдхейма.

Это доказательство также имеет вычислительный характер. Можно использовать рисунки для доказательства основанного на вычислении площадей двумя способами.

Для того чтобы доказать теорему пользуясь рисунком (приложение 4) достаточно только выразить площадь трапеции двумя путями.

Sтрапеции=(a+b)²/2

Sтрапеции=a²b²+c²/2

Приравнивая правые части получим:

a²+b²=c²

Теорема доказана

3.5. Доказательство Евклида

Как в доказательствах методом разложения, так и при доказательстве евклидового типа можно исходить из любого расположения квадратов. Иногда при этом удается достигнуть упрощений.

Пусть квадрат, построенный на одном из катетов (на рисунке это квадрат, построенный на большем катете), расположен с той же стороны катета, что и сам треугольник (приложение 5). Тогда продолжение противоположной катету стороны этого квадрата проходит через вершину квадрата, построенного на гипотенузе. Доказательство в этом случае оказывается совсем простым, т. к. здесь достаточно сравнить площади интересующих нас фигур с площадью одного треугольника(он заштрихован) - площадь этого треугольника равна половине площади квадрата и одновременно половине площади прямоугольника.

Заключение

Теорема Пифагора стала очень известной, что невозможно представить себе человека, который не знает о ней. Я познакомилась с некоторыми историческими и математическими источниками, а также с информацией в Интернете, и обнаружила, что теорема Пифагора уникальна как своей историей, так и она является важным местом в жизни и науке. На это указывают данные мною в этом проекте трактовки текста этой теоремы и пути её доказательств.

Заметим, теорема Пифагора - одна из основных и, кажется, самая главная теорема геометрии. Её значение состоит в том, что с помощью теоремы можно вывести огромное количество теорем геометрии. Теорема Пифагора интересна тем, что она совсем не очевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно заметить непосредственно на чертеже. Но как долго не смотри на прямоугольный треугольник, никак незаметно, что между его сторонами есть простое соотношение. Поэтому для её доказательства обычно используют чертежи.

Заслуга же Пифагора состояла в том, что он дал полноценное научное доказательство этой теоремы.

Интересна личность самого учёного, память о котором неслучайно сохранила эта теорема. Пифагор - замечательный оратор, учитель и воспитатель, организатор своей школы, ориентированной на гармонию музыки и чисел, добра и справедливости, на знания и здоровый образ жизни. Он вполне может служить примером для нас, далёких потомков.

Приложения

Приложение 1