Исследовательская работа «Ось симметрии для функции заданная в виде суммы трех линейных функций, содержащих знак модуль»

Исследовательская работа

«Ось симметрии для функции заданная в виде суммы трех линейных функций, содержащих знак модуль»

Автор работы:

Чугунова Надежда, 9 класс

ГУО «Средняя школа №25 г. Могилева»

Балуков Павел, 9 класс

ГУО «Средняя школа №25 г.

Руководитель работы:

Ахременко Марина Анатольевна, учитель, магистр педагогических наук,

ГУО «Средняя школа №25 г. Могилева»

г.Могилев,2022

СОДЕРЖАНИЕ

При подготовке к олимпиаде по математике нужно было решить задание «Решите уравнение |x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-10|+10=x». На уроках проходили тему «Линейная функция. График линейной функции» возник вопрос, а как будет выглядеть график функции у=|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-10| (ПРИЛОЖЕНИЕ А). Для того чтобы построить график этой функции стали изучать как выглядит график суммы двух модулей, трех модулей и т.д.

Цель работы: описать функцию заданная в виде суммы двух и трех линейных функций, содержащих знак модуль

В связи с поставленной целью появляются следующие задачи:

изучить линейную функцию;

изучить функцию модуля у= |x|

описать функцию у= |x-a|+|x-b|, где а < b.;

описать функцию у= |x-a|+|x-b|+|x–с|, где а < b < c.

При рассмотрении функции у= |x-a|+|x-b|+|x–с|, где а < b < c появилась гипотеза: для всех функции вида у= |x-a|+|x-b|+|x–с|, где а < b < c существует ли ось симметрии x = b.

Предметом исследования являются функции.

Объектом исследования данной работы является функция, заданная в виде суммы трех линейных функций, содержащих знак модуль.

Зависимость между двумя переменными, при которой каждому значению одной переменной соответствует единственное значение другой переменной, называется функциональной зависимостью или функцией. [1, с. 207]

Одну из переменных называют аргументом, а другую — функцией от данного аргумента.

Определение. Множество всех значений, которые принимает аргумент, называется областью определения функции. [1, с. 210]

Определение. Все значения, которые принимает функция, называются множеством значений функции. [1, с. 210]

Определение. Значения аргумента, при которых значения функции равны нулю, называются нулями функции. [1, с. 212]

Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — значениям функции. [1, с. 213]

Определение. Функция вида y = kx + b, где k и b — некоторые числа, а x и y — переменные, называется линейной функцией. [1, с. 227]

Определение. Число k называется угловым коэффициентом прямой, являющейся графиком функции y = kx + b. [1, с. 233].

Рассмотрим функции y = kx + b .

1. Область определения функции y = kx + b: D = ℝ.

2. Множество значений функции y = kx + b: Е = ℝ.

3. Нули функции y = kx + b, если k≠0: у=0, х=, т.е. . Если k=0, то прямая параллельна оси абсцисс.

4. Пересечение линейной функции с осью ординат в точке (0; b) .

5. Промежутки знака постоянства функции y = kx + b.

6. Графиком линейной функции является прямая.

По угловому коэффициенту k можно определить угол наклона прямой к оси абсцисс.

1. Если k > 0, то прямая образует с положительным направлением оси абсцисс острый угол (рис. 1.1).

2. Если k < 0, то прямая образует с положительным направлением оси абсцисс тупой угол (рис. 1.2).

3. Если k = 0, то прямая параллельна оси абсцисс (рис. 1.3).

Определение. Модуль числа [2, с. 240]

Рассмотрим функции у= |x|

1. Область определения функции у= |x|: D = ℝ.

2. Множество значений функции у= |x|: Е =

3. Нули функции у= |x|: у=0, х=0, т.е. (0;0).

4 Промежутки знака постоянства функции у= |x|.

5. График функции у= |x| ( рис.2.1).

Рисунок 2.1

Рассмотрим функцию, заданную в виде суммы линейных функций, содержащих знак модуль.

Рассмотрим функцию у= |x-a|+|x-b|, где а < b.

Во-первых разобьем числовую ось на промежутки точками, в которых

x-a и x-b , обращаются в нуль. Получаем . Учитывая условие а < b, разбиваем на промежутки

Затем в каждом промежутке раскроем модуль.

Если , то у= |x–a|+|x–b| , у= -(x-a) –(x-b)= –2х+a+b. Графиком функции у= – 2х+a+b является прямая с угловым коэффициентом k= –2, убывающая на всем промежутке.

Если , то у= |x-a|+|x-b| , у= x–a–x+b= b – a. Графиком функции у= b – a является прямая, параллельная оси абсцисс, проходящая через точку (b – a;0).

Если , то у= |x–a|+|x–b| , у= x–a+x–b=2х–a–b = 2х–(a+b). Графиком функции у= 2х– (a+b)является прямая с угловым коэффициентом k=2, возрастающая на всем промежутке.

1. Область определения функции у= |x-a|+|x-b|, где а < b: D = ℝ.

2. Множество значений функции у= |x-a|+|x-b|, где а < b: Е =

3. Нули функции у= |x-a|+|x-b|, где а < b нет.

4. Промежутки знака постоянства функции у= |x-a|+|x-b|, где а < b:

5. Монотонность функции у= |x-a|+|x-b|, где а < b:

функция убывает на промежутке ;

монотонная функция на промежутке;

функция возрастает на промежутке .

6. Построим график функции у= |x–a|+|x–b| (рис. 2.2)

Рисунок 2.2

ПРИМЕР 1. Построить график функции у= |x-1|+|x-2| (рис 2.3)

ПРИМЕР 2. Построить график функции у= |x+4|+|x-2| (рис 2.4)

Рисунок 2.4

График функция заданная формулой у= |x-a|+|x-b|, где а < b состоит из трех прямых ограниченных на промежутках:

.

Рассмотрим функцию, заданную в виде суммы трех линейных функций, содержащих знак модуль.

Рассмотрим функцию у= |x-a|+|x-b|+|x–с|, где а < b < c. Во-первых разобьем числовую ось на промежутки точками, в которых x-a и x-b и x–с, обращаются в нуль слагаемые функции. Получаем . Учитывая условие

а < b< c, разбиваем на промежутки

Затем в каждом промежутке раскроем модуль.

Если , то у= |x–a|+|x–b|+|x–с| , у = – (x-a) –(x-b) – (x-c)=

= –3х+a+b+c. Графиком функции у= – 3х+a+b+c является прямая с угловым коэффициентом k= –3, убывающая на всем промежутке.

Если , то у= |x-a|+|x-b|+|x–с|, у= x–a–x+b–x+c = –x – a +b +c. Графиком функции у= –x +b +c– a является прямая с угловым коэффициентом k= –1, убывающая на всем промежутке.

Если , то у= |x-a|+|x-b|+|x–с|, у= x–a+x–b–x+c = x – a – b +c. Графиком функции y= x – a – b +c является прямая с угловым коэффициентом k= 1, возрастающая на всем промежутке.

Если , то у= |x-a|+|x-b|+|x–с|, у= x–a+x–b+x–c=3х -(a+b+c). Графиком функции y= x – a – b +c является прямая с угловым коэффициентом k= 3, возрастающая на всем промежутке.

Вершина функции у= |x-a|+|x-b|+|x–с| является точка (b; -а+с).

1. Область определения функции у= |x-a|+|x-b|+|x–с|, где а < b < c: D = ℝ.

2. Множество значений функции у= |x-a|+|x-b|+|x–с|, где а < b < c:

Е =

3. Нули функции у= |x-a|+|x-b|+|x–с|, где а < b < c нет.

4. Промежутки знака постоянства функции у= |x-a|+|x-b|+|x–с|, где а < b < c:

5. Монотонность функции у= |x-a|+|x-b|+|x–с|, где а < b < c:

функция убывает на промежутке ;

функция возрастает на промежутке .

6. Построим график функции у= |x–a|+|x–b| (рис. 2.4.1)

ПРИМЕР 3: Построим график функции у= |x–1|+|x–2|+|x–3| (рис.2.5)

Рисунок 2.5

Графики этих функций симметричны относительно прямой х= 2.

у= |x–1|+|x–2|+|x–3|

Возможно ли, что ось симметрии будет у любой такой функции, для этого рассмотрим еще один пример.

ПРИМЕР 4. Построим график функции у= |x–1|+|x–4|+|x–8|(рис.2.6)

Рисунок 2.6

У графика функции у= |x–1|+|x–4|+|x–8| оси симметрии нет.

Чем различаются две функции?

у= |x–1|+|x–2|+|x–3| и у= |x–1|+|x–4|+|x––8|? Числа 1, 2 и 3 числа идут подряд, каждое следующее на 1 больше, чем предыдущее, у второй функции закономерности такой не наблюдается. Рассмотрим примеры, когда числа

b –а=с– b. В таких функциях можно предположить, что ось симметрии является прямая х= b.

ПРИМЕР 5: Построим график функции у= |x+1|+|x–3|+|x–7| (рис.2.7).

а = -1, b=3, с=7, 3 –(–1)= 7– 3, 4 = 4, b –а= с– b. Учитывая, предположение, ось симметрии будет задана формулой х= 3.

Вершина данной функции в точке (3;8).

исунок 2.7

Рассмотрим функцию у= |x–a|+|x–b|+|x–с|, где а < b < c и b –а= с– b.

Прямая х=а является осью симметрии графика функции f в том и только в том случае, когда для любого х из ее области определения выполняется равенство f(a+х)=f(a-х) .[3].

Теорема: Ось симметрии для функции у= |x–a|+|x–b|+|x–с| , где а < b < c и b –а= с– b является прямая х= b.

Доказательство:

Так как b – а = с – b, пусть, b – а= с – b= к, тогда а= b – к, с= b + к, следовательно функция у=|x–a|+|x–b|+|x–с| тождественно равна функции

у= |x–( b – к)|+|x–b|+|x–(b + к)|.

Если х = b-х, то у=|x–(b – к)|+|x–b|+|x–(b + к)|, у1=| b–х – b +к|+| b–х – b|+ +| b–х – b -к|=| –х +к |+|– х |+|–х –к|=|(–1)(х –к) |+|(–1) х |+|(–1)(х +к)|= |–1| х

х |х –к|+|– 1|·| х |+| –1| ·|х +к|= | (х–к) |+ |х|+| х +к| .

Если х= b + x, то у=|x–( b – к)|+|x–b|+|x–(b + к)| , у2= | b+х – b +к|+| b+х – b|+| b+х – b – к|=|х–к|+| х |+|х –к|= у1

Для функции выполняется равенство у b-х= у b+х для любого х из ее области определения, значит, осью симметрии для функции

у= |x–a|+|x–b|+|x–с| , где а < b < c и b –а= с– b является прямая х= b.

Теорема доказана.

ПРИМЕР 6: Построим график функции у= |x+4|+|x+1|+|x–2|.

Следовательно, а= – 4, b= – 1, с=2.

Вершина функции у= |x+4|+|x+1|+|x–2| в точке (-1;6).

Проверяем условие для симметрии b –а=с– b.

–1 –(–4) = 2– (–1),

3 = 3.

Значит, ось симметрии будет задана формулой х= –1. Достаточно описать только два условия

(рис. 2.8)

Рисунок 2.8 Рисунок 2.9

Осталось отобразить относительно оси симметрии. график функции

у= |x+4|+|x+1|+|x–2|(рис.2.9)

График функция заданная формулой у= |x-a|+|x-b|+|x–с|, где а < b < c, состоит из четырех частей:

Вершина функции у= |x-a|+|x-b|+|x–с| является точка (b; -а+с).

Не для любой функции вида у= |x-a|+|x-b|+|x–с|, где а < b < c можно задать ось симметрии. Её можно задать, если будет выполняться условие

b –а =с– b , тогда существует ось симметрии заданная формулой х= b, графиком является прямая параллельная оси ординат, проходящая через точку (b,0). В это случае достаточно построить два условия:

а другие отобразить относительно оси симметрии.

Для написания данной работы были выполнены следующие действия:

описана функция заданная формулой у= |x-a|+|x-b|, где а < b. Эта функция состоит из трех прямых ограниченных на промежутках:

.

описана функция заданная формулой у= |x-a|+|x-b|+|x–с|,

где а < b < c. Она состоит из четырех частей:

Вершина функции у= |x-a|+|x-b|+|x–с| является точка (b; -а+с).

Не для любой функции вида у= |x-a|+|x-b|+|x–с|, где а < b < c можно задать ось симметрии. Её можно задать, если будет выполняться условие

b –а =с– b , тогда существует ось симметрии заданная формулой х= b, графиком, которой является прямая параллельная оси ординат, проходящая через точку (b,0). В это случае достаточно построить два условия:

а другие отобразить относительно оси симметрии.

Я планирую продолжить изучение этой темы рассматривая функцию, заданную в виде суммы четырех, пяти и т.д. линейных функций, содержащих знак модуль и объединить все в виде сумм четных и нечетных слагаемых.

Данный материал можно применять при подготовке к олимпиадам и централизованному тестированию по математике.

Арефьева, И.Г. Алгебра: учебное пособие для 7-го класса учреждений общего среднего образования с русским языком обучения / И. Г. Арефьева, О. Н. Пирютко. — Минск: Народная асвета, 2018. — 316 с. : ил.

Арефьева, И.Г. Алгебра: учебное пособие для 8-го класса учреждений общего среднего образования с русским языком обучения / И. Г. Арефьева, О. Н. Пирютко. — Минск: Народная асвета, 2017. — 269 с. : ил.

Симметрии графиков функций [Электронный ресурс]. – Режим доступа https://matemonline.com/2013/03/symmetry-of-graphs-of-functions/– Дата доступа: 21.11.2020

ГРАФИК ФУНКЦИИ у=|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-10|