Исследовательская работа «Ось симметрии для функции заданная в виде суммы трех линейных функций, содержащих знак модуль»

Исследовательская работа

«Ось симметрии для функции заданная в виде суммы трех линейных функций, содержащих знак модуль»

Автор работы:

Чугунова Надежда, 9 класс

ГУО «Средняя школа №25 г. Могилева»

Балуков Павел, 9 класс

ГУО «Средняя школа №25 г.

Руководитель работы:

Ахременко Марина Анатольевна, учитель, магистр педагогических наук,

ГУО «Средняя школа №25 г. Могилева»

г.Могилев,2022

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

При подготовке к олимпиаде по математике нужно было решить задание «Решите уравнение |x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-10|+10=x». На уроках проходили тему «Линейная функция. График линейной функции» возник вопрос, а как будет выглядеть график функции у=|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-10| (ПРИЛОЖЕНИЕ А). Для того чтобы построить график этой функции стали изучать как выглядит график суммы двух модулей, трех модулей и т.д.

Цель работы: описать функцию заданная в виде суммы двух и трех линейных функций, содержащих знак модуль

В связи с поставленной целью появляются следующие задачи:

изучить линейную функцию;

изучить функцию модуля у= |x|

описать функцию у= |x-a|+|x-b|, где а < b.;

описать функцию у= |x-a|+|x-b|+|x–с|, где а < b < c.

При рассмотрении функции у= |x-a|+|x-b|+|x–с|, где а < b < c появилась гипотеза: для всех функции вида у= |x-a|+|x-b|+|x–с|, где а < b < c существует ли ось симметрии x = b.

Предметом исследования являются функции.

Объектом исследования данной работы является функция, заданная в виде суммы трех линейных функций, содержащих знак модуль.

ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ 1.1. Функция

Зависимость между двумя переменными, при которой каждому значению одной переменной соответствует единственное значение другой переменной, называется функциональной зависимостью или функцией. [1, с. 207]

Одну из переменных называют аргументом, а другую — функцией от данного аргумента.

Определение. Множество всех значений, которые принимает аргумент, называется областью определения функции. [1, с. 210]

Определение. Все значения, которые принимает функция, называются множеством значений функции. [1, с. 210]

Определение. Значения аргумента, при которых значения функции равны нулю, называются нулями функции. [1, с. 212]

Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — значениям функции. [1, с. 213]

1.2. Линейная функция

Определение. Функция вида y = kx + b, где k и b — некоторые числа, а x и y — переменные, называется линейной функцией. [1, с. 227]

Определение. Число k называется угловым коэффициентом прямой, являющейся графиком функции y = kx + b. [1, с. 233].

Рассмотрим функции y = kx + b .

1. Область определения функции y = kx + b: D = ℝ.

2. Множество значений функции y = kx + b: Е = ℝ.

3. Нули функции y = kx + b, если k≠0: у=0, х=, т.е. . Если k=0, то прямая параллельна оси абсцисс.

4. Пересечение линейной функции с осью ординат в точке (0; b) .

5. Промежутки знака постоянства функции y = kx + b.

6. Графиком линейной функции является прямая.

По угловому коэффициенту k можно определить угол наклона прямой к оси абсцисс.

1. Если k > 0, то прямая образует с положительным направлением оси абсцисс острый угол (рис. 1.1).

2. Если k < 0, то прямая образует с положительным направлением оси абсцисс тупой угол (рис. 1.2).

3. Если k = 0, то прямая параллельна оси абсцисс (рис. 1.3).

ГЛАВА 2. ФУНКЦИЯ, ЗАДАННАЯ В ВИДЕ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ЗНАК МОДУЛЬ 2.1 Функция у= |x|

Определение. Модуль числа [2, с. 240]

Рассмотрим функции у= |x|

1. Область определения функции у= |x|: D = ℝ.

2. Множество значений функции у= |x|: Е =

3. Нули функции у= |x|: у=0, х=0, т.е. (0;0).

4 Промежутки знака постоянства функции у= |x|.

5. График функции у= |x| ( рис.2.1).

Рисунок 2.1

2.2 Функция у= |x–a|+|x–b|

Рассмотрим функцию, заданную в виде суммы линейных функций, содержащих знак модуль.

Рассмотрим функцию у= |x-a|+|x-b|, где а < b.

Во-первых разобьем числовую ось на промежутки точками, в которых

x-a и x-b , обращаются в нуль. Получаем . Учитывая условие а < b, разбиваем на промежутки

Затем в каждом промежутке раскроем модуль.

Если , то у= |x–a|+|x–b| , у= -(x-a) –(x-b)= –2х+a+b. Графиком функции у= – 2х+a+b является прямая с угловым коэффициентом k= –2, убывающая на всем промежутке.

Если , то у= |x-a|+|x-b| , у= x–a–x+b= b – a. Графиком функции у= b – a является прямая, параллельная оси абсцисс, проходящая через точку (b – a;0).

Если , то у= |x–a|+|x–b| , у= x–a+x–b=2х–a–b = 2х–(a+b). Графиком функции у= 2х– (a+b)является прямая с угловым коэффициентом k=2, возрастающая на всем промежутке.

1. Область определения функции у= |x-a|+|x-b|, где а < b: D = ℝ.

2. Множество значений функции у= |x-a|+|x-b|, где а < b: Е =

3. Нули функции у= |x-a|+|x-b|, где а < b нет.

4. Промежутки знака постоянства функции у= |x-a|+|x-b|, где а < b:

5. Монотонность функции у= |x-a|+|x-b|, где а < b:

функция убывает на промежутке ;

монотонная функция на промежутке;

функция возрастает на промежутке .

6. Построим график функции у= |x–a|+|x–b| (рис. 2.2)

Рисунок 2.2

ПРИМЕР 1. Построить график функции у= |x-1|+|x-2| (рис 2.3)

ПРИМЕР 2. Построить график функции у= |x+4|+|x-2| (рис 2.4)

Рисунок 2.4

График функция заданная формулой у= |x-a|+|x-b|, где а < b состоит из трех прямых ограниченных на промежутках:

.

2.3 Функция у= |x–a|+|x–b|+|x–с|

Рассмотрим функцию, заданную в виде суммы трех линейных функций, содержащих знак модуль.

Рассмотрим функцию у= |x-a|+|x-b|+|x–с|, где а < b < c. Во-первых разобьем числовую ось на промежутки точками, в которых x-a и x-b и x–с, обращаются в нуль слагаемые функции. Получаем . Учитывая условие

а < b< c, разбиваем на промежутки

Затем в каждом промежутке раскроем модуль.

Если , то у= |x–a|+|x–b|+|x–с| , у = – (x-a) –(x-b) – (x-c)=

= –3х+a+b+c. Графиком функции у= – 3х+a+b+c является прямая с угловым коэффициентом k= –3, убывающая на всем промежутке.

Если , то у= |x-a|+|x-b|+|x–с|, у= x–a–x+b–x+c = –x – a +b +c. Графиком функции у= –x +b +c– a является прямая с угловым коэффициентом k= –1, убывающая на всем промежутке.

Если , то у= |x-a|+|x-b|+|x–с|, у= x–a+x–b–x+c = x – a – b +c. Графиком функции y= x – a – b +c является прямая с угловым коэффициентом k= 1, возрастающая на всем промежутке.

Если , то у= |x-a|+|x-b|+|x–с|, у= x–a+x–b+x–c=3х -(a+b+c). Графиком функции y= x – a – b +c является прямая с угловым коэффициентом k= 3, возрастающая на всем промежутке.

Вершина функции у= |x-a|+|x-b|+|x–с| является точка (b; -а+с).

1. Область определения функции у= |x-a|+|x-b|+|x–с|, где а < b < c: D = ℝ.

2. Множество значений функции у= |x-a|+|x-b|+|x–с|, где а < b < c:

Е =

3. Нули функции у= |x-a|+|x-b|+|x–с|, где а < b < c нет.

4. Промежутки знака постоянства функции у= |x-a|+|x-b|+|x–с|, где а < b < c:

5. Монотонность функции у= |x-a|+|x-b|+|x–с|, где а < b < c:

функция убывает на промежутке ;

функция возрастает на промежутке .

6. Построим график функции у= |x–a|+|x–b| (рис. 2.4.1)

ПРИМЕР 3: Построим график функции у= |x–1|+|x–2|+|x–3| (рис.2.5)

Рисунок 2.5

Графики этих функций симметричны относительно прямой х= 2.

у= |x–1|+|x–2|+|x–3|

Возможно ли, что ось симметрии будет у любой такой функции, для этого рассмотрим еще один пример.

ПРИМЕР 4. Построим график функции у= |x–1|+|x–4|+|x–8|(рис.2.6)

Рисунок 2.6

У графика функции у= |x–1|+|x–4|+|x–8| оси симметрии нет.

Чем различаются две функции?

у= |x–1|+|x–2|+|x–3| и у= |x–1|+|x–4|+|x––8|? Числа 1, 2 и 3 числа идут подряд, каждое следующее на 1 больше, чем предыдущее, у второй функции закономерности такой не наблюдается. Рассмотрим примеры, когда числа

b –а=с– b. В таких функциях можно предположить, что ось симметрии является прямая х= b.

ПРИМЕР 5: Построим график функции у= |x+1|+|x–3|+|x–7| (рис.2.7).

а = -1, b=3, с=7, 3 –(–1)= 7– 3, 4 = 4, b –а= с– b. Учитывая, предположение, ось симметрии будет задана формулой х= 3.

Вершина данной функции в точке (3;8).

исунок 2.7

2.4 Ось симметрии для функции у= |x–a|+|x–b|+|x–с|

Рассмотрим функцию у= |x–a|+|x–b|+|x–с|, где а < b < c и b –а= с– b.

Прямая х=а является осью симметрии графика функции f в том и только в том случае, когда для любого х из ее области определения выполняется равенство f(a+х)=f(a-х) .[3].

Теорема: Ось симметрии для функции у= |x–a|+|x–b|+|x–с| , где а < b < c и b –а= с– b является прямая х= b.

Доказательство:

Так как b – а = с – b, пусть, b – а= с – b= к, тогда а= b – к, с= b + к, следовательно функция у=|x–a|+|x–b|+|x–с| тождественно равна функции

у= |x–( b – к)|+|x–b|+|x–(b + к)|.

Если х = b-х, то у=|x–(b – к)|+|x–b|+|x–(b + к)|, у1=| b–х – b +к|+| b–х – b|+ +| b–х – b -к|=| –х +к |+|– х |+|–х –к|=|(–1)(х –к) |+|(–1) х |+|(–1)(х +к)|= |–1| х

х |х –к|+|– 1|·| х |+| –1| ·|х +к|= | (х–к) |+ |х|+| х +к| .

Если х= b + x, то у=|x–( b – к)|+|x–b|+|x–(b + к)| , у2= | b+х – b +к|+| b+х – b|+| b+х – b – к|=|х–к|+| х |+|х –к|= у1

Для функции выполняется равенство у b-х= у b+х для любого х из ее области определения, значит, осью симметрии для функции

у= |x–a|+|x–b|+|x–с| , где а < b < c и b –а= с– b является прямая х= b.

Теорема доказана.

ПРИМЕР 6: Построим график функции у= |x+4|+|x+1|+|x–2|.

Следовательно, а= – 4, b= – 1, с=2.

Вершина функции у= |x+4|+|x+1|+|x–2| в точке (-1;6).

Проверяем условие для симметрии b –а=с– b.

–1 –(–4) = 2– (–1),

3 = 3.

Значит, ось симметрии будет задана формулой х= –1. Достаточно описать только два условия

(рис. 2.8)

Рисунок 2.8 Рисунок 2.9

Осталось отобразить относительно оси симметрии. график функции

у= |x+4|+|x+1|+|x–2|(рис.2.9)

График функция заданная формулой у= |x-a|+|x-b|+|x–с|, где а < b < c, состоит из четырех частей:

Вершина функции у= |x-a|+|x-b|+|x–с| является точка (b; -а+с).

Не для любой функции вида у= |x-a|+|x-b|+|x–с|, где а < b < c можно задать ось симметрии. Её можно задать, если будет выполняться условие

b –а =с– b , тогда существует ось симметрии заданная формулой х= b, графиком является прямая параллельная оси ординат, проходящая через точку (b,0). В это случае достаточно построить два условия:

а другие отобразить относительно оси симметрии.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для написания данной работы были выполнены следующие действия:

описана функция заданная формулой у= |x-a|+|x-b|, где а < b. Эта функция состоит из трех прямых ограниченных на промежутках:

.

описана функция заданная формулой у= |x-a|+|x-b|+|x–с|,

где а < b < c. Она состоит из четырех частей:

Вершина функции у= |x-a|+|x-b|+|x–с| является точка (b; -а+с).

Не для любой функции вида у= |x-a|+|x-b|+|x–с|, где а < b < c можно задать ось симметрии. Её можно задать, если будет выполняться условие

b –а =с– b , тогда существует ось симметрии заданная формулой х= b, графиком, которой является прямая параллельная оси ординат, проходящая через точку (b,0). В это случае достаточно построить два условия:

а другие отобразить относительно оси симметрии.

Я планирую продолжить изучение этой темы рассматривая функцию, заданную в виде суммы четырех, пяти и т.д. линейных функций, содержащих знак модуль и объединить все в виде сумм четных и нечетных слагаемых.

Данный материал можно применять при подготовке к олимпиадам и централизованному тестированию по математике.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ:

Арефьева, И.Г. Алгебра: учебное пособие для 7-го класса учреждений общего среднего образования с русским языком обучения / И. Г. Арефьева, О. Н. Пирютко. — Минск: Народная асвета, 2018. — 316 с. : ил.

Арефьева, И.Г. Алгебра: учебное пособие для 8-го класса учреждений общего среднего образования с русским языком обучения / И. Г. Арефьева, О. Н. Пирютко. — Минск: Народная асвета, 2017. — 269 с. : ил.

Симметрии графиков функций [Электронный ресурс]. – Режим доступа https://matemonline.com/2013/03/symmetry-of-graphs-of-functions/– Дата доступа: 21.11.2020

ПРИЛОЖЕНИЕ А

ГРАФИК ФУНКЦИИ у=|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-10|