Исследовательская работа "Сколько средних линий в трапеции?"

Слет научных обществ обучающихся

образовательных организаций общего и дополнительного образования

города Нижневартовска в 2019-2020 учебном году

Секция 5. «Прикладная математика»

Сколько средних линий в трапеции?

2020

Сколько средних линий в трапеции?

Климачева Мария Константиновна

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя школа № 1 имени Алексея Владимировича Войналовича»

8А класс

Аннотация

Цель: сколько трапеция имеет средних линий, определить особенные отличия про средние линии трапеции

Предмет исследования – средние линии трапеции

Объект исследования – трапеция

Основные методы исследования:

анализ

синтез

аналогии

сравнение

обобщение

Задачи исследования:

подобрать данные про средние линии трапеции

изучить особенные индивидуальности про средние линии в трапеции

исследовать задачи про средние линии трапеции, действующие в математической литературе

разобрать конкретные вопросы о средних линиях трапеции

Чтобы серьезно разобраться в текущем вопросе мы изучили соответствующую литературу и определили особенные индивидуальности средних линий трапеции, не изучаемые на уроках, нашли интересные заключения по проработанному материалу.

Наша работа имеет непосредственное большое использование на практике, а также теоретическую значимость.

Сколько средних линий в трапеции?

Климачева Мария Константиновна

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя школа № 1 имени Алексея Владимировича Войналовича»

8А класс

План исследований

Сколько средних линий в трапеции?

Климачева Мария Константиновна

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя школа № 1 имени Алексея Владимировича Войналовича»

8 А класс

Оглавление

«Геометрия полна приключений,

потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли…»

В.Произволов

Введение

Сначала разберемся в простейшей задаче: В равнобокой трапеции диагонали при пересечении образуют угол 900. Высота трапеции равна а. Найти среднюю линию трапеции. Так как диагонали AC BD⇒ прямоугольные треугольники △АОЕ= △ВОЕ, △DFO=△CFO-равнобедренные. Из △АОЕ= △ВОЕ, △DFO=△CFO.⇒ FO=DF=FC, а OE=AE=EB. Так как FE =FO+OE= а. Равенство FO+OE=DF+AE, а DF+AE =½(AB+CD) позволяет сделать вывод, что средняя линия трапеции = а. Вывод задачи подтолкнул меня на раздумье: «А есть ли еще средние линии в трапеции?» В учебниках геометрии упоминается лишь только определение о единственной средней линии трапеции, ее отличиях. И, меня озарила идея сделать первые шаги информационного розыска о неизвестных средних линиях трапеции. В процессе собственных информационных поисков я нашла интересные факты, характеризующие средние линии трапеции. Полученные мною данные, как выяснилось практически не слишком известным фактом для школьников. За это время я приняла окончательное решение сконцентрировать сведения об данных неизвестных линиях, отыскать задачки, имеющие непосредственное отношение, и оформить изученный материал в виде исследовательской работы. Полагаю, собственно, что непосредственно приобретенный в процессе собственных информационных поисков мною материал станет увлекателен и может быть полезен всем тем, кто занимается занимательной наукой геометрией.

Актуальность работы:

Стоит отметить, непосредственно особенные индивидуальности средней линии трапеции были определены при решении проблемных задач. Стоит заметить, что решение некоторых задач было не всегда понятно. Вопросы, имеющие отношение ко второй средней линией трапеции смогла найти в публикациях следующих авторов: Лидского В. Б., Прасолова В. В., Сивашинского И. Х., Шахно К. У, ну и, конечно же, на страницах интернета. Было принято соображение по текущей теме написать исследовательскую работу. Наше исследование содержит непосредственно большое практическое использование, а также теоретическую значимость.

Гипотеза: Мы полагаем, что если непосредственно знать в совершенстве особенные индивидуальности средних линий трапеции, то их использование в свою очередь будет хорошим подспорьем ученикам в практическом направлении материала.

Новизна этого исследования состоит в том, что непосредственно данное направление не рассматривалось более глубоко и основательно. Важность этого исследования на практике заключена в том, что результатом будет заинтересованность школьников, что, непосредственно повысит их успешность в изучении.

Цель: сколько средних линий имеет трапеция, определить особенные отличия средних линий трапеции

Задачи исследования:

подобрать данные про средние линии трапеции

изучить особенные индивидуальности про средние линии в трапеции

исследовать задачи про средние линии, действующие в математической литературе

разобрать конкретные вопросы про средние линии трапеции

Предмет исследования – трапеция

Объект исследования – средние линии трапеции

Основные методы исследования:

анализ

синтез

аналогии

сравнение

обобщение

1.1. вторая средняя линия трапеции.

Бесспорно, общеизвестна школьная трактовка: средняя линия трапеции это отрезок, который соединяет середины боковых сторон данной трапеции. Давайте соединим середины оснований, и у нас непосредственно, получится вторая средняя линия т рапеции FE.

Общеизвестная формула средней линии трапеции ½ (AB+CD). Зарождается проблема: есть ли какая-либо взаимосвязь между боковыми сторонами и второй средней линией трапеции? Совершенно объяснимо, что вторая средняя линия трапеции не может быть равна полусумме оснований трапеции. Если нижнее основание растянуть, то длина FE не преобразится, а сумма боковых сторон трапеции останется без изменений.

р ис.1

B1

A1

П утем доказательства мы установили в трапеции ABCD DС||АB, FE и есть вторая средняя линия (рис.1)

F E = FD + AD +AE или FE = FC + BC + BE. Найдем сумму этих равенств: 2FE = (DF + FC) +(AE+DE)+(AD+BC).FE=1/2(AD+BC).

1.2. Особенные отличия средних линий трапеции, не изучаемые на уроках геометрии.

Разберем более детально несколько интересных свойств второй средней линии трапеции.

1 . В точке, в которой пересекаются две средние линии, они делятся пополам

Доказательство: В △ВСD и △ABD: KN - средняя линия △BCD⇒KN || BD и KN=½ BD. MS – также средняя линия △ABD, MS || BD, MS=½ BD (по свойству средней линии). Аналогично, МК || АС, MK=½ AC, NS || AC, NS=½ AC. ⇒MKNS – параллелограмм, a MN и FE –диагонали параллелограмма ⇒ KO = OS, MO = ON. ч. т. д.

2. Диагонали трапеции и вторая средняя линия пересекаются в одной точке

рис.4

B

K

C

A

Дано: ВК=КС

D

S

O

Доказать: AS=SD

Доказательство: (накрест лежащие углы) так как ВС||AD и секущей BD (вертикальные углы) ⇒ ~ , аналогично ~

⇒, BK =KC (по условию) ⇒ AS =SD ч. т. д.

3. Та прямая, частью которой эта линия является, пересекается в единой точке с теми прямыми, которые совпадают с боковыми сторонами

р ис.5

K

A

B

O

C

D

S

Доказательство: △ВОС~△AOD(по двум углам)

O DOC, OBOA, OA =k OB, OD = k OC.

Применим формулу вычисления середины отрезка:

O K=½ (ОВ+ОС), OS=½ (OA+OD), OS=½ (k∙OB + k∙OC)=½ k (OB+ OC)=k OK OK коллинеарен OS ОFE. ч. т. д

4. Средние линии равнобедренной трапеции перпендикулярны.

рис.6

5

Дано: ABCD - трапеция, АВ=CD, MN, FE – средние линии

Доказать: MN FE

Доказательство: Рассмотрим ∆АВС и ∆ADC: MK – средняя линия ∆АВС, МК||АС, МК=½ АС,NS – средняя линия ∆ADC, NS||AC, NS=½ АС.

По признаку параллелограмма противоположные стороны четырехугольника MKNS равны и параллельны ⇒MKNS – параллелограмм. Трапеция ABCD – равнобокая, AC = BD,MK=½ АС, KN=½ BD,MK=KN MKNS – ромб. По свойству ромба MN FE. ч. т. д

. В равнобокой трапеции (у которой боковые стороны идут под одним углом) средняя линия пересекает основания под углом в 90 градусов;

(см. доказательство предыдущего утверждения)

6. Если средние линии трапеции равны, то ее диагонали перпендикулярны

рис.7

1

Доказательство:

МKNS– параллелограмм, MN=KS (по условию). Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник, KN MK,т.к. KN||BD, MK||AC, то BD AC. ч. т. д

.3. Практическая направленность

Лично удалось встретить несколько задач, так или иначе имеющие связь со второй средней линией трапеции в публикациях Кушнир И. А. Рассмотрим решение некоторых задач:

Задача 1 (Кушнир И.А.)

В трапеции ABCD сумма углов при меньшем основании равна 270º. Найти длину второй средней линии, если основания равны а и в (а >в).

в треугольнике AMD

Поэтому, MN = , MF=

NF = MF – MN = (a – b)/2.

Ответ:(a-b)/2

M

C

N

B

A

D

F

Задача 2 (Кушнир И.А.)

Д

E

оказать, что площадь трапеции равна произведению второй средней линии на сумму перпендикуляров, проведенных к этой средней линии (или её продолжению) из двух противоположных вершин трапеции.

р

C

ис.9

B

N

M

A

F

D

Дано: ABCD – трапеция, EF – вторая средняя линия, СN EF, AM EF.

Доказать:

Доказательство: Рассмотрим △ AEF и△ ECF. , ⇒ . , то ч.т.д.

Задача 3 (Кушнир И. А.)

В трапеции ABCD сумма углов при основании AD равна 90º. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований, равен ½ (AD – BC)

рис.10 Р

M

ешение: AF=FD, BN=NC

º, º,

AD – гипотенуза,

B

N

C

A

F

D

MF =AF=FD=½ AD

MN =½ BC

FN = MF – MN

FN =½ AD –½ BC =½ (AD – BC) ч. т. д.

Предлагаю задачи, составленные мной:

Задача 1

Верно ли утверждение: если прямая проходит через точку пересечения диагоналей и середину одного основания трапеции, то и второе основание она делит пополам?

Решение: Верно, см. свойство 2

Задача 2

В трапеции ABCD вторая средняя линия = 4 см, основания равны 12 см и 8 см, угол между средними линиями 30º. Найти площадь трапеции.

Р

B

K

C

A

H

S

D

ешение:

M O N

(соответственные), ,КН = 2 см. см².

Задача 3

Провести в трапеции вторую среднюю линию с помощью чертежной линейки.

Решение:

соединим диагонали.

до пересечения продолжим боковые стороны.

проведем прямую через точку пересечения диагоналей и точку пересечения продолжений боковых сторон.

Получили искомую вторую среднюю линию трапеции.

K

O

S

D

A

B

C

Задача 4

В

Рассмотрим ∆КОС и ∆SOA. Они подобны по стороне и прилежащим углам. Значит, Так как точка К середина отрезка ВС, то КС= 8 см, а АS= 16cм. Следовательно, AD=32cм.

Средняя линия

трапеции АВСD ВС= 16 см, вторая средняя линия делится диагональю в отношении 1:2. Найдите среднюю линию трапеции АВСD

Решение:

В С

K

М О L

А S D

Задача 5

В торая средняя линяя равнобокой трапеции перпендикулярна её основаниям.
△АОD и △ВОС равнобедренные. ОМ и ОК медианы этих треугольников. По свойству равнобедренного треугольника: медиана равнобедренного треугольника, опущенная на основание, является высотой треугольника. ⇒ КМ ┴ основаниям.
Заключение

Главной целью работы требовалось установить, сколько средних линий имеет трапеция, определить особенные индивидуальности средних линий трапеции.

Поставленные цели и задачи работы «Сколько средних линий в трапеции?» достигнуты.

В соответствии с результатами выполненной мною деятельности я выявила о существовании второй средней линии трапеции, о ее свойствах. Детально проанализировала решение отдельных задач, тем или иным образом имеющих отношение к средним линиям трапеции.

Стало понятно, почему вторая средняя линия трапеции применяется в решении задач достаточно редко, поэтому ее мало изучают во время школьного обучения. Но я не сожалею, что собственно затраченное время на постижение этой темы, позволило мне много нового выяснить о средних линиях трапеции, и некоторых ее интересных свойствах.

Мне представилась возможность сформировать исключительно несколько задач, связанных со второй средней линией трапеции, но я убеждена, что их количество прибавится.

Подводя итоги нашей работы с уверенностью можно сказать о том, что цель, определенная в процессе творения нашей работы, была достигнута, а задачи осуществлены.

Литература

Л. С. Атанасян. «Геометрия 7-9» Учебник для образовательных учреждений/- М., Просвещение, 2006

Википедия.- ru.wikipedia.org/wiki/средняя линия

И. А. Кушнир «Вторая средняя линия трапеции», журнал «Математика в школе» №2, 1993.

В. Б. Лидский, Л. В. Овсянников, А. Н. Тулайков, М. И. Шабунин «Задачи по элементарной математике» - М., Физматгиз, 2010

В. В. Прасолов «Задачи по планиметрии» -М.: Наука, 2020

И. Х. Сивашинский «Задачник по элементарной математике», - М., Наука, 2015

Фестиваль идей – portfolio.1september.ru/work

К. У. Шахно «Сборник задач по элементарной математике повышенной трудности», - Минск, Высшая школа, 2012.

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D1%8F%D1%8F_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D1%8F