Исследовательская работа "Сколько средних линий в трапеции?"

Слет НОУ ОУ и ДО г. Нижневартовска. 2019-2020гг Секция 5. «Прикладная математика» Выполнила: Климачева Мария, 8 А класс, МБОУ «СШ№ 1 им. А.В. Войналовича» Руководитель: Якоби Зинаида Фёдоровна учитель математики МБОУ «СШ №1 им. А.В.Войналовича»

«Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли…» В.Произволов

B C D A F E N M FE =FO+OE= а FO+OE=DF+AE, DF+AE =½(AB+CD)=a Дано: ABCD –равнобедренная трапеция, FE-высота, FE= а AC┴ BD Найти: MN MN=1/2(AB+CD) MN=a

«А есть ли еще средние линии в трапеции?»

Задачи исследования: подобрать данные о средних линиях трапеции изучить особенные особенности средних линий в трапеции исследовать задачи о средних линиях трапеции, действующие в математической литературе разобрать конкретные вопросы о средних линиях трапеции Цель исследования: установить, сколько средних линий имеет трапеция Обьект исследования: трапеция Предмет исследования: средние линии трапеции

Актуальность, новизна и практическая значимость: Наше исследование актуально и ново, поскольку в школьной программе по математике данное направление не рассматривалось более глубоко и основательно. В процессе собственных информационных поисков получены не известные факты для школьников о второй средней линии трапеции. Данные исследования будут полезны при подготовке к математическим олимпиадам и конкурсам, более углубленного изучения геометрии, а также поможет обычным школьникам стать более успешными в математике, поскольку данная тема является важной при подготовке к ОГЭ. Гипотеза: Если знать в совершенстве основные особенности средних линий трапеции, то их применение будет хорошим подспорьем ученикам в практическом направлении материала

Вторая средняя линия трапеции : B C D A F E MN=½ (AB+CD)

В точке, в которой пересекаются две средние линии, они делятся пополам A B C D K S O KO = OS MO = ON KN || BD и KN=½ BD MS || BD, MS=½BD МК || АС, MK=½ AC NS || AC, NS=½ AC

A B C D K S O Дано: ВК=КС Доказать: AS=SD AS=SD Диагонали трапеции и вторая средняя линия пересекаются в одной точке ~ ~ BK=KC

OK=½ (ОВ+ОС), OS=½ (OA+OD), OS=½ (k∙OB + k∙OC)=½ k (OB+ OC)=k OK △AOD △BOC Прямая, содержащая вторую среднюю линию трапеции проходит через точку пересечения прямых, содержащих боковые стороны ~ O OS

B C D A F E M N AC BD Средние линии равнобедренной трапеции перпендикулярны MN FE В равнобокой трапеции вторая средняя линия перпендикулярна ее основаниям FE AB FE CD Если средние линии трапеции равны, то ее диагонали перпендикулярны

Задача 1. (Кушнир И. А.) В трапеции ABCD сумма углов при меньшем основании равна 270º. Найти длину второй средней линии, если основания AD и BC соответственно равны а и в (а >в) C D A N B F M NF = MF – MN = (a – b)/2

Задача 2 (Кушнир И.А.) Доказать, что площадь трапеции равна произведению второй средней линии на сумму перпендикуляров, проведенных к этой средней линии (или её продолжению) из двух противоположных вершин трапеции C D F E B A N M Дано: ABCD – трапеция, EF – вторая средняя линия, СN EF, AM EF. Доказать: Доказательство: Рассмотрим △ AEF и△ ECF

Задача 3. (Кушнир И. А.) В трапеции ABCD сумма углов при основании AD равна 90º. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований   C D A N B F M Решение: AF=FD, BN=NC AD, BC – гипотенузы прямоугольных △ AMD и △BMC FN =½ AD –½ BC =½ (AD – BC)

Задача 1 (составлена самостоятельно) Верно ли утверждение: если прямая проходит через точку пересечения диагоналей и середину одного основания трапеции, то и второе основание она делит пополам? Диагонали трапеции и вторая средняя линия пересекаются в одной точке A B C D K S O

Задача 2 (составлена самостоятельно) В трапеции ABCD вторая средняя линия KS= 4 см, основания равны 12 см и 8 см, угол между средними линиями 30º. Найти площадь трапеции. M B N K O C D S H A KH=2 см △KHS- прямоугольный

C D A O B S K Задача 3 С помощью чертежной линейки построить вторую среднюю линию трапеции

Задача 4 Найдите среднюю линию трапеции АВСD, если ВС=16см и ее вторая средняя линия делится диагональю в отношении 1:2.   C D A O B S K Рассмотрим ∆КОС и ∆SOA. Они подобны по стороне и прилежащим углам. Значит Так как точка К середина отрезка ВС, то КС= 8 см, а АS= 16cм. Следовательно, AD=32cм.

Задача 5 Вторая средняя линяя равнобокой трапеции перпендикулярна её основаниям. △АОD и △ВОС равнобедренные ОМ и ОК медианы M KM┴BC, KM┴AD

ВЫВОДЫ: 1. В процессе собственных информационных поисков получены не известные факты для школьников о второй средней линии трапеции. 2. Изучены особенные свойства средней линии 3. Рассмотрены практическое решение математических задач с использованием свойств средней линии трапеции. 4. Составлены собственные математические задачи и их решение. 5. Получены новые для меня знания и умения, повысилась заинтересованность к изучению математики.