Простые и составные числа. Решето Эратосфена

Муниципальное Бюджетное Общеобразовательное Учреждение

Средняя Общеобразовательная Школа 180

города Новосибирска

Простые и составные числа.

Решето Эратосфена

Выполнил:

Поломошнов Дмитрий

ученик 8б класса

Введение

Впервые о простых числах я узнал в 6 классе на уроке математики, когда мы изучали тему «Простые и составные числа». Я заинтересовался происхождением простых чисел, алгоритмами нахождения простых чисел, алгоритмом создания таблиц простых чисел, в частности, «решетом Эратосфена».

Гипотеза: Действительно ли мы можем найти простое число при помощи «решета Эратосфена».

Цель работы: изучить алгоритм построения «решета Эратосфена» и изготовить его материальную модель для использования на уроках математики.

Задачи:

1. Изучить теорию по теме проекта.

2. Найти простые числа, больше числа 1000 (до 1100)

3. Изготовить материальную модель решета Эратосфена.

Объект исследования: простые числа, «решето Эратосфена»

Предмет исследования: таблица простых чисел

Методы исследования:

1. Работа с литературой, ресурсами сети Интернет

2. Эксперименты с простыми числами

Этапы проекта:

Теоретический

Практический

Простые и составные числа

Простое число - это натуральное число, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Все остальные числа, кроме единицы, называются составными. Таким образом, все натуральные числа, больше единицы, разбиваются на простые и составные. Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел.

Простое число – это натуральное число, которое не имеет других делителей кроме 1 и самого себя. (Пример: число 11 = 1 * 11)

Количество простых чисел уходит в бесконечность, но поиск закономерности появления простых чисел является самой большой загадкой математики. Приз в миллион долларов обещан тому, кто сможет раскрыть тайну этих чисел.

Простые числа - «капризны». Таблицы простых чисел обнаруживают большие «неправильности» в распределении простых чисел.

Пестрота картины распределения простых чисел увеличивается еще более, если отметить, что существуют пары простых чисел, которые отделены в натуральном ряду только одним числом («близнецы»). Например. 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 10016957 и 10016959. С другой стороны, существуют пары простых чисел, между которыми много составных. Например, все 153 числа от 4652354 до 4652506 являются составными.

За нахождение простых чисел из более чем 100 000 000 и 1 000 000 000 десятичных цифр EFF назначила денежные призы соответственно в 150 000 и 250 000 долларов США.

Составное число – это натуральное число, у которого есть делители, отличные от 1 и самого себя. (Пример: число 6 = 3*2)

Всякое составное число можно разложить на простые множители. (Например: 55 = 5*11)
Число 1 имеет только один делитель: само это число. Поэтому оно не относится ни к простым, ни к составным числам.

Эратосфен - греческий математик

Эратосфен 276 год до н. э.—194 год до н. э

История сохранила краткие сведения из биографии Эратосфена, однако на него очень часто ссылались авторитетные и знаменитые мудрецы, философы античности: Архимед, Страбон и другие. Датой его рождения принято считать 276 год до н. э. Родился Эратосфен в Африке, в Кирене, поэтому нет ничего удивительного в том, что своё образование он начал в столице птолемеевского Египта – Александрии. Современники не зря дали ему прозвище Пентакл, или многоборец. Живой ум Эратосфена пытался постичь практически все известные на тот момент науки. И как все учёные, он наблюдал за природой. Кроме сочинений по математическим наукам, он писал ещё трактаты «о добре и зле», о комедии и др. Из всех своих сочинений Эратосфен придавал особенное значение литературным и грамматическим, как это можно заключить из того, что он любил называть себя филологом. Эратосфен, как и большинство древнегреческих философов, так увлечённо любил путешествовать. Тяга к новому и привела его в Афины, где он продолжил своё обучение. В Афинах он не терял времени даром и продолжил обучение.

В 245 году до н.э. царь Птолемей III Эвергет пригласил Эратосфена приехать из Афин чтобы работать в Александрийской библиотеке, где уже трудились его учитель Каллимах и Аполлоний Родосский. Эратосфен откликнулся на приглашение, в возрасте около тридцати лет он приехал в Александрию, где и остался до самой смерти. Через пять лет после приезда он сменил Аполлония Родосского на посту главы Александрийской библиотеки. Как глава библиотеки, Эратосфен занимался обучением детей монарха. В старости у Эратосфена воспалились глаза, что в дальнейшем привело к слепоте. Невозможность читать и наблюдать за природой сильно угнетала его и в 194 год до н. э. он принял решение уморить себя голодом.

Эратосфен работал во многих областях науки: филология, грамматика, история, литература, математика, хронология, астрономия, география и музыка.

Свои знания Эратосфен изложил в многочисленных научных сочинениях и исследовательских работах.

Наиболее известным сочинением Эратосфена по математике является «Письма к Птолемею». Эти письма сохранились в комментарии Эвтокия Аскалонского к сочинению Архимеда «О шаре и цилиндре». В истории математики эти письма ценны тем, что в них содержатся сведения о происхождении задачи удвоения куба. Эту сложную проблему Эратосфен разрешил с помощью изобретенного им прибора под названием «мезолябия».

Из истории появления «решета Эратосфена»

В другом научном тракте «Введение в арифметику» Никомаха Геразенского сохранился отрывок сочинения Эратосфена о пропорциях. В этой работе Эратосфен излагает способ определения простых и первых чисел с помощью «решета».

Для отыскания простых чисел Эратосфен придумал такой способ. Он записал все числа от 1 до какого-то числа, а потом вычеркнул единицу, которая не является ни простым, ни составным числом. Затем вычеркивал через одно все числа, идущие после 2 - числа, кратные 2: 4,6,8, ... Первым оставшимся числом после 2 было 3. Далее вычеркивались все числа кратные 3: 6,9,12, ... В конце концов оставались невычеркнутыми только простые числа.

Название «решето» метод получил потому, что, согласно легенде, Эратосфен писал числа на дощечке, покрытой воском, и прокалывал дырочки в тех местах, где были написаны составные числа. Поэтому дощечка являлась неким подобием решета, через которое «просеивались» все составные числа, а оставались только числа простые. Эратосфен дал таблицу простых чисел до 1000.

1. Из ряда чисел: 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13 и т. д вычёркиваем числа кратные 2.

2. Затем, вычёркиваем числа кратные 3.

3. Вычёркиваем числа кратные 4.

4. Вычёркиваем числа кратные 5.

5. Вычёркиваем числа кратные 6 .

6. Делим, пока все составные числа не будут «просеяны», и останутся только простые числа: 2,3, 5,7,11,13 и т.д.

В Научно-исследовательской лаборатории Лос-Аламоса были получены все простые числа до 100 000 000.

Изготовление «решета Эратосфена»

Для изготовления «решета Эратосфена» я взял фанеру формата 30*28. Начертил сетку, в каждой клетке записал натуральные числа от 1001 до 1100 (Рис.1) Используя алгоритм построения «решета Эратосфена», проделал отверстия в тех клетках (Рис.2), в которых указаны составные числа (Приложение 1)

Заключение

Мы изучили алгоритм построения «решета Эратосфена», изучили литературу, изготовили его материальную модель.

Математика нужна каждому и везде. Без математики ничего не обходится. Математика – наука прошлого, настоящего, будущего. Не каждый может стать математиком, но математика в жизни нужна каждому!

Список источников информации

http://fb.ru/article/352984/kto-takoy-eratosfen-biografiya-otkryitiya-uchenogo

https://tetraksis.com/1/resheto-eratosfena

http://monateka.com/article/263024/

http://www.cleverstudents.ru/divisibility/prime_and_composite_numbers.html

Математика 6 класс, А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир.

издательство: Вентана-Граф, 2018 г.​​​​​​​

/data/files/x1602774839.ppt (Простые и составные числа)

Приложение 1

Рис.1. Начертил сетку, в каждой клетке записал натуральные числа от 1001 до 1100

Рис. 2. Используя алгоритм построения «решета Эратосфена», проделал отверстия в тех клетках, в которых указаны составные числа