Исследовательская работа «Теорема «Пика»

Тема работы: Теорема Пика   Номинация: Геометрия VII городская научно-практическая конференция учащихся 5-8 классов по математике, физике, информатике «Обыкновенное чудо» Автор: Китаев Иван, 6 «б» класс МАОУ СОШ №32 Руководитель: Казазаева Е.Б., учитель математики МАОУ СОШ №32 г. Улан-Удэ 2019 г.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ Тема Теорема Пика выбрана мной не случайно. Формула Пика позволила легко рассчитать площадь фигур, которые рисовал мой средний брат. Меня заинтересовала возможность расчета площадей фигур способом, который был прост и понятен для меня. Есть несколько способов нахождения площадей фигур. В основном применяют формулы геометрии и способы достроения или разбиения на части. Эти способы очень сложные и громоздкие. При этом нахождение площади, используя формулу Пика позволило очень легко находить площадь любой фигуры, которая имеет вершины в узлах сетки, изображенных на клетчатой бумаге. Изучая эту тему, я выяснил, что Формула Пика, формула вычисления площади многоугольника, изображенного на бумаге в клетку, полезна при решении заданий ЕГЭ и ОГЭ. Это послужило еще одним важным критерием при выборе темы.

Георг Александр Пик (10 августа 1859 – 13 июля 1942 г) — австрийский математик, родился в еврейской семье. Вся его научная карьера была связана с математикой. Им написаны работы в области математического анализа, дифференциальной геометрии и др, всего более 50 тем. Наиболее широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники. Теорема привлекла большое внимание и вызвала восхищение своей простотой и элегантностью.

Пусть В − число узлов сетки внутри многоугольника, Г − количество узлов на его границе, S − его площадь. Тогда справедлива формула Пика: S = В + Г/2 – 1 Теорема Пика

Пример Вычислим узлы: Г=8; В=9 Найдем площадь: S=9+8/2-1=12 Найдем площадь фигуры с помощью теоремы Пика На клетчатой бумаге с размером клетки 1*1 изображен многоугольник (рис.3). Найдите его площадь.

Г=20; В=16 S=16+20/2-1=25 кв.ед. Вычислим узлы: Найдем площадь: В данном случае, тремя способами мы получили правильное решение. 3 Способ – использование теоремы Пика. 2 Способ – использование геометрических формул. По формуле: S=a*b=5*5=25 кв.ед.; 1 Способ – способ сложения. Суммируем количество клеток и получаем S=25 кв.ед.; Найдем площадь квадрата, изображенного на клетчатой бумаге несколькими способами

Решение задач ОГЭ и ЕГЭ с помощью теоремы Пика Задание 1 На клетчатой бумаге с размером клетки 1*1 изображен многоугольник . Найдите его площадь. Решение: Г=4; В=0; S=0+4 : 2 – 1= 1 кв.ед.

Решение задач ОГЭ и ЕГЭ с помощью теоремы Пика Задание 2 На клетчатой бумаге с размером клетки 1*1 изображен многоугольник . Найдите его площадь. Решение: Г=7; В=2; S=2+7 : 2 - 1= 4,5 кв.ед.

Задача 1. Найдем площадь робота (многоугольника). Примем, что площадь клетки равна 1 кв.ед. Вычислим узлы: Найдем площадь: Г=46 (красные точки); В=6 (зеленые точки) S=6+46/2-1=28 кв.ед. Расчет площади фигур, нарисованных моим братом

Вычислим узлы: Г=34; В=26 Найдем площадь: S=26+34/2-1=42 кв.ед. Задача 2. Найдем площадь ракеты (многоугольника). Примем, что площадь клетки равна 1 кв.ед. Расчет площади фигур, нарисованных моим братом

Вычислим узлы: Найдем площадь: S=23+34/2-1=39 кв.ед. Задача 3. Найдем площадь машины (многоугольника). Примем, что площадь клетки равна 1 кв.ед. Расчет площади фигур, нарисованных моим братом Г=34; В=23

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м × 1 м. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах. Попробуете сами? Пример из открытого банка заданий http://www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-ege

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м × 1 м. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах. Попробуете сами? Пример из открытого банка заданий http://www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-ege Г=4; В=3 Вычислим узлы: Найдем площадь: S=3+4/2-1=4 кв.м.

ВЫВОД Формула Пика имеет преимущества перед другими способами вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге Для вычисления площади многоугольника, нужно знать всего одну формулу: S=B+Г:2-1 2. Формула Пика очень проста для запоминания. 3. Формула Пика очень удобна и проста в применении. 4. Многоугольник, площадь которого необходимо вычислить, может быть любой, даже самой причудливой формы.

Используемая литература   1.Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24-25. 2. Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2013 – 2015 3. В.В.Вавилов, А.В.Устинов .Многоугольники на решетках.М.МЦНМО,2006. 4. Математические этюды. etudes.ru 5. Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.Геометрия .7-9 классы.М. Просвещение, 2010 г. 6. https://ru.wikipedia.org 7. Научно-популярный физико-математический журнал "Квант" (издается с января 1970 года) Васильев Н.Б , Вокруг формулы Пика.