Презентация «Показательная функция (обобщающее занятие)»

Показательная функция (обобщающее занятие) Дисциплина БД.06 Математика 1 курс Разработчик: Латышева Н.Л. Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Воронежской области «Воронежский государственный промышленно-гуманитарный колледж»

Содержание Области применения Викторина Домашнее задание Число е, экспонента История открытия

«Нет никакой области знаний, в которую бы не входили понятия функции и ее графического изображения» К.Ф. Лебединцев, русский педагог, математик-методист (1878-1925)

История развития понятия «функция» Идея функциональной зависимости восходит к древности.  Так, вавилонские ученые (4-5тыс.лет назад) установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения приближенной формулы: S=3r2. Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, а примерами словесного задания функции – античные определения конических сечений. Начиная лишь с 17 века понятие функции явно и вполне сознательно применяется. Франсуа Виет и Рене Декарт разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание. Тем самым появилась возможность записывать общие формулы. В своей “Геометрии” в 1637 году Декарт дает понятие функции, как изменение ординаты точки в зависимости от изменения ее абсциссы. В 1671 году Ньютон под функцией стал понимать переменную величину, которая изменяется с течением времени. Франсуа Виет Рене Декарт

История развития понятия «функция» Само слово “функция” (от латинского functio - совершение, выполнение) впервые было употреблено немецким математиком Лейбницем в 1673г. в письме к Гюйгенсу, а в печати – с 1694 года. В 18 веке появляется новый взгляд на функцию как на формулу, связывающую одну переменную с другой. Подход к такому определению впервые сделал швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667-1748). Окончательную формулировку определения функции с аналитической точки зрения сделал в 1748 году ученик Бернулли Леонард Эйлер. Эйлер же впервые ясно определил большинство элементарных функций, в том числе показательную функцию. Иоганн Бернулли Леонард Эйлер

Биографические сведения о Леонарде Эйлере Леонард Эйлер родился в Базеле (Швейцария) 15 апреля 1707 года в семье пастора и провел детство в близлежащем селении, где его отец имел приход. Здесь Леонард получил начальное образование, наложившее глубокий отпечаток на всю его последующую жизнь. После окончания гимназии в 13 лет Эйлер поступил в Базельский университет, через три года окончил философский факультет и по настоянию отца записался на теологический. Проявив свои математические таланты, Эйлер привлек к себе внимание Иоганна Бернулли. Профессор стал руководить самостоятельными занятиями юноши. В 1725 году Леонард Эйлер выразил желание сопровождать сыновей своего учителя в Россию, куда они были приглашены в Петербургскую академию наук. На следующий год он получил приглашение и сам. Весной 1727 года Эйлер прибыл в Петербург и был зачислен адъюнктом по кафедре высшей математики, а с 1731 года стал академиком (профессором). В один из последних дней 1733 года 26-летний Леонард Эйлер женился на своей ровеснице Катарине, дочери швейцарского живописца. Молодожены приобрели дом на набережной Невы, где и поселились. В семье Эйлера родились 13 детей, но выжили 3 сына и 2 дочери. Эйлер отличался феноменальной работоспособностью. По отзывам современников, для него жить означало заниматься математикой. За первый период пребывания в России он написал более 90 крупных научных работ.

Биографические сведения о Леонарде Эйлере В 30-е годы 18 века Эйлер становится известен в Европе. После смерти императрицы Анны Леопольдовны Петербургская академия наук приходит в запустение, и Эйлер принимает предложение прусского короля Фридриха занять должность директора Математического департамента Берлинской академии. В Берлине Эйлер провел 25 лет и издал около 260 работ. Помимо математики он занимался многими практическими делами, включая лотереи, чеканку монет, прокладку водопровода и организацию пенсионного обеспечения. Все эти годы он помогал Петербургской академии: участвовал в публикациях, редактировал математические отделы русских журналов, приобретал для Петербурга книги и инструменты. На квартире Эйлера на полном пансионе годами жили молодые русские ученые, командированные на стажировку. Известно об оживленной переписке Эйлера с Ломоносовыми. Первое время Эйлера встречают в Берлине доброжелательно, однако в дальнейшем отношения с королем не складываются – Фридрих находит великого математика невыносимо скучным, совершенно не светским. В 1762 году на русский престол вступила Екатерина II. Она предложила Эйлеру вернуться в Россию. 60-летний Эйлер с семьей прибыл в Россию, где жил и плодотворно работал до самой смерти.

Экспонента Нарисуем несколько графиков функций, y=ax, изменяя а: 2≤а≤3. Проведем к ним касательные в т. М(0;1). Угол наклона касательных будет изменяться от 35 до 51. Очевидно, что увеличивая а от 2 до 3, мы найдем такое значение а, при котором угол наклона касательной будет равен 45. Такое число обозначается буквой е, а показательная функция с таким основанием называется экспонентой. е ≈ 2,718.

Экспонента Число e — математическая константа, иррациональное и трансцендентное число. Приблизительно равно 2,71828. Число е можно представить как сумму: Число е является пределом последовательности чисел: xn = (1+1/n)n xn = {2; 2,25; 2,37; 2,44; …}

Экспонента Саму константу впервые вычислил швейцарский математик Якоб Бернулли в ходе решения задачи о предельной величине процентного дохода. Бернулли показал, что если частоту начисления процентов бесконечно увеличивать, то процентный доход в случае сложного процента имеет предел, равный е. Символ e для обозначения этого числа был введен в 1731 Л.Эйлером.

«Некоторые наиболее часто встречающиеся виды трансцендентных функций, прежде всего показательные, открывают доступ ко многим исследованиям» Леонард Эйлер, швейцарский математик (1707-1783)

Применение показательной функции В биологии, экологии и медицине — Закон органического размножения: при благоприятных условиях (отсутствие врагов, большое количество пищи) живые организмы размножались бы по закону показательной функции.  Например: одна комнатная муха может за лето произвести 8  1014 особей потомства.  По такому же принципу распространились завезённые в Австралию кролики, которые стали экологической катастрофой для этого уникального региона. Ещё по этому закону возрастает количество клеток гемоглобина в организме человека, который потерял много крови. Закон органического затухания: подобен размножению, происходит с той же скоростью и по тем же условиям, но происходит в обратную сторону. Закон выравнивания: он тоже описывается показательной функцией и присутствует при таких процессах, как разрушение адреналина в крови и уменьшение количества радиоактивных веществ, выводимых почками. Все эти процессы подчиняются одному закону: N = N0ekt  В демографии – рост народонаселения аналогичен закону органического размножения в биологии.

Задача: Культуре из 100 бактерий предоставлена возможность размножаться при благоприятных условиях. Через 12 часов число бактерий достигло 500.Сколько бактерий будет через двое суток после начала опыта? N2 = ? Ответ: 62500 шт.

Применение показательной функции в физике Процесс изменения температуры чайника при кипении выражается формулой: T=T0+(100-T0)e-kt  - это пример процесса выравнивания, который в физике также можно наблюдать при включении и выключении электрических цепей, и при падении тела с парашютом. Сила света I определяется по формуле: I = I0e-ks , где s – толщина слоя,  k – коэффициент характеризующий мутную среду. При прохождении света через мутную среду каждый слой этой среды  поглощает строго определенную часть падающего на него света. Барометрическая формула – давление воздуха убывает с высотой (при постоянной температуре) по закону p=p0e-h/H, где p0 – давление на уровне моря, р – давление на высоте h, H – некоторая константа, зависящая от температуры. Радиоактивный распад – Когда радиоактивное вещество распадается, его количество уменьшается, через некоторое время остается половина от первоначального вещества. Этот промежуток времени t0 называется периодом полураспада. Общая формула для этого процесса: m = m0(1/2)-t/t0 , где m0 - первоначальная масса вещества. Чем больше период полураспада, тем медленнее распадается вещество. Это явление используют для определения возраста археологических находок. Радий, например распадается по закону: M = M0e-kt, используя данную формулу ученые рассчитали возраст Земли.

Задача: Период полураспада плутония равен 140 суткам. Сколько плутония останется через 10 лет, если его начальная масса равна 8г ? m = ? Ответ: 1,13•10-7 (г).

Применение показательной функции в экономике В финансовой математике увеличение суммы денег в результате начисления сложных процентов определяется формулой: FV=PV(1+j/m)mn где PV – исходная сумма денег FV – наращенная сумма денег n – число лет, соответствующее сроку финансовой операции j – ставка процентов за год m – число периодов начисления в году В практических банковских расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за фиксированный промежуток времени (год, полугодие, квартал и т.д.). В некоторых случаях возникает необходимость в применении непрерывных процентов. Сумма денег при непрерывном начислении процентов увеличивается в соответствии с формулой S(t)=S0 e δt, где S0 – начальная сумма денег. В этой формуле величина δ характеризует скорость роста суммы. Ее называют силой роста, или силой процента. Она равна скорости относительного прироста суммы, т. е. равна относительному приросту суммы за бесконечно малый промежуток времени. 

Задача: На вклад с начислением сложных процентов помещены 10 000 р. Определить наращение суммы вклада через 2 года, если проценты начисляются ежеквартально из расчета 8 % годовых. FV = ? Ответ: 11 716,59 р.

  «В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления»  Василий Петрович Ермаков, русский математик (1845-1922)  Викторина

1. Через какую точку проходят графики всех показательных функций? М (1;0)

2. С помощью какого преобразования плоскости можно получить график функции у = (0,5)х из графика функции у = 2х? Симметрия относительно оси Оу

3. Сопоставьте функцию и преобразование, с помощью которого можно получить ее график из графика функции y = 3x y = 3(x-1) y = 3 x - 1 y = - 3 x y = 1 + 3 x y =  3 x Симметрия относительно оси Ох Нижняя полуплоскость отображается симметрично относительно оси Ох Сдвиг вправо на 1 Сдвиг вверх на 1 Сдвиг вниз на 1

4. Какая из следующих функций является возрастающей? y = (/5) x y = (е/)x y = 0,2 x y = (1/e) x y = (1/0,2) x

5а). Какой из графиков соответствует функции y = 2 x+2 Ответ: в

5б). Какой из графиков соответствует функции y = -2 x +2 Ответ: А

5в). Какой из графиков соответствует функции y = 2 x - 3 Ответ: Г

5г). Какой из графиков соответствует функции y = 2 x – 4  Ответ: Д

6. В каком случае первое число меньше второго? 10 и 10 е (1/2) 2 и (1/2) 4 3,1 10 и 3,1 3 1(1/е) и 1 е 0,3 10 и 0,3 3

7. Сколько точек пересечения имеют графики функций у = х1/2 и у = 2х? Ни одной

8. Показательная функция не является ни четной, ни нечетной.

9. Сопоставьте уравнение и метод его решения 0,2 (x+0,5) = (0,04 x) /25 102 x – 3·10 x – 4 = 0 5 (3x+1) = 26х+2 (3/4)x + 1 = (5/4) x (1/3) x = 3x2 Замена переменной Графический Приведение к одному показателю Использование свойств степеней Использование свойства монотонности

10. Неравенства 0,5 7-х  1 и 7 – х  0 не являются равносильными

11. Какой промежуток является решением неравенства: (1/3) x  9 3; +) -2; 0) (-; -2 (-; 2 -2; +)

Домашнее задание Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. - Упр. к главе 3, «Проверь себя» Составить синквейн к словам «функция», «график», «экспонента», «степень»