Аксиомы стереометрии и следствия из них

Цели урока:

• Дать представление учащимся об основных понятиях и аксиомах стереометрии; их использовании при решении стандартных задач логического характера; об изображении точек, прямых и плоскостей на проекционном чертеже при различном их взаимном расположении в пространстве.
• Развивать навыки самостоятельной работы, пространственного и логического мышления.
• Воспитывать у учащихся аккуратность, точность при выполнении заданий с использованием требований орфографического режима.

Ход урока

1. Организационный момент

2. Постановка целей и мотивация изучения темы.

Но надо жить без самочванства,

Так жить, чтобы, в конце концов,

Привлечь к себе любовь пространства,

Услышать будущего зов.

В. Пастернак

Мы начинаем изучать один из самых важных разделов школьной геометрии – стереометрию. Зачем же она нужна?

1) Именно она формирует необходимые пространственные представления, знакомит с разнообразием пространственных форм, позволяет правильно ориентироваться в окружающем нас мире.

2) Стереометрия дает метод научного познания, способствует развитию логического мышления.

3) Наконец, стереометрия и сама по себе очень интересна. Она имеет яркую историю, связанную с именами знаменитых ученых: Пифагора, Евклида, Архимеда, И. Кеплера, Р. Декарта, Л. Эйлера, Н. И. Лобачевского и др.

В стереометрии изучаются красивые математические объекты. Их формы находят широкое применение в искусстве, архитектуре, строительстве. «Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии, а греческая архитектура – внешнее выражение геометрии Евклида», – писал архитектор Корбюзье.

3. Актуализация опорных знаний.

Что такое геометрия?

Что такое планиметрия?

Какие фигуры планиметрии являются основными?

Что такое аксиома?

Какие аксиомы планиметрии вы знаете?

Назовите фигуры свойства, которых вы изучили в курсе планиметрии.

4. Изучение нового материала.

Школьный курс геометрии состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии. В планиметрии изучаются свойства геометрических фигур на плоскости. Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стерео» – объёмный, пространственный и «метрео» – измерять.

Простейшими и основными фигурами в пространстве является точки, прямые и плоскости. Наряду с этими фигурами мы будем рассматривать геометрические тела и их поверхности. Представление о геометрических телах дают окружающие нас предметы. Так, например, кристаллы имеют форму геометрических тел, поверхности которых составлены из многоугольников. Такие поверхности называются многогранниками. Одним из простейших многогранников является куб. Капли жидкости в невесомости принимают форму геометрического тела, называемого шаром. Такую же форму имеет футбольный мяч. Консервная банка имеет форму геометрического тела, называемого цилиндром.

Курс стереометрии строится, так же как и курс планиметрии:

1. Основные понятия геометрии

2. Определения

3. Аксиомы

4. Теоремы

Разбираем с учащимися основные понятия, т. е. основные фигуры стереометрии. Важно, чтобы учащиеся представляли себе эти понятия не только как абстрактные объекты, но и понимали, что они являются идеализацией объектов реального мира. Точка является идеализацией очень маленьких объектов, т.е. таких размерами которых можно пренебречь. Прямая является идеализацией тонкой натянутой нити или края стола, прямоугольной формы. Плоскость – это идеализированная поверхность зеркала, стола или ровной глади озера и т.д. Здесь же необходимо вспомнить с учащимися обозначения точек и прямых.

После этого учащимся можно предложить следующие задачи.

1. Изобразите прямую а, лежащую на ней точку А и не лежащую на ней точку В.

2. Изобразите плоскость и две пересекающиеся прямые а и в, лежащие на ней.

3. Изобразите плоскость , лежащие на ней точки А и В, а также точки С и D, расположенные по разные стороны от плоскости .

При решении задачи учащимся продемонстрировать модель плоскости и двух точек, расположенных по разные стороны от нее.

4. Изобразите плоскость и пересекающую ее прямую а.

5. Изобразите плоскости и пересекающиеся по прямой с.

После предварительной работы, проведенной при решении задач 1-5, учащиеся подготовлены к восприятию аксиом.

Аксиомы стереометрии и следствия из них.

Способы задания плоскости.

5. Закрепление нового материала.

Работа с тестовыми заданиями №2.1-2.4, 2.10, 2.11, 2.14, 2.17.

6. Физпауза.

-Не поворачивая головы, обведите взглядом стену класса по периметру по часовой стрелке, классную доску по периметру против часовой стрелки, треугольник, изображенный на стенде по часовой стрелке и равный ему треугольник против часовой стрелки. Поверните голову налево и посмотрите на линию горизонта, а теперь на кончик своего носа. Закройте глаза, сосчитайте до 5, откройте глаза и …

Мы ладонь к глазам приставим,

Ноги крепкие расставим.

Поворачиваясь вправо,

Оглядимся величаво.

И налево надо тоже

Поглядеть из под ладошек.

И – направо! И еще

Через левое плечо!

А теперь продолжим работу.

7. Самостоятельная работа.

По рисунку ответьте на вопросы:

1. Каким плоскостям принадлежит точка А?

2. В каких плоскостях не лежит точка К?

3. По какой прямой пересекаются плоскости ABD и BDC?

4. Какую плоскость задают прямые AD и DC?

В конце занятия учащимся можно предложить материал занимательного характера, но связанного с развитием пространственного мышления.

Например: Сложите из шести палочек равной длины четыре равных треугольника.

8. Итоги урока. Рефлексия. Д\З.

Выучить п.2.1, 2.2.

Решить: на 7 баллов: №2.5, 2.12, 2.13, 2.18,

на 9 баллов: +№2.8

на 12 баллов: +№2.22.

Наше занятие подходит концу. Пожалуйста, поделитесь с нами своими мыслями о сегодняшнем занятии (хотите одним предложением). Вам для этого помогут слова:

-Я узнал…

-Я почувствовал…

-Я увидел…

-Я сначала испугался, а потом…

-Я заметил, что …

Задачи по теме

«Аксиомы стереометрии и следствия из них»

u 1.Пользуясь изображением на рис.1 назовите:

а) точку пересечения прямой АD с плоскостью DD1C;

в) линию пересечения плоскостей АDD1 и D1C D.

В какой плоскости АDD1, А1В1В, ВВ1С1, ВСD не лежит точка А?

рис.1 рис.2

u 2.Пользуясь рисунком 2 назовите:

а) точку пересечения прямой ВD с плоскостью АВС;

в) линию пересечения плоскостей АВD и СDВ.

u 3.В какой из плоскостей АВD, ВDС, АВС, АDС не лежит точка С?

Перечертите рисунок 3 в тетрадь и постройте:

а) точку пересечения прямой МH с плоскостьюABC;

в) линию пресечения плоскостей MHC, ADC.

u 4.Верно ли, что

а) Любые три точки лежат в одной плоскости;

в) Любые четыре точки лежат в одной плоскости;

с) Любые четыре точки не лежат в одной плоскости;

д) Через любые три точки проходит плоскость и притом только одна?

u 5. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые АВ и СD не пересекаются?

u 6. Можно ли через точку пересечения двух данных прямых провести третью прямую не лежащую с ними в одной плоскости? Ответ объясните.

u 7. Точки А, В, С лежат в каждой из двух различных плоскостей. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой.

u 8. Четыре точки лежат на одной плоскости, могут ли какие-нибудь три из них лежать на одной прямой? Ответ объясните.

u 9. Докажите, что если прямые АВ и СD не лежат на одной плоскости, то и прямые АС и ВD также не лежат на одной плоскости.

u 10. Можно ли провести плоскость через три точки, если они лежат на одной прямой? Ответ объясните. Сколько существует таких плоскостей.

u 11. Две прямые пресекаются в точке М. Докажите, что все прямые, не проходящие через точку М и не пересекающие данные прямые лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые проходящие через точку М?

u 12. Могут ли две плоскости иметь:

а) только одну общую точку;

в) только две общие точки;

с) только одну общую прямую?

u 13. Как при помощи двух нитей столяр может проверить, лежат ли в одной плоскости концы четырех ножек стола?