Урок по теме «Введение в стереометрию» (Геометрия, 10 класс)

Цель урока: познакомить обучающихся с содержанием курса стереометрии, изучить основные аксиомы.

Задачи урока: 

создать условия для формирования основных понятий, аксиом;

показать связь стереометрии с практической деятельностью человека;

учить применять аксиомы стереометрии при решении задач;

развивать логическое мышление, память, пространственное воображение, познавательный интерес;

расширять представления учащихся об окружающем мире;

поддерживать интерес к изучаемому предмету;

содействовать развитию навыка самостоятельной работы учащихся посредством вовлечения их в исследовательскую деятельность.

 Тип урока: урок изучения нового материала

Оборудование и материалы для урока: Мультимедийный комплекс, презентация для сопровождения урока, раздаточный материал, стационарные компьютеры для обучающихся.

Ход урока

I. Организационный этап.

II. Постановка целей и задач урока. Мотивация учебной деятельности.

Учитель

Сегодня на уроке у нас присутствуют:

главный редактор журнала «Математика в школе» – Кирпичев Александр;

президент Международной академии наук высшей школы – Бирюшов Михаил;

авторы учебника «Геометрия 10 – 11 кл.» – Хаймахан Валерия и Хаймахан Владислав.

Первое слово я хочу предоставить главному редактору журнала «Математика в школе» – Кирпичеву Александру.

В процессе длительного исторического развития человеческого общества создается геометрия – наука о форме, размерах и взаимном расположении фигур. Слово «геометрия» греческого происхождения, оно означает «земледелие».

Древнегреческий ученый Евдем Родосский (IV в. до н. э.) писал: «Геометрия открыта египтянами и возникла при измерении земли. Нет ничего удивительного в том, что эта наука, как и другие, возникла из потребностей человека…»

Свыше 4000 лет назад геометрические знания в виде практических навыков по измерению площадей и объемов некоторых тел зародились в древнем Египте.

Древние египтяне были замечательными инженерами. Об этом свидетельствуют всем известные египетские пирамиды. Но геометрии как науки у них не было. В V в. до н. э. Гиппократ Хиосский сделал попытку изложить все знания по геометрии в одном сочинении. Его сочинение до нас не дошло. К 300-м годам до н. э. геометрия становится самостоятельной наукой.

Большую лепту в развитие геометрии внесли вавилонские ученые. Около 6000 лет назад они изобрели колесо. Значимость колеса в жизни человека всем известна. Вавилонские горшечники стали делать посуду на гончарном круге; научились измерять длину окружности.

Президент Международной академии наук высшей школы – Бирюшов Михаил.

Я хочу отметить, что настоящей наукой геометрия стала только у древних греков. Греки не только заметили свойства «египетского «треугольника, но и сделали интересное открытие.

Две с половиной тысячи лет назад греческий математик Пифагор доказал, что в любом прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Греческий математик Фалес научил египтян определять высоту пирамиды по длине ее тени. Полагают, что Фалесу принадлежит первое доказательство теоремы о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника, равенство вертикальных углов и некоторые другие теоремы начальной геометрии. Древние греки приписывали Фалесу первое в истории науки предсказание солнечного затмения, которое произошло якобы точно в срок, предсказанный Фалесом (28 мая 585г. до н. э.)

Греки первыми научились издали определять расстояние до корабля в море. Много практических задач решил греческий ученый и изобретатель Архимед.

Он определил, что объем вписанного шара равен объема цилиндра, и велел, чтобы после его смерти на могильном камне вырезали чертеж этой задачи: шар в цилиндре. Потом, 200лет спустя, по этому чертежу нашли могилу Архимеда.

Одним из изобретений Архимеда часто пользуется каждая хозяйка: винтом, который он изобрел две с лишним тысяч лет.

Автор учебника «Геометрия 10 – 11кл.» Хаймахан Валерия.

Школьный курс геометрии состоит из двух частей: планиметрия и стереометрия. «Планиметрия» – греческое слово; оно произошло от двух слов: «план» – место и «метрос» – мера. В планиметрии мы рассматривали свойства плоских фигур.

В стереометрии рассматриваются фигуры и их свойства в пространстве. «Стереометрия» – слово греческое; и произошло от двух слов: «стерео» – тело, и «метрос» – мера. Немецкий историк математики И. Тропфке считает, что «стереом» встречается впервые в IVв. до н. э. Возникла стереометрия позже, чем планиметрия. И стереометрия, и планиметрия развивались из наблюдений природы и решения вопросов, которые возникали в процессе практической деятельности человека.

Ученый древней Греции Евклид (III в. до н. э.) собрал, обработал и привел в стройную систему дошедший до него материал по стереометрии. К 300-м годам до н. э. геометрия становится самостоятельной математической наукой. К этому времени ученый Евклид написал книгу, названную им «Начала». В «Началах» Евклид развил аксиоматический подход к построению геометрии, который состоит в том, что сначала формируются основные положения (аксиомы). Из них путем последовательных рассуждений сумел вывести все теоремы геометрии. «Начала» Евклида более полутора тысяч лет переписывались от руки в Греции, Италии и других странах. С возникновением книгопечатания «Начала» перепечатывались на всех языках мира.

В развитии геометрии важную роль сыграла аксиома, которая в «Началах» Евклида называлась пятым постулатам: «Две прямые, которые при пересечении с третьей образуют с ней по одну сторону внутренние углы, в сумме меньше двух прямых, при продолжении в туже сторону пересекаются».

Эта аксиома параллельности – с самого начала показалась не совсем очевидной. Попытки доказать пятый постулат длились около 2000лет.

174 года назад великий русский ученый Николай Иванович Лобачевский пришел к выводу, что аксиома параллельности Евклида не может быть доказана. В 1826г. на заседании физико-математического отделения Казанского университета Лобачевский сделал доклад о своем открытии, заменив пятый постулат новым предложением: через точку вне данной прямой и в одной с ней плоскости можно провести более чем, одну прямую, не пересекающую данную прямую». Он показал, что это предложение ведет не к противоречию, а своеобразной геометрической системе, отличной от геометрии Евклида. Лобачевского высмеивали, но это не заставило великого ученого отказаться от своих идей. Через 12 лет после его смерти была найдена поверхность, на которой справедлива новая геометрия.

Геометрия Евклида – геометрия земных пространств и расстояний. Геометрия Лобачевского – геометрия гигантских межпланетных и исчезающих малых атомных пространств, она включает геометрию Евклида как составную часть, как частный случай.

Автор учебника «Геометрия 10 – 11кл.» – Хаймахан Владислав.

Мне хочется обратить ваше внимание на свойство предметов, окружающих нас. Все предметы в окружающем нас мире имеют три измерения, хотя далеко не у всех можно указать длину, ширину, высоту.

Геометрическое тело, полностью описываемое тремя измерениями – длиной, шириной, высотой называется - параллелепипедом. Множество предметов имеют форму параллелепипеда. Параллелепипед можно считать символом нашего пространства.

А теперь представим, что высота исчезла. Весь мир стал плоским как лист бумаги, остались только два измерения – длина и ширина. Математики говорят, что плоскость является двумерным пространством.

Какие геометрические фигуры могут «жить» в этом мире? Конечно это круг, прямоугольник, отрезок, треугольник, многоугольник и т.д.

«Уберем» теперь и ширину. Останется одномерное пространство с одним измерением – длиной. Этот мир лежит полностью на прямой, жители его – отрезки, лучи, точки. В удивительном мире геометрии существует и фигура, которая не имеет измерений – длины, ширины, высоты. Вы догадались, что это? Конечно, это точка. Пространство в котором располагается только точка называется нулевым.

Подводя итог нашей беседы, мне хочется сказать: «Мир, в котором мы живем, наполнен геометрией домов и улиц, гор и полей, творениями природы и человека. Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Все вокруг – геометрия».

III. Первичное усвоение новых знаний.

1. Планиметрия и стереометрия.

2. Основные фигуры стереометрии.

3. Практическая работа.

1). Изобразите прямую а, лежащую на ней точку А и не лежащую на ней точку В.

2). Изобразите плоскость и две пересекающиеся прямые а и b, лежащие на ней.

3). Изобразите плоскость , лежащие на ней точки А и В, а также точки С и D, расположенные по разные стороны от плоскости .

4). Изобразите плоскость и пересекающую ее прямую а.

5). Изобразите плоскости и пересекающиеся по прямой с.

4. Аксиомы стереометрии и их следствия.

IV. Закрепление изученного материала.

Задача.

Докажите, что все вершины четырехугольника АВСD лежат в одной плоскости, если его диагонали АС и ВD пересекаются.

Задача.

Дан куб АВСDА1В1С1D1. Точка М лежит на ребре ВВ1, N – на ребре СС1 и К – на ребре DD1

а) Назовите плоскости, в которых лежат точки М; N.

б) найдите точку пересечения прямых МN и ВС. Каким свойством обладает эта точка?

в) найдите точку пересечения прямой КN и плоскости АВС.

г) найдите линию пересечения плоскостей МNК и АВС.

№ 1 (а, в), № 2 (б-г), № 6 стр. 7

Тест.

1 вариант

1. Верно ли, что если концы отрезка лежат в данной плоскости, то и его середина лежит в этой плоскости?

2. Точка М не лежит в плоскости треугольника ABC, K – середина MB. Каково взаимное расположение прямых MA и CK?

1) Определить нельзя; 2) скрещиваются; 3) параллельны; 4) совпадают; 5) пересекаются.

3. Какие из данных утверждений являются аксиомами стереометрии? (возможно несколько ответов)

1) Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна.

2) Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

3) Через любые три точки, не лежащие на прямой, проходит плоскость.

4) Через прямую проходит бесконечное количество плоскостей.

5) Две плоскости не могут иметь только две общие точки.

6) Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна.

7) Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую.

4. Могут ли три прямые иметь общую точку, но не лежать в одной плоскости?

5. Выберите верное утверждение.

1) Если одна точка прямой лежит в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости;

2) через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна;

3) через две пересекающиеся прямые плоскость провести нельзя;

4) любые две плоскости не имеют общих точек;

5) если четыре точки не лежат в одной плоскости, то какие-нибудь три из них лежат на одной прямой.

ІІ вариант

1. Верно ли, что если две плоскости имеют три общие точки, то эти точки лежат на одной прямой?

2. Прямая a, параллельная прямой b, пересекает плоскость α. Прямая с параллельна прямой b, тогда:

1) прямые а и с пересекаются;

2) прямая с лежит в плоскости α;

3) прямые а и с скрещиваются;

4) прямая b лежит в плоскости α;

5) прямые а и с параллельны.

3. Какие из данных утверждений являются следствиями из аксиом стереометрии? (возможно несколько ответов)

1) Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна.

2) Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

3) Через любые три точки, не лежащие на прямой, проходит плоскость.

4) Через прямую проходит бесконечное количество плоскостей.

5) Две плоскости не могут иметь только две общие точки.

6) Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна.

7) Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую

4. Верно ли, что если три данные точки лежат в каждой из двух различных плоскостей, то они лежат на одной прямой?

5. Назовите общую прямую плоскостей AFD и DEF.

1) AD; 2) DE; 3) определить нельзя; 4) DF; 5) AF.

Задача на сообразительность.

Сложите из шести палочек равной длины четыре равных треугольника.

V. Итоги урока. Рефлексия.

VI. Домашнее задание: изучить п.1, п.2, №1 (б, г), №2 (а), № 3, № 4.

Учебно-методическое обеспечение:

Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений – М.: Просвещение, 2016. – 255 с.

Рабинович Е.М. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 7-9 классы. Геометрия.-М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 1998.

Г. И. Глейзер. История математики в школе. IX-X классы. М. «Просвещение» 1983.

Дорофеев А.В. Страницы истории на уроках математики.- Киев, Журнал «Квантор», 1991.

Тесты к школьному учебнику: Геометрия. 9 класс: Справочное пособие.-М.: АСТ-ПРЕСС, 1998.