Статья «Анализ практических и методических основ темы "квадратные уравнения" в школьных учебниках алгебры»

Анализ практических и методических основ темы «квадратные уравнения» в школьных учебниках алгебры

Лавриненко Дмитрий Александрович

учитель математики и информатики, МОУ «Бородино», д.Бережки

dmitry.lavrinenko10@yandex.ru

Аннотация: статья посвящена детальному рассмотрению линии «квадратных уравнений» в различных учебниках алгебры в школьном курсе. Основное внимание уделяется выявлению сходств и различий в подходах различных авторов к преподаванию этой темы.

Ключевые слова: квадратные уравнения, дискриминант, формула корней квадратного уравнения, методика изучения.

Опираясь на различные научные источники по теме исследования, нами был сделан однозначный вывод – квадратные уравнения являются достаточно важным структурным элементом в изучении алгебры. В большинстве случаев принято считать, что в школьном курсе их изучение начинается в 8 классе. Все же, стоит заметить, что впервые с ними сталкиваются, как с «антипримерами», при изучении линии линейных уравнений вида . Примером такого задания является: «выберите из приведенных уравнений линейное: ». В данном контексте ученик обращает внимание на вторую степень, и делает вывод – такое уравнение не является линейным.

Также исключением являются примеры решения квадратных уравнений в 7 классе методом «выделения полного квадрата» и использованием формул сокращенного умножения. Например:

– воспользуемся формулой разности квадратов.

– произведение будет равняться нулю, только в том случае, когда хотя бы один из множителей равняются нулю;

– значит, можно сделать вывод, что

Несмотря на это, в большей части исследуемой литературы изучение темы «квадратные уравнения» начинается именно в 8 классе. Стоит заметить, что к этому моменту у учащихся уже накоплен определенный опыт, они владеют достаточно большим запасом алгебраических и общематематических представлений, понятий, умений.

Проведя анализ различных учебников алгебры, нами был сделан вывод, что наиболее востребованными и современными являются учебники под авторством А. Г. Мордковича, Ю. Н. Макарычева и А. Г. Мерзляка.

Свой анализ мы начали с учебников 8 класса. Рассматривая учебник А. Г. Мордковича, стоит заметить, что в нем, изучение линии квадратных уравнений, начинается только после ознакомления с алгебраическими дробями, квадратными корнями, а также квадратичными функциями – где каждой из темы отводится отдельная глава. Таким образом, сразу можно заметить, что автор постепенно «подготавливает» учеников к новому виду уравнений, параллельно уже приводя примеры решения квадратных уравнений в некоторых задачах.

Например, в главе «алгебраические дроби» рассматривая первые представления о решении рациональных уравнений, автор приводит пример: «Лодка прошла 10 км по течению реки и 6 км против течения, затратив на весь путь 2 ч. Чему равна собственная скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч?».

Решая эту задачу, ученик приходит к уравнению . Автор не акцентирует внимание на том, какое уравнение получилось, а просто предлагает способ его решения, вынеся общий множитель за скобки.

Заметим, что уже в главе «функция Свойства квадратного корня», автор, при изучении темы «понятие квадратного корня из неотрицательного числа» приводит пример, в котором раскрывает не только практическое применение знаний о квадратном уравнении, проводя прямую связь с геометрией и прямоугольным треугольником, но и приводит формулы для нахождения корней полного квадратного уравнения, при этот не акцентируя на понятии дискриминанта (рис. 2):

Рисунок 2. Пример из учебника алгебры 8 класса А. Г. Мордковича

Сами же квадратные уравнения рассматриваются в отдельной главе, в которой содержатся 5 основных параграфов:

 основные понятия;

формулы корней квадратного уравнения;

теорема Виета;

разложение квадратного трехчлена на линейные множители;

рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. 

В первом параграфе автор рассматривает основные понятия в следующей последовательности: определение квадратного уравнения и его коэффициентов, приведённые и неприведённые квадратные уравнения, полное и неполное квадратное уравнение, квадратный трехчлен, корень квадратного уравнения, решение квадрантного уравнения.

За этим следует несколько примеров по типу: . Автор демонстрирует решение показывая, что уравнение может иметь 2 или 1 решения, не иметь решений, имеет или решением может быть мнимый корень. В качестве доказательства приводя пример параболу и ее пересечение с осью Параграф завершается рассмотрением трех, уже известных ученикам, способов решения полного квадратного уравнения с помощью метода группировки, выделения полного квадрата и графическим методом. Тем самым, автор постепенно подводит к следующему параграфу – «формулы корней квадратного уравнения».

Первоначально, автор, рассматривая преобразования квадратного трехчлена приходит к определению дискриминанта, обращая внимание на то, как количество корней зависит от значения дискриминанта. В конечном итоге, выделяется отдельное правило решения квадратного уравнения (рис. 3), что является отличным способом привлечь внимание ученика и сконцентрировать основные определения вместе.

Рисунок 3 Правила решения квадратного уравнения в учебнике А. Г. Мордковича

Заметим, что для практического и самостоятельного решения в учебнике имеется не так много примеров и упражнений большинство заданий либо имеют описанное решение, либо основаны на предыдущем.

А. Г. Мордкович также уделяет не мало внимания теореме Виета, выделяя ее в отдельный параграф. В нем автор рассматривает подробное определение теоремы и ее доказательство, приводя примеры и практически доказывая ее. При этом, подробно рассматривается и обратная теорема.

В следующем параграфе рассматривается еще одно применение теоремы Виета, а именно возможность разложить квадратный трехчлен на множители. При этот автор приводит две теоремы доказывая преобразования.

Последнем этапом изучения квадратных уравнений по А. Г. Мордковичу является параграф «рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций». В нем автор рассматривает практическое применение квадратных уравнений, тем самым косвенно отвечая на вопрос «зачем же нужно уметь решать уравнения второй степени». А. Г. Мордкович приводит множество примеров решения задач на скорость движения, нахождения сторон треугольника, совместную работу и даже на концентрацию растворов.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что в учебнике алгебры 8 класса по редакцией А. Г. Мордковича, тема «Квадратные уравнения» разобрана достаточно подробно в теоретическом плане. В нем присутствует большое количество теорем, и их доказательств, замечаний и свойств. Важные теоретические аспекты автор выделяет в отдельную рамочку, чтобы акцентировать внимание учеников. Приведенные примеры подробно разобраны, многим из них предоставлен не один вариант решения, однако заметим, что для самостоятельного решения приводится недостаточно заданий.

Проведя анализ учебника алгебры 8 класса Ю. Н. Макарычева, мы можем увидеть похожую структуру. Автор также начинает изучение линии квадратных уравнений лишь после тем «рациональные дроби» и «квадратные корни».

Заметим, что Ю. Н. Макарычев, рассматривая линию квадратных уравнений как отдельную тему в рамках главы «уравнения и системы уравнений», выделят основные направления:

неполные квадратные уравнения;

формула корней квадратного уравнения;

решение задач;

теорема Виета.

В начале автор дает небольшую аннотацию к главе, в которой подмечает о новом виде уравнений. Он устанавливает метапередметную связь, напрямую указывая, что «применение формулы нахождения корней квадратного уравнения позволит применять ее не только на уроках алгебры, но и геометрии, физики, информатики».

Рассматривая первую тему, автор дает определение квадратному уравнению, устанавливая четкую зависимость коэффициентов на примерах. Продолжая рассуждения, он вводит понятие приведенного квадратного уравнения, при этом не акцентируя внимания на неприведенных. Несмотря на это, Ю. Н. Макарычев сразу же обозначает определение неполного квадратного уравнения, выделяя три основных вида, на каждый из которых имеется конкретный пример, а также общее и частное решение, с выводом о количестве возможных корней. Теоретический материал сменяется упражнениями для отработки, которые представлены в большом объеме, а также отсортированы по увеличению сложности. Такой подход позволит приобрести навык решения неполных квадратных уравнений всех видов, а также закрепить весе определения и свойства. Также присутствуют задания для повторения.

Рассматривая тему «формула корней квадратного уравнения» автор приводит частный способ решения методом выделения квадрата трёхчлена, на котором строит дальнейшие рассуждения, выводя определение и формулу дискриминанта. Обозначив вариативность значения дискриминанта, а также прямую зависимость корней от дискриминанта, он рассматривает три возможных случая, при которых и выводит формулу корней квадратного уравнения, отдельно выделяя ее. После чего приводятся лаконичные пример с подробным описанием решения, полностью раскрывающие изложенный выше материал. Для закрепления, автор предлагает большое количество упражнений, отсортированных по уровню сложности, также присутствуют задания для повторения.

Акцентируя внимание на том, что квадратные уравнения необходимы для решения определенных задач в смежных науках, таких как физика, геометрия или техника, автор начинает тему «решение задач», в которой сразу же приводит подробный разбор геометрической и физической задачи, используя выведенные ранее формулы. Приведенные далее упражнения предназначены не только для отработки способов решения квадратных уравнений, но связан с умениями логически составлять уравнения, вникая в основную суть задачи, которые тесно связаны с окружающим миром. Тема содержит и «старинные» задачи, которые похожи на те, что решали математики в XII веке. Также присутствуют задания для повторения.

Заканчивается же весь параграф рассмотрением теоремы Виета. Автор сразу приводит пример решенного квадратного уравнения, акцентируя внимание на полученных корнях и коэффициентах уравнения, из чего делает вывод в виде определения теоремы, которую доказывает ниже, также как и обратную теорему. Ю. Н. Макарычев не забывает также обозначить и историческую справку о Франсуа Виете. Как и в предыдущих темах, после теоретического обоснования приводятся три частных и общих решения определенных примеров. Заметим, что и количество упражнений для самостоятельного решения также рассматривается в большом и структурированном количестве.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что в учебнике алгебры 8 класса Ю. Н. Макарычева, тема «квадратные уравнения» не рассматривается в отдельной главе. Автор приводит подробные теоретические основания рассматриваемых тем, подкрепляя их конкретными примерами. Все упражнения разнообразны, составлены по возрастанию сложности и присутствуют в большом количестве. Заметим, что в отличии А. Г. Мордковича, Ю. Н. Макарычев не рассматривает квадратный трехчлен и рациональные уравнения совместно с квадратными, напротив, выделяя их в отдельные параграфы.

Анализ учебника А. Г. Мерзляка, также был построен на подробном рассмотрении каждой изучаемой темы, касающийся линии квадратных уравнений. Как и прежде, автор приходит к ней лишь после изучения тем «рациональные дроби», а также «квадратные корни».

А.Г. Мерзляк выделяет тему «квадратные уравнения» в отдельную главу, в которой рассматриваются следующие параграфы:

квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений;

формула корней квадратного уравнения;

теорема Виета;

квадратный трехчлен;

решение уравнений, сводящихся к квадратным;

рациональные уравнения, как математические модели реальных ситуаций.

Автор предпочел начать изучение темы с определения квадратного уравнения, придя к нему, используя уже изученные ранее понятия множества и линейного уравнения. А.Г. Мерзляк подробно описывает коэффициенты, приводит определение приведенного квадратного уравнения, сопровождая все точными и понятными примерами. Отдельное внимание хотелось бы обратить на объяснение понятия неполного квадратного уравнения. Автор дает подробное понятие, расписывает три вида неполных квадратных уравнений, сопровождая каждое примером с подробными объяснениями, которые впоследствии обобщаются и формируются в таблицу (рис. 4).

Рисунок 4. Решение неполных квадратных уравнений

Для закрепления теоретического материала присутствует достаточно большое количество упражнений, составленных по возрастанию сложности. Ключевой особенностью являются задачи на повторения, а также нестандартные задачи.

При дальнейшем рассмотрении квадратных уравнений, автор вводит понятие дискриминанта, подробно доказывая его, и делает вывод – о трех значениях дискриминанта. Благодаря этому вводится формула корней полного квадратного уравнения. В данном параграфе, автор акцентирует особое внимание теоретическому материалу, он, постепенно доказывая вводит формулу, которую впоследствии подробно объясняет через разбор конкретных примеров. Для закрепления полученных знаний приводится достаточно большое количество примеров для самостоятельной работы, а также усложненные задачи. Как и предыдущие параграфы, тема заканчивается не только разделом «упражнения для повторения», но также «готовимся к новой теме» и «учимся делать нестандартные шаги» - в которых описаны задачи позволяющие увеличить кругозор школьника и его математическое мышление.

Следующий параграф начинается с рассмотрения исторической справке о Франсуа Виете. После чего, обозначается его теорема, которая подробно доказывается. Благодаря доказательству четко прослеживается связь между следствием о корнях приведенного квадратного уравнения и обратной теоремы Виета, которые также присутствуют в изучаемой теме. Приведенные теоретические сведения подробно доказываются в разобранных примерах, которые позволяют четко проследить работу всех формул на практике. Для закрепления полученных знаний, ученикам предлагается выполнить достаточно большое количество упражнений для самостоятельной работы. Параграф также содержит разделы «упражнения для повторения», «готовимся к новой теме» и «учимся делать нестандартные шаги». Заметим, что такой подход позволяет ученикам не только закреплять старые знания, но также и подготавливаться к грядущим темам, попутно развивая логику и мышление.

Рассматривая линию квадратных уравнений А.Г. Мерзляк также уделяет внимание теме «квадратный трехчлен». В ней автор рассматривает основные определения, а также теорему о разложении квадратного трехчлена на линейные множители, сопровождая все это подробно разобранными примерами. Для самостоятельной работы предлагается достаточно большое количество упражнений, среди которых также встречаются задачи среднего уровня сложности, задания повышенного уровня сложности, «упражнения для повторения», «готовимся к новой теме» и «учимся делать нестандартные шаги».

Одной из особенностью линии квадратных уравнений по А.Г. Мерзляку, является рассмотрение темы «решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям», в которой автор подробно рассматривает биквадратные уравнения. Параграф начинается с рассмотрения уравнения четвертой степени, которое предлагается решить с помощью замены, после которой получается квадратное уравнение. Именно здесь и прослеживается связь, опираясь на которую автор дает определение биквадратного уравнения и метода его решения. Описывая более подробно метод замены А.Г. Мерзляк обращает внимание на различные способы его применения, приводя решения разных примеров. Для самостоятельного закрепления предлагается решить упражнения, а также повторить предыдущий материал в соответствующем разделе. В параграфе автор акцентирует особое внимание потребности решения уравнений четвертой и третьей степени и приводит историю открытия формул в конце параграфа.

Для рассмотрения практического применения главы «квадратные уравнения», автор акцентирует внимание на теме «рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций». Данная тема рассматривается в практическом характере, так как основной акцент идет на применение умения решать рациональные и квадратные уравнения в задачах на прямолинейное движение, совместную работу, движение по течению и против, концентрацию и сплавы. Решение этих задач позволяет провести параллель между математическими знаниями в учебнике и реальной жизнь.

Глава заканчивается подведением итогов и обобщением всех теоретических аспектов изучения в отдельной таблице. В ней приводятся основные определения и теоремы, а также формулы и вывод из них.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что в учебнике А.Г. Мерзляка квадратные уравнения рассматриваются как отдельная глава в конце учебника, которая описывается в 6 параграфах. Такой подход позволяет более детально и планомерно рассмотреть тему, не забывая о всех тонкостях и деталях. Благодаря подробному разбору и акцентированию внимания на теоретическом материале, ученики получают основные определения и теоремы, которые в дальнейшем закрепляются в упражнениях, составленных по увеличению сложности.

Проведя анализ линии квадратных уравнений в 8 классах, мы можем составить таблицу (таблица 1):

Таблица 1. Анализ основных тем учебников алгебры 8 класс

Данные таблицы позволяют сделать вывод, что каждый автор выделяет квадратные уравнения в отдельную главу. Более подробное рассмотрение предоставляет А.Г. Мерзляк, отличительной особенностью которого становится большое количество практических упражнений, а также задач на повторение и подготовительных к новой теме.

Можем заметить, что при изучении квадратных уравнений основное внимание уделяется способам решений неполных и полных, приведенных и неприведенных квадратных уравнений. Для этой темы характерна большая глубина изложения и богатство устанавливаемых с ее помощью связей в обучении, а также логическая обоснованность изложения. Ведь дальнейшее изучение курса алгебры так или иначе пересекается с линией квадратных уравнений.

В курсе математики старших классов учащиеся сталкиваются с новыми примерами уравнений, систем или с углубленным изучением уже известных. Однако это мало влияет на уже сформированную систему знаний, умений и навыков, которые лишь дополняются новым фактическим содержанием.

Большинство исследуемых источников отличаются как в содержательном плане, так и в порядке изучения тем. Но фундаментальный аспект изучения – в каждом из них одинаковый, а именно рассмотрения общего вида квадратных уравнений, решение неполных и полных квадратных уравнений. В большинстве случаев изучение не обходится без теоремы Виета.

Обобщая вышесказанное, заметим, что освоение темы «Квадратные уравнения» поднимает учащихся на качественно новую ступень овладения содержанием школьной математики.

Список использованных источников:

Макарычев, Ю. Н., Нешков, К. И. Алгебра 8 класс. Базовый уровень. Учебник. ФП 2021. ФГОС [Текст] / Ю. Н. Макарычев, К. И. Нешков. – Москва: Просвещение, 2023.– 234 с.

Макарычев, Ю. Н., Миндюк, Н. Г. Алгебра 9 класс. Базовый уровень. Учебник. ФП 2021. ФГОС [Текст] / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк. – Москва: Просвещение, 2023. – 288 с.

Мерзляк, А. Г., Поляков, В. М. Алгебра. 8 класс. Учебник. Углубленный уровень. Учебник. ФП 2021. ФГОС [Текст] / А. Г. Мерзляк, В. М. Поляков – Москва: Просвещение, 2022. – 189 с.

Мерзляк, А. Г. Алгебра. 8 класс. Учебник. ФП 2021. ФГОС [Текст] / А. Г. Мерзляк, В. П. Полонский, М. С. Якир. – Москва: Просвещение, 2023. – 207 с.

Мордкович, А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 2: задачник для учащихся общеобразовательных учреждений [Текст] / А. Г. Мордкович. – Москва: Мнемозина, 2016. – 11-е изд., испр. И доп. – 344 с.

Мордкович, А. Г., Николаев, Н. П. Алгебра. 8 класс. Учебник. ФП 2019. ФГОС [Текст] / А. Г. Мордкович, Н. П. Николаев. – Москва: Просвещение, 2021. – 290 с.

Мордкович, А. Г., Семенов, П. В. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений [Текст] / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов., стер. – Москва: Мнемозина, 2019. – 12-е изд. – 224 с.

Оганесян, В. А. Методика преподавания математики в средней школе [Текст] / В. А. Оганесян. – Москва: Просвещение, 1980. – 368 с.

Сабинина, Л. В. Методика в понятиях и терминах. Ч.1 [Текст] / Л. В. Сабинина. – Москва: Просвещение, 1978. – 320 с.

Стефанова, Н. Л., Подходова, Н. С. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов [Текст] / Н. Л. Стефанова, Н. С. Подходова. – Москва: Дрофа, 2015. – 102 с.