Урок «Квадратные уравнения» (Алгебра, 8 класс)

/data/files/u1524160742.ppt (Квадратные уравнения)

Урок лекция "Решение

квадратных уравнений

с помощью циркуля и линейки"

 

Цель: пополнить, систематизировать, углубить знания по решению квадратных уравнений, показать решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

.

Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Они находят широкое применение при решении большого количества разных типов задач.Умение быстро, рационально и правильно решать квадратные уравнения облегчает прохождение многих тем курса математики.На уроках мы решаем квадратные уравнения, используя формулыкорней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые уравнения, так же используемметод выделения полного квадрата, решаем уравнения с помощьютеоремы Виета

Мне стали интересны и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения

После изучения дополнительной литературы я подумала: "А почему мы не решаем квадратные уравнения с помощью циркуля и линейки?"и я решила освоить этот метод и научить своих одноклассников. Поэтому целью моего исследования было выяснить, можно ли решать квадратное уравнение с помощью циркуля и линейки и о нем моя работа.

2. Из истории квадратных уравнений.

Различные уравнения как квадратные, так и уравнения высших степеней решались нашими далекими предками. Эти уравнения решали в самых разных и отдаленных друг от друга странах. Потребность в уравнениях была велика. Уравнения применялись в строительстве, в военных делах, и в бытовых ситуациях.

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земельными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Как было сказано ранее, квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилонянами. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются как неполные, так и полные квадратные уравнения

х2+ х = , х2 – х = 14

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Квадратные уравнения в Индии.

Квадратные уравнения решали и в Индии. Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 году индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII век), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой конической форме:

aхІ + bx = c, где a > 0

В этом уравнении коэффициенты, кроме, а могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи ». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII вв.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. Итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемный труд ,в котором отражено влияние математики как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI-XVII вв. и частично XVIII.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду

х2 + bх = с,

при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, сбыло сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М.Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

 

3. Определение квадратного уравнения, его виды.

Определение: Квадратным уравнением называется уравнение вида

ax2 + bx + c=0,

где х- переменная, а,b и с-некоторые числа, причем, а ≠ 0.

Если в квадратном уравненииах2 + bx + c=0хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:

ах2 + с = 0, где b = 0;

ах2 + bх = 0, где с = 0;

ах2 = 0, где b= 0; с = 0.

4. Различные способы решения квадратных уравнений.

Ι.Разложение левой части уравнения на множители.

Примеры:

1.

Решение: Разложим левую часть уравнения на множители:

Следовательно, уравнение можно переписать так:

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

т.е. или

Ответ: х1 =-12;х2 = 2.

2.

Решение:

или

Ответ:

 

 

ΙΙ.Метод выделения полного квадрата.

Примеры:

1.

Решение:Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишемвыражениех2 +6хв следующем виде: х2 +6х = х2 +2·x·3.

В полученном выражении первое слагаемое – квадрат числа х, а второе – удвоенное произведение х на 3. Поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, т.к. х2 +2·x·3 +32 =﴾х+3﴿2 .

Преобразуем левую часть уравнения х2 +6х -7 =0 прибавляя к ней и вычитая 32Имеем: х2 +6х -7 = х2 +2·x·3 + 32 – 32 – 7 =﴾ х +3 ﴿2 – 9 – 7 = ﴾ х + 3 ﴿2 – 16 .

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

﴾ х + 3 ﴿2 – 16 = 0, т.е. ﴾ х + 3 ﴿2 = 16.

Следовательно, х + 3 = -4 , или х + 3 = 4,

х = -7, х =1.

Ответ: х1 = -7, х2 =1.

2.

Решение: Разделим обе части уравнения на 5, получим

Применим метод выделения полного квадрата

Следовательно, уравнение можно записать так

отсюда или

Ответ:

 

ΙΙΙ. Решение квадратных уравнений по формуле.

Вывод формулы:

Умножим обе части уравненияна и имеем

дискриминант

в случае положительного дискриминанта, т.е. приb2 - 4ac>0 , уравнение ах2+ bх + с = 0имеет два различных корня

если дискриминант равен нулю, т.е. b2 - 4ac = 0, то уравнение

ах2+ bх + с = 0имеет единственный корень,

если дискриминант отрицателен, т.е. b2 - 4ac< 0,

уравнение ах2+ bх + с = 0не имеет корней.

Примеры:

1.

Решение:>0, два корня;

Ответ:

2.

Решение:D=0,один корень;

Ответ:

3.

Решение:<0.

Уравнение не имеет корней.

Ответ: нет решений.

ΙV. Решение уравнений с использованием теоремы Виета

( прямой и обратной ).

Приведенное квадратное уравнение имеет вид

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а=1 имеет вид

По коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней.

Если свободный член q приведенного квадратного уравнения положителен, то уравнение имеет два корня и это зависит от второго коэффициента p. Если p>0, то оба корня отрицательны, если p<0, то оба корня положительны.

Если свободный член q приведенного уравнения отрицателен, то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p<0, или отрицателен, если p>0.

Применяя теорему обратную теореме Виета:

Если p,q,таковы, чтоможно подбором найти корни уравнения

Примеры:

1.

Решение: здесь p=-5, q=6. Подберем два числа и так, чтобы

Заметив, что 6=2·3, а 2+5=5, по теореме, обратной теореме Виета, получаем,что х1=2, х2=3 – корни уравнения

Ответ:х1=2, х2=3

2.

Решение: здесь p=-3, q=2. Подберем два числа и так, чтобы

Заметив, что 2=1·2, а 2+1=3, по теореме, обратной теореме Виета, получаем,что х1=2, х2=1 – корни уравнения

Ответ:х1=2, х2=1

V. Решение уравнений способом «переброски».

Рассмотрим квадратное уравнение

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

Пусть ах = у, откуда; тогда приходим к уравнению

равносильного данному. Его корниу1иу2найдем с помощью теоремы обратной теореме Виета.

Окончательно получаем иПри этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему обратную теореме Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Примеры:

1.

Решение: «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнениеСогласно теореме обратнойтеоремеВиета

Ответ:

2.

Решение:Используя метод «переброски», получим уравнение

По теореме обратной теоремеВиета:

Ответ:

VΙ. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Пусть дано квадратное уравнение

1. Если а + в + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то

2. Если а – в + с = 0, или в = а + с, то

3. Если в уравнении

4. Если второй коэффициент в = 2k – четное число, то формулу корней

можно записать

5.Приведенное уравнениесовпадает с уравнением общего вида,

в котором а = 1, в = p и с = q. Поэтому для приведенного квадратногоуравнения формула корнейпринимает вид или

Эту формулу особенно удобно использовать, когда p – четное число.

Примеры:

1.

Решение:так как а + в + с = 0 (2 – 7 + 5 =0), то

Ответ:

2.

Решение:так как 7 – 5 – 2 = 0, то

Ответ:

3.

Решение:так как а – в + с = 0 (5 – 7 + 2 = 0), то

Ответ:

4.

Решение:так как 5 – (-2) + 7 = 0, то

Ответ:

5.

Решение: здесь 6 = 3·2, 13 = 32 + 22. Корни этого уравнения

Ответ:

6.

Решение: здесь 6 = 3·2, но 5 = 32 – 22 и

Ответ:

Пример:

7.

Решение:имеем а = 3, в = - 14, с = 16, k = - 7;

D=k2 – ас. D= (-7)2 - 3·16 = 49 – 48 = 1, D>0, два различных корня;

Ответ:

Пример:

8.

Решение:имеем

Ответ: х1= – 1 и х2 = 15.

VΙΙ. Графическое решение квадратного уравнения

Если в уравненииx2 + px + q = 0

перенести второй и третий члены в правую часть, то получим

x2= –px–q.

Построим графики зависимостейу = х2 и у = –px–q.

График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат.

График второй зависимости – прямая.

Возможны следующие случаи: прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

- прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка),т.е. уравнение имеет одно решение;

- прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Пример: Решить уравнение графических2+ х – 6 =0

Решение. Запишем уравнение в виде х2= 6-х

Построим параболу у = х2 и прямую у =6-x, проходящую через точки

A (-3;9) и B (2;4).

Прямая и парабола пересекаются в двух точкахс абсциссами х1= – 3 и х2 = 2.

Ответ:х1= – 3, х2 =2.

Пример:Решить уравнение графически х2 - 2х +1 = 0

Решение. Запишем уравнение в виде х2=2x-1

Построим параболу у = х2и прямую у =2x-1 по точка (1,1), (-1,-3)

Прямая и парабола пересекаются в одной точке с абсциссой x=1, значит уравнение имеет один кореньy

. y = x2

 

y = 2 x - 1

 

x

1

 

 

Ответ:x=1.

Пример: Решить уравнение графически х2 - х +2 = 0

Решение. Запишем уравнение в виде х2=x-2

Построим параболу у = х2 и прямую у = x-1, проходящую через точки

(4,2), (-1,-3)

Прямая и парабола не пересекаются,значит уравнение не имеет корней.

Ответ: уравнение не имеет корней.

y

y = x2

 

 

y =x - 1

 

1 x

 

VΙΙΙ. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то потребуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика. Рассмотримрешение квадратных уравненийах2 + bх + с = 0с помощью циркуля и линейки.Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в

точкахB(х1;0) и С(х2;0), где х1 и х2– корни уравнения

ах2 + bх + с = 0, и проходит через точкиА (0;1) и Е(0;) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем ОВ∙ОС = ОА ∙ ОЕ, откуда

ОЕ =у

С(0; )

FS() О

А(0; 1)

К

В(х1, 0) С(х2, 0)х

Центр окружности находиться в точке пересечения перпендикуляров

SF иSK, восстановленных в серединах хорд AC и BC, поэтому

SK =, SF= .

Итак: построим точки S(; ) (центр окружности) иА (0;1);

проведем окружность с радиусом SA;

абсциссы точек пересечения этой окружности с осьюОхявляются корнями квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

а)Радиус окружности больше ординаты центра х1 и х2 – корни квадратного уравненияах2 + bх + с = 0.

 

 

б)Радиус окружности равен ординате центра х1– корень квадратного уравнения.

 

 

 

в)Радиус окружности меньше ординаты.Нет решения.

 

 

 

Пример:x2-5x+4=0

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

у = = , S(2,5;2,5)

Проведем окружность радиуса SA, где А (0;1).

Y

 

 

2,5 S

A

O X

1 2,54

Ответ:x1=1, x2=4.

Пример:x2+4x+4=0

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:у = =S(-2;2,5)

Проведем окружность радиуса SA, где А (0;1).

y

 

 

S

A x

-2-1 O

 

 

Ответ:x=-2.

Пример:x2-2x+3=0

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:у = =S(1;2)

Проведем окружность радиуса SA, где А (0;1)

y

 

 

 

 

 

2S

A

O1 x

 

Ответ: корней нет.

Пример:2x2-7x+5=0

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

у = =S(;)

 

Проведем окружность радиуса SA, где А (0;1).

 

 

S

A

 

1

 

 

 

Ответ:x1=1, x2=2,5.

Пример:x2-5x+6=0

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

у = =S(2,5;)

Проведем окружность радиуса SA, где А (0;1).

 

y

 

 

3,5 S

A x

O

2 2,53

 

 

 

 

Ответ:x1=2, x2=3.

Различные способы решения одного квадратного уравнения:

Ι.Разложение левой части уравнения на множители.

Пример:

Решение:х2-2х -3 = 0

х2–2х -2 -1 =0

(х2-1) – (2х+2)=0

(х-1) (х+1) –2(х+1) = 0

(х+1)(х-1-2)=0

(х+1)(х-3) =0

х+1 =0 или х-3=0

х=-1 или х= 3

Ответ: х1=-1 х2= 3.

ΙΙ.Метод выделения полного квадрата.

Пример:

Решение: х2-2х -3= х2-2х+1 -1-3=(х-1)2-4

(х-1)2-4=0

(х-1)2=4

х -1 =2 х-1=-2

х=3 х=-1

Ответ: х1=-1 х2= 3.

ΙΙΙ. Решение квадратных уравнений по формуле.

Пример:

Решение:>0, два корня;

Ответ: х1=-1 х2= 3.

ΙV. Решение уравнений с использованием теоремы Виета

Пример:

Решение: здесь p=-2, q=-3. Подберем два числа и так, чтобы

Заметив, что -3=3·(-1), а 3-1=2, по теореме, обратной теореме Виета, получаем,что х1=3, х2=-1 – корни уравнения

Ответ: х1=-1, х2= 3.

 

V. Решение уравнений способом «переброски».

Решение уравнение этим способом рассматривать не будем т.к. при умножении на а =1 мы получаем исходное уравнение.

VΙ. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Пример:

Решение:т.к. а – в + с = 0(1+2-3=0) , то

Значит х1=-1,

Ответ: х1=-1, х2= 3.

VΙΙ. Графическое решение квадратного уравнения

Пример: х2–2х – 3= 0.

Решение. Запишем уравнение в виде

х2= 2х + 3

Построим параболу у = х2 и прямую у = 2х + 3.

Прямую у = 2х + 3 можно построить по двум

точкам (0;3) и (1;5).

Прямая и парабола пересекаются в двух точках

с абсциссами х1= – 1 и х2 = 3.

у=х2 уу = 2х + 3

 

 

 

 

 

 

 

- 1 0 3 х

Ответ: х1=-1, х2= 3.

VΙΙΙ. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

Пример:

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

х = –

у = = S(1;-1)

Проведем окружность радиуса SA, где А (0;1).

 

 

A1

-1 O1s2 3

 

Ответ:х1= – 1 , х2 = 3.

 

Дидактический материал к работе.

1. Решите квадратное уравнение, разложив его левую часть на множители:

1) х2 – х = 0 6) х2 – 4х + 4 = 0

2) х2 + 2х = 0 7) х2 + 6х + 9 = 0

3) 3х2 – 3х = 0 8) х2 + 4х +3 = 0

4) х2 – 81 = 0 9) х2 + 2х – 3 = 0.

5) 4х2 – = 0

2. Решите уравнения по формуле:

1) 2х2 – 5х + 2= 0 4) 4х2 – 12х +9 = 0

2) 6х2 + 5х + 1=0 5) 10х2 – 6х + 0,9 = 0

3) 3х2 – 7х – 1 = 0 6) 2х2 – 3х + 2 = 0

3. Не решая квадратного уравнения, определите знаки его корня:

1) х2 – 2х – 15 = 0 7) х2 – 2х + 1 = 0

2) х2 + 2х – 8 = 0 8)х2 + 4х + 4 = 0

3)х2 + 10х + 9 = 0 9)х2 – 6х + 9 = 0

4)х2 – 12х + 35 = 0 10) 4х2 + 7х – 2 = 0

5)3х2 +1 4х + 16 = 0 11) 5х2 – 9х – 2 = 0

6)х2 – 5х + 6 = 0 12) х2 – 11х + 15 = 0

4. Решите уравнения, используя метод «переброски»:

2х2 – 9х +9 = 0 5) 3х2 + х – 4 = 0

10х2 – 11х + 3 = 0 6) 5х2 – 11х + 6 = 0

3х2 +11х +6 = 0 7) 2х2 + х – 10 = 0

4х2 +12х + 5 = 0 8) 6х2 +5х – 6 = 0

5. Решите уравнения, используя свойства коэффициентов:

5х2 – 7х + 2 = 0 5) 839х2 – 448х – 391 = 0

3х2 + 5х – 8 = 0 6) 939х2 + 978х +39 = 0

11х2 + 25х – 36 = 0 7) 313х2 + 326х + 13 = 0

11х2 + 27х +16 = 0 8) 2006х2 – 2007х + 1 = 0

 

6. Решите уравнения по формуле четного коэффициента:

4х2 – 36х + 77 = 0 3) 4х2 + 20х + 25 = 0

15х2 – 22х – 37 = 0 4) 9х2 – 12х + 4 = 0

 

7. Решите приведенные квадратные уравнения по формуле:

х2 – 8х – 9 = 0 3) х2 + 18х + 81 = 0

х2 + 6х – 40 = 0 4) х2 - 56х + 64 = 0

8. Решите графически уравнения:

1) х2–х – 6 = 0; 4) х2 –2х – 3 = 0;

2) х2–4х + 4 = 0; 5)х2 + 2х – 3 = 0;

3) х2 + 4х +6 = 0; 6) 4х2 –4х – 1 = 0.

9.Решите с помощью циркуля и линейки следующие уравнения:

1) х2–3х + 2 = 0; 4)2х2 –7х + 5 = 0;

2) х2–3х – 10 = 0; 5)х2 –6х + 9 = 0;

3) х2+4х + 3 = 0; 6) х2 +4х + 5 = 0.

 

Заключение

Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики и других прикладных наук, поэтому математики стараются найти как можно больше способов их решения. В данной работе я рассмотрела восемь способов, но это не значит, что их больше не существует.

Работая над проектом, я познакомилась со способом решение квадратных уравнений с помощью номограммы, с геометрическим способом, я рассматривала решения уравнений с использованием теоремы Безу.

Просто с моей точки зрения способы, которые я рассмотрела самые рациональные. Конечно, решать уравнения по формуле проще, чем выполнять построения, но с помощью формул мы решаем уравнения на уроках, а мне было интересно расширить свои знания и способ решения с помощью циркуля и линейки мне показался самым интересным.

Теперь, я умею решать квадратные уравнения различными способами лучше всех в классе и уже даже поэтому могу утверждать, цель создания проекта я достигла. Я думаю, что моя работа будет очень интересна моим одноклассникам.

Ведь квадратные уравнения еще не раз встретятся на нашем пути, еще не раз заставят нас “поломать” голову, удивят красивыми решениями, помогут в изучении новых тем в алгебре, геометрии

Как результат своей работы я составила небольшой дидактический материал, который предлагаю для использования на уроках математики

 

Литература

 

Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений / Г. В. Дорофеев и др. – М.: Дрофа, 2004

.Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1988

Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: просвещение, 1982

Окунев А. К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1972

Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. М., Квант, №4/72. С.34.