Формула Пика

Проект

Формула Пика

Автор:

Гузенко Ксения,

ученица 7 класса, МБОУ

«Львовская СОШ»

Руководитель: Искендерова Н.Г.,

учитель математики

Белгородская область

Новооскольский район

2019г

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………....................3

1. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

1.1. Формула Пика. Решетки. Узлы………………………………….5

1.2.Доказательство формулы Пика. ………………………………7

2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1.Исследование площадей многоугольников,

изображенных на клетчатой бумаге……………………………………………..……………9

2.2. Геометрические задачи с практическим содержанием…....13

ЗАКЛЮЧЕНИЕ …………………………………………………………..15

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………………..17

ПРИЛОЖЕНИЕ …………………………………………………………18

Введение

«Берем палец и считаем»

В.В.Вавилов

Нарисуйте, пожалуйста, сложный невыпуклый многоугольник на клетчатой бумаге, а я вам в уме за полминуты найду площадь этой фигуры.

Увлечение математикой часто начинается с размышления над какой-то задачей. Увидев задачи в контрольно – измерительных материалах ОГЭ на нахождение площади многоугольника на клетчатой бумаге, я решила их исследовать. Возникли вопросы: в чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге. Формулы для нахождения площадей многоугольников мы ещё не изучали, а попробовать хотелось бы. Может есть какой-то метод для нахождения площади фигуры, изображённой на клетчатой бумаге? Ведь, если фигура состоит из целых квадратиков, это сделать довольно таки легко. Посчитать квадратики и всё! А когда квадратик не целый, что делать? Я подумал, что решения таких задач должны существовать и должны быть оригинальны, красивы и часто проще и быстрее, чем аналитическим путем.

Так и была определена тема для моего проекта.

Объект проекта: задачи на клетчатой бумаге.

Предмет проекта: задачи на вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге, методы и приёмы их решения.

Методы проекта:

Теоретические: анализ и синтез.

Эмпирические: сравнение.
Индуктивный метод – получение выводов из конкретных примеров.

Цель проекта:

Изучить формулу Пика для вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге.

Для достижения поставленной цели предусматривается решение следующих задач:

Подобрать необходимую литературу.

Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию.

Проанализировать и систематизировать полученную информацию.

Найти различные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге.

Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам.

Гипотеза: Площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика равна площади фигуры, вычисленной по формуле планиметрии.

При решении задач на клетчатой бумаге понадобится геометрическое воображение и достаточно простые геометрические сведения, которые известны всем. При более внимательном исследовании задач на клетчатой бумаге, убеждаешься в их востребованности, оригинальности, полезности, возникает ощущение красоты, закона и порядка в природе.

Решетки. Узлы. Формула Пика.

При решении задач на клетчатой бумаге необходимы понятия решетки и узла.

Клетчатая бумага (точнее — ее узлы), на которой мы часто предпочитаем рисовать и чертить, является одним из важнейших примеров точечной решетки на плоскости.

Рассмотрим на плоскости два семейства параллельных прямых, разбивающих плоскость на равные квадраты.Любой из этих квадратов называется фундаментальным квадратом или квадратом, порождающим решетку. Множество всех точек пересечения этих прямыхназывается точечной решеткой или просто решеткой, а сами точки –узлами решетки.

Рис.1.

Чтобы оценить площадь многоугольника на клетчатой бумаге, достаточно подсчитать, сколько клеток покрывает этот многоугольник (площадь клетки мы принимаем за единицу

А также, площадь любого многоугольника, нарисованного на клетчатой бумаге, легко посчитать, представив её как сумму или разность площадей прямоугольных треугольников и прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки,проходящим ч ерез вершины нарисованного треугольника.Чтобы вычислить площадь многоугольника, изображенного на рисунке, необходимо достроить его до прямоугольникаABCD, вычислить площадь прямоугольника ABCD, найти площадь заштрихованной фигуры как сумму площадей треугольников и прямоугольников её составляющих, вычесть её из площади прямоугольника.И хотя многоугольник и выглядит достаточно просто, для вычисления его площади нам придется потрудиться. А если бы многоугольник выглядел более причудливо, как на следующих рисунках?

Оказывается, площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах решетки, можно вычислять гораздо проще: есть формула, связывающая их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника. Эта замечательная и простая формула называется формулой Пика: S = В + - 1, где S– площадь многоугольника, В – число узлов решетки, расположенных строго внутри многоугольника,

Г – число узлов решетки, расположенных на его границе, включая вершины. Будем рассматривать только такие многоугольники, все вершины которых лежат в узлах решетки.

1.2. Доказательство формулы Пика.

Пусть В – число узлов решетки, расположенных строго внутри многоугольника, Г – число узлов решетки, расположенных на его границе, включая вершины,   — его площадь. Тогда справедлива формула Пика:.

Пример 1. Вычислить площадь многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге по формуле Пика.

S = В + Г/ 2 – 1

В = 14, Г = 8, S = 14 + 8/2 -1= 17 ( кв.ед.)

Покажу справедливость формулы Пика. Сначала заметим, что формула Пика верна для единичного квадрата.

Действительно, в этом случае имеем: В=0, Г=4 иS=0+4/2-1=1. Фундаментальный квадрат порождает решетку, то есть решетку можно построить следующим образом. Отметим вершины квадрата. Затем сдвинем его параллельно одной из его сторон на длину этой стороны и отметим две вновь полученные вершины.

Если этот процесс продолжать сначала в одном направлении до длины a, а затем полученную полоску сдвинуть параллельно себе в направлении другой стороны квадрата на длину этой стороны до длины b, то получим решетку.

а

b

Причем, число узлов решетки, лежащих внутри решетки,

В = (а-1)(b-1), а число узлов решетки, расположенных на его границе,

Г = 2a + 2b.

Рассмотрим прямоугольник со сторонами, лежащими на линиях решетки. Пусть длины его сторон равны  и . Имеем в этом случае,В=(а-1)(b-1), Г=2a+2b, тогда по формуле ПикаS= (a -1)(b-1) + -1 =ab-a-b+1+a+b-1=ab. Получили формулу площади прямоугольника со сторонами a, b.

Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник с катетами a и b. Такой треугольник получается из прямоугольника со сторонами a и b, рассмотренного в предыдущем случае, разрезанием его по диагонали. Пусть на диагонали лежат c целочисленных точек. Тогда для этого случая, Г=+с-1 и получаем, что S = + -1 = - - - + + + + - - 1 = . Таким образом, получили формулу для вычисления площади прямоугольного треугольника. Значит, формула Пика верна для прямоугольного треугольника.

Теперь рассмотрим произвольный треугольник. Его можно получить, отрезав от прямоугольника несколько прямоугольных треугольников и, возможно, прямоугольник. Поскольку и для прямоугольника, и для прямоугольного треугольника формула Пика верна, мы получаем, что она будет справедлива и для произвольного треугольника.

Рис.2.

2.1.Исследование площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге.

Приведу несколько примеров из заданий ОГЭна нахождение площадей многоугольников.

Вывод: Таким образом, рассматривая задачи на нахождение площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге, по формулам геометрии и по формуле Пика и сравнивая результаты в таблицах, я показал справедливость формулы Пика и пришла к выводу, что площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика равна площади фигуры, вычисленной по формуле геометрии.

Итак, моя гипотеза оказалась верной.

Казалось бы, что увлекательного можно найти на клетчатой плоскости, то есть, на бесконечном листке бумаги, расчерченном на одинаковые квадратики? Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны. Я научилась вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке.

Для многих задач на бумаге в клетку нет общего правила решения, конкретных способов и приёмов. Вот это их свойство обуславливает их ценность для развития не конкретного учебного умения или навыка, а вообще умения думать, размышлять, анализировать, искать аналогии, то есть, эти задачи развивают мыслительные навыки в самом широком их понимании.

2.2.Геометрические задачи с практическим содержанием.

Поможет нам формула Пика и для решения геометрических задач с практическим содержанием.

З адача 1. Найдите площадь лесного массива (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе 1 см – 200 м (рис. 3)

Решение. Найдём S площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика:

S = В + - 1

В = 8, Г = 7. S = 8 + 7/2 – 1 = 10,5 (см²)

Рис. 31 см² - 200² м²; S = 40000 · 10,5 = 420 000 (м²)

О твет: 420 000 м²

Задача 2. Найдите площадь поля (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе 1 см – 200 м. (рис. 4)

Решение. Найдём S площадь четырёхугольника,

Рис. 4.

изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика: S = В + - 1

В = 7, Г = 4. S = 7 + 4/2 – 1 = 8 (см²)

1 см² - 200² м²; S = 40000 · 8 = 320 000 (м²)

Ответ: 320 000 м²

З адача 3. Вершины квадрата соединены с серединами его сторон, как показано на рисунке 5. Найдите площадь закрашенного восьмиугольника, если стороны квадрата равны 12.

Рис. 5.Решение: По формуле Пика: S= В + Г /2 – 1. В = 21,

Г = 8, S = 21 + 8 / 2 – 1 = 24 (кв.ед.)

Заключение

В процессе исследования я изучила справочную, научно-популярную литературу. Узнала, что задача на нахождение площади многоугольника с вершинами в узлах сетки сподвигла австрийского математика Пика в 1899 году доказать замечательную формулу Пика.

В результате моей работы я расширила свои знания о решении задач на клетчатой бумаге, определила для себя классификацию исследуемых задач, убедился в их многообразии.

Я научилась вычислять площади многоугольников, изображенных на клетчатом листке. Рассмотренные задания имеют различный уровень трудности – от простых до олимпиадных. Каждый может найти среди них задачи посильного уровня сложности, отталкиваясь от которых, можно будет переходить к решению более трудных. Такой способ нахождения площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге, буду использовать на ОГЭ для решения задач.

Занятия геометрией на клетчатой бумаге создают условия для успешного усвоения геометрического материала, включённого в программу по математике. Клетчатая бумага позволяет проводить многие геометрические построения, помогает лучше понять и изучить свойства фигур. Упражнения на клетчатой бумаге способствуют развитию интуиции, воображения, памяти, внимания.

Я пришла к выводу, что тема, которая меня заинтересовала, достаточно многогранна, задачи на клетчатой бумаге многообразны, методы и приёмы их решения также разнообразны. Поэтому, я решила продолжить работу в этом направлении и рассмотреть задачи на разрезание, задачи на разрезание с раскраской, вычисления на клетчатой бумаге, которые встречаются на олимпиадах по математике.

Список литературы

Вавилов В.В, Устинов А.В.Многоугольники на решетках.М.МЦНМО,2006.

Геометрия на клетчатой бумаге. Малый МЕХмат МГУ.

Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика. Математика, 2009, № 17, с. 24-25.

Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2010 – 2019.

Игнатьев Е. И. В царстве смекалки. – М.: Наука, 1982.

Математические этюды.etudes.ru

Семенов А.Л. ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В. – М.: «Экзамен», 2013гг

Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрические задачи с практическим содержанием. – М.: Чистые пруды, 2010.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Приложение 1.

Задачи на нахождение площади многоугольника на клетчатой бумаге по формуле Пика.

Задача 1.

Найдите площадь прямоугольника АВСD (рис.1).

Р ешение. По формуле Пика: S = В + - 1 .

В = 8, Г = 6

S = 8 + 6/2 – 1 = 10 (см²)

Ответ: 10 см².

Рис. 1

Задача 2. Найдите площадь параллелограмма АВСD (рис.2)

Р ешение. По формуле Пика: S = В + - 1 .

В = 6, Г = 6

S = 6 + 6/2 – 1 = 8 (см²)

Ответ: 8 см².

Рис. 2

Задача 3. Найдите площадь треугольника АВС (рис.3)

Р ешение. По формуле Пика: S = В + - 1 .

В = 6, Г = 5

S

Рис. 3

= 6 + 5/2 – 1 = 7,5 (см²). Ответ: 7,5 см².

Задача 4. Найдите площадь четырёхугольника АВСD (рис. 4)

Р ешение. По формуле Пика: S = В + - 1 .

В = 5, Г = 7

S = 5 + 7/2 – 1 = 7,5 (см²)

Ответ: 7,5 см².

Рис. 4

Приложение 2.

Задания из КИМовГИА по математике.

З адача 1. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (рис. 6). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Решение. По формуле Пика: S = В + - 1 .

В = 12, Г = 6

S = 12 + 6/2 – 1 = 14 (см²). Ответ: 14

Рис. 6

Задача 2. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена трапеция (рис. 7). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

Р ешение. Воспользуемся формулой Пика:

В = 12, Г = 17

S = 12 + 17/2 – 1 = 19,5 (см²)

О

Рис. 7

твет: 19,5

Приложение 3.

Задачи – рисунки, для которых применима формула Пика. ЕГЭ по математике.

Сайт «Решу ЕГЭ». ( № 27543 – 27671)

Найти площадь изображенного на рисунке многоугольника: