Интегрированный урок по математике и информатике «Исследование системы линейных уравнений с двумя переменными на количество решений и оформление работы в MicrosoftWord, PowerPoint»

Область Восточно-Казахстанская Город (район) Семей Школа (номер школы, название) КГУСО школа-лицей №7 Ф.И.О. педагога (автора статьи) Шукыжанова А.С., Сангалиева Г.К. Контактные данные (телефон, электронный адрес) sgk_7@mail.ru

Интегрированный урок по математике и информатике на тему: "Исследование системы линейных уравнений с двумя переменными на количество решений и оформление работы в MicrosoftWord, PowerPoint"

Цели урока:

Образовательные:

Развивающие:

Воспитательные:

• повторить способы решения систем линейных уравнений;

  связать графическую модель системы с количеством решений системы;

  найти связь между соотношением коэффициентов при переменных в системе и количеством решений;

  уметь использовать практические навыки работы с презентацией и в текстовом редакторе.

  формировать способности к самостоятельным исследованиям;

  развивать познавательный интерес учащихся;

  развивать умение выделять главное, существенное.

  воспитывать культуру общения; уважение к товарищу, умение достойно вести себя, закреплять навыки работы в группе;

  формировать мотивацию на здоровый образ жизни.

Тип урока: комбинированный, интегрированный

Оборудование: ПК, экран, проектор, переносная доска

ХОД УРОКА

I. Организационный момент (нацелить учащихся на урок)

Вступление учителя математики:  сегодня на уроке мы будем повторить и обобщить ранее изученный материал по математике и информатике, а основная цель - исследовать связь между соотношением коэффициентов при переменных в системе линейных уравнений и количеством ее решений.

II. Повторение правил техники безопасности

Учитель информатики:

Требования безопасности во время работы

При появлении изменений в функционировании аппаратуры, самопроизвольного ее отключения необходимо немедленно прекратить работу и сообщить об этом преподавателю.

Контролировать расстояние до экрана и правильную осанку.

Запрещается:

При включенном напряжении сети отключать, подключать кабели, соединяющие различные устройства компьютера.

Касаться экрана дисплея, тыльной стороны дисплея, разъемов, соединительных кабелей, токоведущих частей аппаратуры.

Самостоятельно устранять неисправность работы клавиатуры.

Работать грязными, влажными руками, во влажной одежде.

Работать за дисплеем дольше положенного времени.

Запрещается без разрешения преподавателя:

Включать и выключать компьютер, дисплей.

Подключать кабели, разъемы и другую аппаратуру к компьютеру.

Требования безопасности по окончанию работы:

По окончании работы выполнить действия строго по указанию преподавателя.

III.Проверка домашнего задания (коррекция ошибок)

Учитель математики: покажите решение системы разными способами:

а) методом подстановки;
б) методом сложения;
г) графически;

Пока на доске готовятся к ответам по домашнему заданию, с остальными учениками начинается подготовка к следующему этапу урока.

IV. Актуализация опорных знаний

Ребята, мы с вами сейчас повторим способы решения систем линейных уравнений и графическая модель системы линейных уравнений с двумя переменными.

Давайте вспомним, что называется системой линейных уравнений?

Что является решением системы с двумя переменными?

Что означает решить систему линейных уравнений с двумя переменными ?

Сколько решений может иметь система уравнений?

Как узнать, сколько решений имеет система?

Какие способы решения систем знаете, какие их преимущества и недостатки?

Закончить предложение: если прямые не пересекаются т. е. параллельны, то …

Если прямые совпадают, то...

Предлагаю вашему вниманию пять систем. Вам необходимо для каждой из них определить рациональный способ решения и обосновать свой выбор.

1.

2.

Определите количество решений системы уравнений:

2. 3.

V. Исследовательская работа

Работа дана в качестве домашнего задания. Работа выполняется в 6 группах по 4 человека: все исследуют задание, один ученик выполняет работу в MicrosoftWord (графическую работу в ПО GeoGebra), второй – в PowerPoint, третий –защищает, четвертый – координирует.

Учитель информатики: повторим правила оформления в текстовом редакторе над исследовательской работой:

Требования к оформлению работ

Текст должен быть набран на компьютере и содержать:

Титульный лист

Оглавление

Введение (не более 2-х страниц): актуальность выбранной темы исследования, цель, задача данной работы, кратко указываются методы решения поставленной задачи.

Исследовательскую часть (не более 15 стр.) может состоять из отдельных глав и содержать: аналитический обзор известных результатов по выбранной теме, где отмечается необходимость проведения данной работы и цель, описание методов решения поставленной задачи, результаты работы и их обсуждение, иллюстративный материал (чертежи, графики, фотографии, рисунки и т.д.)

Список использованной литературы. Ссылки следует давать в квадратных скобках. Нумерация должна быть последовательной, по мере появления ссылок в тексте. Порядок: фамилия и инициалы автора, название статьи и журнала, книги, место издания и издательство, год издания, номер выпуска, страницы.

Учащиеся отвечают и показывают свои работы в соответствии по группам.

Учитель математики:

Основная цель - исследовать связь между соотношением коэффициентов при переменных в системе линейных уравнений и количеством ее решений, а также зависимость количества решений системы от расположения графиков линейных уравнений.

Задания группам:
 

Группа 1. Дана система уравнений      

Составить системы уравнений относительно значений параметра, чтобы система:

а) не имеет решений;

б) имела одно решение;

в) имела бесконечное множество решений.

Группа 2.

Составьте линейное уравнение, если для уравнения

ах + 3у = 6 пара (-3;4) является решением. Добавьте ещё одно уравнение так, чтобы система этих уравнений :

а)имела одно решение;
б) не имеет решений.

Группа 3.

Дана система уравнений      

Определить:

– При каких значениях параметра в графики данных функции параллельны?

– При каких значениях параметра в графики данных функции пересекаются?

– При каких значениях параметра в графики данных функции совпадают?

Группа 4.

Составьте линейное уравнение х + 3у = а, если ее график, пересекает график функции

у= 2,5х - 5,5 в точкеА(3,2).

Добавьте ещё одно уравнение так, чтобы система этих уравнений имела:

а) одно решение;
б) бесконечное множество решений

Группа 5.

Найти уравнение, которое в системе с уравнением 2х - у =0 не имеет решений, а в системе с уравнением 2х - 3у = 6 имеет одно решение.

Группа 6.

По данному графику составить уравнение линейной функции.

Добавьте ещё одно уравнение так, чтобы система этих уравнений :

а) не имеет решений;

б)имела одно решение;

Вывод.

Если количество решений систем линейных уравнений зависит от коэффициентов при переменных и от расположения графиков, то

не прибегая к решению, исследуя данный параметр, а также график линейного уравнения можно ли составить систему уравнений так, чтобы она:

а) имела одно решение;

б) не имеет решений;

в) имела бесконечное множество решений?

Ваш ответ?

Учащиеся по группам защищают свои проекты у экрана.

VI. Заключительный этап.

Тесты для групп:
Вариант1

1 Какая из перечисленных пар чисел является решением системы уравнений

 

а)(0;-8) б) (8;0) в) (9;-1) г) (15; -7)

2. Сколько решений имеет система
 
а) одно б)нет решений в) множество решений г) два решения 
3. Решите систему уравнений и найдите сумму значений переменных х и у 

а) 1 б) -1 в) 5 г) – 7

Вариант 2

1 Какая из перечисленных пар чисел является решением системы уравнений?

а) (15; -7) б) (-2;-7) в) (0;-5) г)(11;6)

2. Сколько решений имеет система 

а) множество решений б)нет решений в) одно г) два решения

3. Решите систему уравнений и найдите сумму значений переменных х и у 
 
а) 95 б)19 в)- 19 г) 85 
Вариант 3

1 Какая из перечисленных пар чисел является решением системы уравнений

а) (2;9) б) (4;3) в) (3;2) г) (-4;3)

2. Сколько решений имеет система 

а) нет решений б) множество решений в) одно г) два решения

3. Решите систему уравнений и найдите сумму значений переменных х и у 

а) 1 б)7 в)-1 г) -7

Вариант 4

1 Какая из перечисленных пар чисел является решением системы уравнений

а)(-2;-3) б)(1;1) в)(9;0) г) (-2;3)

2. Сколько решений имеет система 

а) множество решений б)нет решений в) одно г) два решения

3. Решите систему уравнений и найдите сумму значений переменных х и у 

а) 5 б) 1 в)-1 г)-5

Ответы к тесту 
 

Выводы:

Сегодня на уроке мы обобщили все методы решения систем линейных уравнений с двумя переменными.

Выделили преимущества и недостатки каждого метода и наиболее распространенный метод решения систем.

Рассмотрели системы имеющие различное количество решений.

Рассмотрели методы наиболее рациональные при решении той или иной системы.

Непосредственно проверили практические знания решения систем линейных уравнений с двумя переменными при решении систем линейных уравнений с параметрами.
VII. Рефлексия. Методика «Дерево»

Дерево, разбито на части. Каждая часть- это уровень знаний, который вы приобрели на уроке.

крона - ответ на вопросы не вызывает сомнения;

ствол дерева - сомнения есть;

корень - вопросы остались не понятными;

VIII. Домашнее задание

№1522(2) №1561(2), решать любым способом, параграф 9, п. 9.3 - 9.5.
 

Работы учащихся по группам (1 группа)

Защита презентации (1 группа)

Коммунальное Государственное учреждение

средняя общеобразовательная школа-лицей №7

Система линейных уравнений

с двумя неизвестными

Подготовили ученики 6 «А» класса:

Аханова З., Тайлакбаев Т.,

Исанов А., Голдомов Э.

г.Семей, 2017

Система линейных уравнений с двумя неизвестными

Введение

 

Разработкой методов решения систем линейных уравнений с двумя переменными занимался древнегреческий ученый Диофант, который не имел обозначений для неизвестных, прилагал немало усилий для того, чтобы свести решения системы уравнений к решению одного уравнений. Позже приемы исключения неизвестных из линейных уравнений разрабатывали известные ученые, такие как Ферма, Ньютон и другие. Немало задач, вызванных необходимостью того времени, решаются с помощью систем уравнений с двумя переменными.

Что такое система уравнений?

К определению системы уравнений будем подбираться постепенно. Сначала лишь скажем, что его удобно дать, указав два момента: во-первых, вид записи, и, во-вторых, вложенный в эту запись смысл. Остановимся на них по очереди, а затем обобщим рассуждения в определение систем уравнений.

Пусть перед нами несколько каких-нибудь уравнений. Для примера возьмем два уравнения 2·x+y=−3 и x=5. Запишем их одно под другим и объединим слева фигурной скобкой:

Записи подобного вида, представляющие собой несколько расположенных в столбик уравнений и объединенных слева фигурной скобкой, являются записями систем уравнений.

Что же означают такие записи? Они задают множество всех таких решений уравнений системы, которые являются решением каждого уравнения.

Не помешает описать это другими словами. Допустим, какие-то решения первого уравнения являются решениями и всех остальных уравнений системы. Так вот запись системы как раз их и обозначает.

Теперь мы готовы достойно воспринять определение системы уравнений.

Системами уравнений называют записи, представляющие собой расположенные друг под другом уравнения, объединенные слева фигурной скобкой, которые обозначают множество всех решений уравнений, одновременно являющихся решениями каждого уравнения системы.

Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений этих переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное числовое равенство, другими словами, являющаяся решением каждого уравнения системы.

Например, пара значений переменных x=5, y=2 (ее можно записать как (5, 2)) является решением системы уравнений  по определению, так как уравнения системы при подстановке в них x=5, y=2 обращаются в верные числовые равенства 5+2=7 и 5−2=3 соответственно. А вот пара значений x=3, y=0 не является решением этой системы, так как при подстановке этих значений в уравнения, первое из них обратится в неверное равенство 3+0=7.

Рассмотрим способы решения систем уравнений.

Способ подстановки

Если все левые части линейны относительно неизвестных, то система называется линейной системой уравнений. Обычно линейную систему уравнений с двумя или тремя неизвестными записывают, соответственно, в виде

Рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными и будем решать ее методом исключения; исключить неизвестную y – это значит найти такое следствие нашей системы, которое уже не содержало бы у. Для получения такого уравнения умножим первое уравнение системы на b2, а второе на b1; получим

Вычтем теперь второе уравнение этой системы из первого. При этом члены, содержащие у, уничтожатся, и мы получим

(а1b2 – а2b1) x = b2c1 - b1c2

В этом уравнении исключена неизвестная у.

Обратимся снова к системе и умножим ее первое уравнение на а2, а второе на а1; получим

Вычтем из второго уравнения этой системы первое:

(а1b2 – а2b1) у = а1c2 – а2c1

Таким образом, мы из системы

Для исключения неизвестной из уравнений системы применяют также прием, называемый методом подстановки. Он состоит в том, что с помощью одного из уравнений одного из уравнений системы одну неизвестную выражают через другую и найденное выражение подставляют в оставшееся уравнение системы.

Итак:

Если коэффициенты при неизвестных не пропорциональны:

,

То система определенная.

Если коэффициенты при неизвестных пропорциональны, а свободные члены им не пропорциональны:

То система несовместная.

Если пропорциональны коэффициенты при неизвестных в свободные члены:

То система неопределенная.

Проведенное исследование систем линейных уравнений с двумя неизвестными допускает простое геометрическое истолкование. Всякое линейное уравнение вида определяет на координатной плоскости прямую линию. Уравнения системы можно поэтому истолковать как уравнение двух прямых плоскости, а задачу решение системы – как задачу об отыскании точки пересечения этих прямых. Ясно, что возможны три случая: 1) данные прямые пересекаются; этот случай отвечает определенной системе; 2) данные две прямые параллельны; этот случай соответствует несовместной системе;

Данные прямые совпадают; этот случай соответствует неопределенной системе: каждая точка «дважды заданной» прямой будет решением системы.

Алгоритм решения системы линейных уравнений способом подстановки:

1. Выбрать одно уравнение (лучше выбирать то, где числа меньше) и выразить из него одну переменную через другую, например, x через y.

2. Полученное выражение подставить вместо соответствующей переменной в другое уравнение. Таким образом, у нас получится линейное уравнение с одной неизвестной.

3. Решаем полученное линейное уравнение и получаем решение.

4. Подставляем полученное решение в выражение, полученное в первом пункте, получаем вторую неизвестную из решения.

5. Выполнить проверку полученного решения.

Например: 

Ответ: (2; 1).

Способ сложения

Алгоритм решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными способом сложения.

1. Если требуется, путем равносильных преобразований уравнять коэффициенты при одной из неизвестных переменных в обоих уравнениях.

2. Складывая или вычитая полученные уравнения получить линейное уравнение с одним неизвестным.

3. Решить полученное уравнение с одним неизвестным и найти одну из переменных.

4. Подставить полученное выражение в любое из двух уравнений системы и решить это уравнение, получив, таким образом, вторую переменную.

5. Сделать проверку решения.

Например:

Так как, одинаковых коэффициентов нет ни у одной из переменных, уравняем коэффициенты у переменной y. Для этого умножим первое уравнение на три, а второе уравнение на два.

Получим следующую систему уравнений: из второго уравнения вычитаем первое. Приводим подобные слагаемые и решаем полученное линейное уравнение.

Полученное значение подставляем в первое уравнение из нашей исходной системы и решаем получившееся уравнение.

⇒y=14

Ответ: (6; 14).

Графическое решение

Способ заключается в построении графика каждого уравнения, входящего в данную систему, в одной координатной плоскости и нахождении точки пересечения этих графиков. Координаты этой точки (x; y) и будут являться решением данной системы уравнений.

Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, пересекаются, то система уравнений имеет единственное решение.

Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, параллельны, то система уравнений не имеет решений.

 Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, совпадают, то система уравнений имеет бесконечное множество решений.

Примеры. Решить графическим способом систему уравнений.

Графиком каждого уравнения служит прямая линия, для построения которой достаточно знать координаты двух точек. Мы составили таблицы значений х и у для каждого из уравнений системы.

Прямую y=2x-3 провели через точки (0; -3) и (2; 1).

Прямую y=x+1 провели через точки (0; 1) и (2; 3).

Графики данных уравнений системы 1) пересекаются в точке А(4; 5). Это и есть единственное решение данной системы.

Ответ: (4; 5).

Известно, что для уравнения с двумя переменными существует, вообще говоря, бесконечно много пар чисел (а; b), таких, что при подстановке их в уравнение получаются верные числовые равенства.

Если же рассматривают два уравнения с двумя переменными и ставится задача найти все пары чисел (а; Ь), таких, что при подстановке их в эти уравнения получаются верные числовые равенства, то говорят, что задана система уравнений. Систему уравнений

Решить систему уравнений — значит найти множество всех пар чисел (а; Ь), таких, что при подстановке числа а вместо х и числа b вместо у получаются верные числовые равенства. Это множество будем называть решением системы уравнений. Если решение системы уравнений — пустое множество, то ее называют несовместной.

Аналогично можно определить систему уравнений с тремя и большим числом переменных. Здесь мы будем рассматривать системы, у которых число уравнений равняется числу переменных.

Две системы уравнений называются равносильными, если их решения совпадают. В частности, если обе системы несовместны, то их также считают равносильными.

При решении систем уравнений их заменяют более простыми, равносильными им системами. Так же как и при решении уравнений, в процессе решения систем уравнений важно знать, при каких преобразованиях данная система переходит в равносильную ей систему уравнений.

Очевидно, что при замене одного из уравнений системы равносильным ему уравнением система переходит в равносильную ей систему уравнений (в частности, можно выполнять перенос членов уравнения из одной части в другую с изменением знака* и умножение обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число). Поэтому мы можем заменить систему (1) равносильной ей системой

Основные методы решения систем уравнений уже рассмотрены при решении систем линейных уравнений в 7-м классе.

а) Метод подстановки основан на том, что если из одного уравнения системы выразить одну переменную через другую

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При решении систем применяется и метод разложения на множители, основывающейся на том, что если выражения f1(x,y) и f2(x,y) определены для всех значений переменных x и y, то система

 

 

 

 

 

 

 

Задачи на исследование

I группа

Дана система линейных уравнений

Составить системы уравнений относительно значений параметров, чтобы система:

Не имеет решений

Имела одно решение

Имела бесконечное множество решений

Решение.

Системы линейных уравнений с двумя переменными вида

(I)

Имеет одно решение, если коэффициенты при переменных , , , – не пропорциональны, тогда , , значит, параметр принимает любое число кроме , а параметр – любое число

Случай I

Если ,

, , ,

Проверка:

Ответ:

Случай II

Если ,

Используя способ сложения, приравниваем коэффициенты при переменной , так как они имеют противоположенные знаки

подставляя в первое уравнение вместо , находим

Проверка:

Ответ:

Система (I) имеет бесконечное множество решений, если коэффициенты при переменных и свободные члены пропорциональны, то есть

, тогда

Система имеет вид

Решаем систему способом подстановки, то есть из второго уравнения выражаем через переменную

,

, , – принимает любое значение.

Ответ:

Система не имеет решений, если условие коэффициенты пропорциональны, а отношение свободных членов не равно коэффициенту пропорциональности, то есть

, тогда

Решаем графическим способом

,

Прямые параллельны, значит, система не имеет решений

Вывод: количество решений системы линейных уравнений зависит от коэффициентов при переменных и свободных членов.

Задачи на исследование

II группа

Составьте линейное уравнение, если для уравнения пара является решением. Добавьте еще одно уравнение так, чтобы система этих уравнений

Имела одно решение

Не имеет решений

Решение.

Если пара чисел является решением данного уравнения. То верно равенство

, тогда данное уравнение имеет вид

Система не имеет решений, если во втором уравнении коэффициенты при переменных и пропорциональны числам 2 и 3. Тогда в искомом уравнении коэффициенты при переменных можно найти, умножая числа 2 и 3 на любое число, тогда

Система не имеет решений.

Система имеет одно решение, если условия коэффициента при переменных не пропорциональны, тогда

Решаем систему графическим способом. Выражаем через переменную и в первом, и во втором уравнении.

,

Составим таблицы для данных функций

Две прямые пересекаются в точке, тогда решением систем является пара чисел

Проверка:

Ответ:

Итак, от коэффициентов при переменных зависит количество решений систем уравнений.

Задачи на исследование

III группа

Дана система уравнений

Определить:

При каких значениях параметров графики данных функций параллельны?

При каких значениях параметров графики данных функций пересекаются?

При каких значениях параметров графики данных функций совпадают?

Решение.

Если прямые параллельны, то они не пересекаются, значит, система линейных уравнений не имеет решений. Тогда выполняется равенство

, , ,

Подставляя вместо , , , значение, составим пропорцию , , значит, если , , система не имеет решений.

,

Чтобы построить графики функции , выражаем через в каждом уравнении

Если графики данных функций пересекаются, значит, система имеет одно решение.

, – любое число, тогда

,

Итак, если , – любое число, тогда две прямые пресекаются в одной точке, система имеет одно решение.

Если прямые совпадают, то система имеет бесконечное множество решений, то есть верно равенство

, ,

,

Задачи на исследование

IV группа

Задача

Составьте линейное уравнение , если ее график пересекает график функции в точке . Добавьте еще одно уравнение так, чтобы система этих уравнений имела

Одно решение

Бесконечное множество решений

Решение.

Если график функции пересекает график другой функции в точке , это значит, точка принадлежит каждой прямой, являющейся графиком соответствующей функции.

Также координаты точки удовлетворяют данное линейное уравнение.

,

Зная, что система имеет одно решение, если угловые коэффициенты при переменных не пропорциональны. Учитывая условие, составим систему

Решаем уравнение способом подстановки

, подставляя в первое уравнение 2, находим

Ответ:

Если система имеет бесконечное множество решений, то угловые коэффициенты и свободные члены пропорциональны, то есть

Систему решаем способом сложения

То есть система имеет бесконечное множество решений.

Графики функций параллельны.

Задачи на исследование

V группа

Задача на исследование.

Найти уравнение, которое в системе с уравнением не имеет решений, а в системе с уравнением имеет одно решение.

Решение.

Пусть искомое уравнение имеет вид . Если в системе уравнение не имеет решения, то должно выполняться соотношение

Если эти отношения равны 4, то , , , , ,

Значит, система имеет вид

Решаем систему графически

, ,

Получим прямую пропорциональность, график – прямая, проходящая через начало координат

Две прямые совпадают, значит, координаты любой точки, лежащей на прямой составляют пару решений системы.

Если искомое уравнение в системе с уравнением имеет одно решение, значит, должно выполняться

В нашем случае , , , значит, система

имеет одно решение, так как

, ,

Проверка:

Итак, искомое уравнение имеет вид

Ответ:

Задачи на исследование

VI группа

Задача на исследование

По данному чертежу составить линейное уравнение. Добавить еще одно уравнение так, чтобы система этих уравнений:

Не имела решений

Имела одно решение

Решение.

Линейная функция имеет формулу ; (I)

Если ее график проходит через точки и , то координаты точки удовлетворяют условию (I)

Подставляя координаты точек, составим систему уравнений

, , , то есть данное уравнение имеет вид:

, , , ,

Угловые коэффициенты соответствующих линейных функций пропорциональны.

Если , , тогда второе уравнение имеет вид , , где – любое число, не равное – 18.

Допустим, что , тогда , , свободный член – любое число,

, а система

Решаем систему графически

,

Прямые, не пересекаются, нет общей точки прямых, значит, система не имеет решений.

Система имеет одно решение тогда, и только тогда, если угловые коэффициенты не пропорциональны

, ,

Прямые пересекаются в точке . Решение системы .

Ответ: