Кейс по математической статистике «Развитие биопопуляции крыс»

Государственной автономное образовательное учреждение

«Центр поддержки одаренных детей»

Структурное подразделение «Детский технопарк «Кванториум»

IT-квантум

Математическая статистика.

Кейс «Развитие биопопуляции крыс»

Авторы:

Попова Светлана Сергеевна, педагог дополнительного образования

Марасанова Елена Вячеславовна, педагог дополнительного образования

Липецк, 2020

Кейс «Развитие биопопуляции крыс»

1. О кейсе

Решая задачу о развитии биопопуляции крыс, обучающийся познакомиться с основами математической статистики: ее основными понятиями, научиться применять методы математической статистики на практике.

2. Текст кейса

Вы владеете небольшим зоомагазином, и вам подарили пару белых мышей разного пола для их разведения и дальнейшей продажи. Вы дождались пополнения их численности. И вот перед вами стоит выбор: продать пару крыс сейчас, или дождаться следующего прироста численности… В каком случае можно получить большую прибыль? На сколько больше будет эта прибыль?

3. Категория кейса: углубленный. Рассчитан на обучающихся 14-17 лет.

4. Место в структуре программы:

Данный кейс используется при изучении темы «Статистический анализ» образовательной программы по математике (углубленный модуль).

Количество учебных часов/занятий, на которые рассчитан кейс: 5.

Продолжительность занятия – 40 минут.

Учебно-тематическое планирование

5. Минимально необходимый уровень входных компетенций: иметь представление о числовых и арифметических последовательностях; знание основ работы в программах Microsoft Office Excel и Wolframe Alpha.

6. Предполагаемые результаты обучающихся, формируемые навыки: Soft Skills: 4К критическое мышление, креативное мышление, коммуникация, кооперация; умение работать с информацией в свободном доступе; умение анализировать информацию, формулировать проблему и строить гипотезы; навык анализа промежуточных результатов разработки; умение структурировано преподносить результаты собственной разработки; умение анализировать результаты других разработчиков. Hard Skills: представление о методах математической статистики, их использовании при решении задач обработки числовой информации; навыки математического моделирования реальных технических объектов и процессов в проектной деятельности; умение использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков; для анализа информации статистического характера с использованием методов математической статистики.

7. Способ выявления образовательного результата

Представление результатов образовательной деятельности пройдёт в форме публичной презентации решений кейса командами и последующих ответов выступающих на вопросы наставника и других команд.

8. Необходимые материалы и оборудование

Компьютер с установленным программным обеспечением и доступом к сети интернет.

Оборудование для презентации: проектор, экран.

9. Источники информации:

Балдин Е.М., Шипунов А.Б., Наглядная статистика. Используем R!, [Электронный ресурс]. URL: https://cran.r-project.org/doc/contrib/Shipunov-rbook.pdf.

Чубукова И.А. Data Mining: учебное пособие – 2-е изд., испр. – М.: Интернет-Университет Информационных Технологий; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008.

Дополнительные материалы:

Презентация «Основные понятия математической статистики»

Файл в формате .xlsx с исходными данными

Руководство наставника

Наставники знакомятся с заданием кейса. Чтобы ответить на его вопросы, необходимо решить поставленные задачи:

1. Построить математическую модель, отражающую увеличение численности крыс.

2. Провести анализ построенной модели.

Кейс состоит из 6 блоков.

На первом занятии из обучающихся необходимо сформировать группы по 3-5 человек.

В 1 блоке обучающиеся изучают основные характеристики математической статистики, используя рекомендуемые источники информации.

Во 2 блоке выполняются расчеты величин, в соответствии с полученным вариантом набора данных. Для этого преподаватель генерирует наборы данных из 5/10 элементов для каждого варианта (должны быть наборы как с четным, так и с нечетным количеством элементов), допускается повторение нескольких элементов.

В 3 блоке для построения диаграмм (графиков) преподаватель генерирует наборы данных для каждого варианта в виде таблиц в программе MS Excel, получая файл с данными (примеры таких таблиц в презентации «Основные понятия математической статистики»). Линейный график – данные требуется сгенерировать таким образом, чтобы на графике наблюдалось увеличение/уменьшение количества крыс. Точечная диаграмма – данные требуется сгенерировать таким образом, чтобы наблюдалось по 2-3 (или 4) кластера, для усложненных вариантов можно добавить спорные объекты, которые можно отнести сразу к 2-м.

В 4 блоке обучающиеся с помощью источников информации самостоятельно знакомятся с терминами.

В 5 блоке преподаватель рассчитывает для групп последовательные n элементов Фиббоначиевой последовательности (начиная, например, с 5-10 элемента), и подготавливает последовательности, которые не являются Фиббоначиевой последовательностью (например, сгенерировать последовательность и заменить несколько элементов случайными числами, близкими к начальным). Таким образом, для каждого варианта будет 2 последовательности 1 - Ф, 2 - не Ф.

Например: Дан временной ряд a1, a2,…,an, где ai - это численность крыс в i-й период, например, даны числа: 3,5,8,13,21 и 3,5,8,11,21).

Для проверки гипотезы потребуется самостоятельное изучение материалов о Фиббоначиевой последовательности, изучение формул, описывающих данную последовательность, понимать взаимосвязь между набором чисел (математической моделью) и реальным объектом изучения: как найти среднее значение прироста популяции для данного ряда? В какой месяц родилось максимальное/минимальное значение крыс?

В 6 блоке необходимо подготовить временные ряды (сгенерировать (минимум по 50 значений) выбрав математические модели или подготовить собранную Биоквантумом информацию. В конце занятия провести сравнение точности построенных прогнозов учащимися с сгенерированными.

После формирования представления о способах нахождения выбросов и эффективности использовании каждого метода, для построения математической модели, отражающей увеличение численности крыс и построения прогноза учащиеся приступают к последовательному выполнению действий: обработка данных, построение регрессионной модели, построение прогноза, анализ точности прогноза.

При ответе на вопрос: «Каких теоретических и практических знаний вам не хватает, чтобы воспользоваться выбранными вами способами?» обучающийся должен воспользоваться источниками информации, чтобы сформировать терминологический словарь тех определений, которые им не известны, но необходимы для решения задач.

Рекомендации по возможным проблемам в рамках реализации кейса

В ходе выполнения реализации кейса могут встретиться новые термины, что потребует самостоятельного изучения учащимися.

В случае невозможности выбора правильной модели или возникновении сложности при подготовке данных к работе допускается построение нескольких вариантов прогноза с последующим выбором наилучшего решения

Руководство для учащегося

Вы владеете небольшим зоомагазином, и вам подарили пару белых мышей разного пола для их разведения и дальнейшей продажи. Вы дождались пополнения их численности. И вот перед вами стоит выбор: продать пару крыс сейчас, или дождаться следующего прироста численности… В каком случае можно получить большую прибыль? На сколько больше будет эта прибыль?

Задачи проекта:

1. Построить математическую модель, отражающую увеличение численности крыс.

2. Провести анализ построенной модели.

Чтобы спланировать работу, ответьте на вопросы:

Какая наука занимается прогнозированием?

Как выполняется расчет величин, в соответствии с полученным вариантом набора данных?

В каких программах можно производить построение математических моделей с использованием численных методов? И каким образом?

Как найти среднее, максимальное (минимальное) значение для ряда (последовательности) данных?

Как строятся прогнозы на основании математической модели?

Изучите основные характеристики математической статистики, используя рекомендуемые источники информации.

Математическая статистика изучает_______________________________ __________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Генеральная средняя – ____________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________

Выборочное среднее  – _____________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________

Мода – ___________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________

Медиана – ________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________

Выполните расчеты величин, в соответствии с полученным вариантом набора данных.

Согласно данным варианта постройте диаграммы (графики) в программе MS Excel и ответьте на поставленные задачи, заполнив пропуски:

Выпишите основные понятия и определения

Основными показателями, характеризующими вариацию, являются:

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

Дан временной ряд a1, a2,…,an, где ai - это численность крыс в i-й период (например, период – месяц, даны числа: 3,5,8,13,21 и 3,5,8,11,21).

Как найти среднее значение прироста популяции для данного ряда?

В какой месяц родилось максимальное/минимальное значение крыс?

Подумайте над предложенной задачей

На основании генерированных данных: Построить прогнозы на основании данных: зная численность крыс за последние n месяцев (т.е. имеется временной ряд, согласно варианту группы) сказать какова будет численность крыс на n+k месяц.

На основании реальных данных: В ходе наблюдений за численностью была собрана информация об уходе за питомцами в каждом периоде времени, требуется выявить самые благоприятные/неблагоприятные условия для популяции, а также выдвинуть гипотезы о влиянии внешних условий на популяцию крыс.

Уточняющие вопросы для построения прогнозов с помощью математических моделей:

1. Для чего проводится анализ временного ряда? Что такое выброс, удаление выбросов, сглаживание временного ряда? Зачем удаляют выбросы/сглаживают временные ряды? Нужно ли проводить подготовку данных? Будут ли отличаться прогнозы, построенные по исходным данным, сглаженным, данным после удаления выбросов?

2. Тренд, сезонная и циклическая компонента: что это, как определить по графику, возможно ли одновременное наличие тренда и сезонности? Можно и нужно ли избавляться от тренда, сезонной и циклической компоненты ряда? На что это может повлиять?

3. Что такое регрессионная модель, какие бывают регрессионные модели, как выбрать подходящую модель? Как построить регрессионную модель?

4. Как определить точность прогноза, что влияет на точность? Что такое средняя ошибка, средняя абсолютная ошибка, сумма квадратов ошибок/среднеквадратическая, относительная ошибка? Что показывают эти ошибки. Как сравниваются эти величины, какие выводы можно сделать после их сравнения?

5. На что влияет качество построенной модели и как его улучшить?

Проверьте данные на наличие выбросов, выберете способ по удалению или сглаживанию выбросов.

Какие есть способы нахождения выбросов, и какой способ лучше подойдет:

Удаление выбросов вручную.

С помощью Excel.

Использование математических пакетов.

Использование нейросетей.

Найденные выбросы стоит удалить или провести сглаживание ряда? Какой способ даст лучший результат?

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Проверьте данные на наличие тренда, сезонной и циклической компоненты.

В данном временном ряду (наблюдается/не наблюдается) ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Какая регрессионная модель подходит данному набору данных?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Постройте математическую модель, отражающую увеличение численности крыс. Постройте прогнозы на основании исходных данных: зная численность крыс за последние n месяцев (т.е. имеется временной ряд) дайте прогноз численности крыс на n+k месяц.

Постройте регрессионные модели. Установите период, горизонту, интервал прогнозирования. Постройте прогнозы по этим моделям и проведите сравнения полученных результатов. Выберите наиболее удачный прогноз, оценив точность прогноза, для этого сравните:

среднюю ошибку,

среднюю абсолютную ошибку,

сумму квадратов ошибок/среднеквадратическую,

относительную ошибку.

Каких теоретических и практических знаний вам не хватает, чтобы воспользоваться выбранными вами способами?

выброс, удаление выбросов, сглаживание временного ряда.

тренд, сезонная и циклическая компонента: что это, как определить по графику, возможно ли одновременное наличие тренда и сезонности?

регрессионная модель, какие бывают регрессионные модели, как построить регрессионную модель

виды прогнозов, точность прогноза, средняя ошибка, средняя абсолютная ошибка, сумма квадратов ошибок/среднеквадратическая, относительная ошибка.

Терминологический словарь

По данным наблюдений: численность и информация об уходе за питомцами в каждом периоде времени, используя графики, выявить самые благоприятные/неблагоприятные условия для популяции, выдвинуть гипотезы о влиянии внешних условий на популяцию крыс.

Как можно доработать проект?

Какие программы существуют для автоматизации расчетов?

Что если?

В качестве прогнозируемых данных взять что-то другое? Что можно пытаться прогнозировать?

Выполнить прогноз данных без удаления выбросов, без сглаживания и без удаления тренда, сезонности?

Регрессионная модель выбрана неверно?