Франк Марина Владимировна

Конспект интегрированного урока «Решение задач по физике с использованием понятий производная и интеграл»

Участник педагогического конкурса ‒ Всероссийский дистанционный конкурс для педагогов на лучший конспект интегрированного урока в средней и старшей школе

Материал опубликован 14 November 2021 в группе

УРОК.РФ: группа для участников конкурсов

47020

221711

Конспект интегрированного урока

«Решение задач по физике с использованием понятий «производная» и «интеграл».

Разработала: Франк М.В. – учитель математики ГБОУ РО

«НШИ с ПЛП имени Четвёртой КВА»

Цель урока: организация продуктивной деятельности учащихся, направленной на достижение ими следующих результатов:

• Личностных:

1) умение ставить перед собой цель, планировать деятельность;

2) умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры;

• Метапредметных: освоение способов деятельности:

- познавательной:

1) осуществление переноса знаний в изменённую ситуацию, умение видеть задачу в контексте проблемной ситуации;

2) овладение навыками познавательной деятельности, навыками разрешения проблем; способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов познания.

- информационно – коммуникативной:

1) умение вступать в речевое общение, участвовать в диалоге, признавать право на иное мнение;

2) умение предвидеть возможные последствия своих действий.

- рефлексивной:

1) умение самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач;

2) овладение навыками самоконтроля и оценки своей деятельности;

3) умение ставить личностные цели и оценивать степень их достижения.

• Предметных:

1) формирование умения учащихся применять методы математического анализа при решении физических задач;

2) применение знаний в практической деятельности;

3) приобретение способности самостоятельно «открывать» новое математическое знание.

Тип урока: урок «открытия» новых знаний, интегрированный урок по математике и физике.

Оборудование: ноутбук, проектор, интерактивная доска, презентация, раздаточный материал (задачи, таблицы).

Ход урока:

1. Организационно – мотивационный этап.

Приветствие. Садитесь, пожалуйста. Надеюсь, что сегодня особенный урок, и вы будете внимательными, активными, трудолюбивыми!

Слайд 1. Пусть общим девизом урока станут слова советского и российского математика В.М. Тихомирова: «Математика всегда была неотъемлемой и существеннейшей составной частью человеческой культуры, она является ключом к познанию окружающего мира, базой научно-технического прогресса и важной компонентой развития личности».

II. Этап актуализации знаний.

Учитель математики: Каким математическим понятиям посвящён урок, узнаете, если правильно решите ребусы

Слайд 2.

Ребус № 1.

+ Н

(производная)

Учитель:

- дайте определение производной;

- физический смысл производной;

- как называется операция нахождения производной?

Задание 1.

Найдите производную функций (устно):

1. y = 3x	6. y = x²+3sinx	11. y=
2. y = 4x²	7. y = 3x²+2x+5	12. y=
3. y = x-5	8. y = 4cosx - x⁴	13. y =
4. y =	9. y = tg x - ctgx	14. y = x+cosx
5. y =	10. у = -+5	15. y = 16x³ – 4 tg x

Слайд 3.

Ребус № 2.

2 = Е

(интеграл).

Учитель:

- дайте определение первообразной;

- сформулируйте определение неопределённого интеграла; определённого интеграла.

- как называется операция нахождения неопределенного интеграла?

- запишите на доске формулу Ньютона-Лейбница и дайте объяснение каждой буквы.

Слайд 4

Задание 2. Найти первообразные функций:

1) у = 1	4) у = 3х³ – 5х² + х – 2	7) у = 3 sinx - 2cosx
2) у = х	5) у = – 1	8) у = 5x² – 1
3) у = х⁹	6) у = 10х⁴ + 30х²	9) ) у = – + 2

Учащиеся аргументируют свои действия по заполнению таблицы, самостоятельно обращаясь к математическим фактам.

Учитель:

- Молодцы, ребята! Отлично справились с заданием.

Слайд 5.

Задание 3.

Найти неопределённый интеграл.

1.	6.
2.	7.
3.	8.
4.	9.
5.	10.

Один ученик работает на крыльях доски, а остальные - в тетрадках, затем осуществляют проверку, а работающий у доски, объясняет решение. В случае разногласия идет обсуждение.

Учитель математики:

- Молодцы! Отлично справились с заданием. Переходим к следующему этапу урока.

III. Этап постановки темы и учебной задачи

Учитель: сегодня совместно с учителем физики хотим показать возможности применения производной и интеграла при решении физических задач.

- Попытайтесь сформулировать тему урока. (Ответ учащихся: «Решение задач по физике с использованием понятий «производная» и «интеграл»).

(Записывают тему урока: учащиеся – в тетради, а учитель – на доске).

- Какие цели поставите перед собой? (возможный ответ: познакомиться с возможностями применения производной и интеграла в физике).

IV. Этап «открытия» нового знания.

Учитель физики: Используя имеющиеся у вас знания по физике, давайте решим задачу.

Слайд 7.

Задача 1. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = - 2+ 4t + 3t² . Найдите ее скорость и ускорение в момент времени t = 2 с. (х – координата точки в метрах, t – время в секундах).

Решение:

1) Формула скорости равноускоренного движения: ʋ = ʋ₀+ a t.

2) Формула координаты равноускоренного движения: x = x₀+ ʋ₀ + .

3) Из закона: x(t) = - 2+ 4t + 3t² получаем: x₀= -2 м , ʋ₀= 4 м\с, a = 3 •2 = 6 м\с².

Тогда ʋ = 4 + 6 •2 = 16 м/с

Ответ: 16 м/с; 6 м\с².

Учитель математики: Вы решили задачу, используя только знания физики. Вспомните, в чём заключается физический смысл производной.

Обобщение ответов:

- Физический смысл производной заключается в следующем: производная функции y = f(x) в точке x₀ - это скорость изменения функции f (х) в точке x₀.

- Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки - это производная от расстояния (ʋ (t) = x^/ (t)) .

- Ускорение – это производная от скорости или вторая производная от расстояния (a(t) =

ʋ ^/(t) = x^// (t)).

Вернёмся к задаче и решим с помощью производной.

Задача 1. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = - 2+ 4t + 3t² . Найдите ее скорость и ускорение в момент времени t = 2 с. (х – координата точки в метрах, t – время в секундах).

Решение:

1. Найдём скорость, т.е. производную от расстояния: ʋ= x^/(t) = 4 + 6t

х^\ (2) = 4 + 6•2 = 16 м/с

2. Найдём ускорение, т.е. вторую производную от расстояния или производную от скорости: а = ʋ^/( t)= x^//(t) = 6.

Ответ: ʋ = 16 м/с; а = 6 м\с2.

Учитель математики: Рассмотрите оба решения задачи слайд 8:

- Какое решение вам больше нравится? Почему?

Вывод: Решение задачи на нахождение скорости и ускорения наглядно продемонстрировало вам преимущество применения производной.

Учитель физики: Давайте решим следующую задачу.

Слайд 9.

Задача 2. Некоторое тело двигается со скоростью, заданной функцией: ʋ(t) = t² + 1. Найти расстояние пройденное телом за 1 секунду.

Учитель математики:

- Используя свои математические знания, вспомните, как найти перемещение, если известна скорость? (выслушиваются возможные варианты ответов учащихся). Учитель обобщает ответы и помогает правильно сделать вывод: перемещение за ограниченный интервал времени – это определенный интеграл скорости по времени.

- Запишите решение задачи в тетрадь:

S = +1 = 1 м.

Ответ: 1, 3 м.

Учитель: Молодцы! Отлично справились с заданием.

- Теперь попробуйте обобщить все, что Вы смогли сделать, и высказать кратко одним-двумя предложениями.

Возможные ответы:

- скорость - это производная перемещения;

- ускорение – это производная скорости;

- перемещение за ограниченный интервал времени – это определенный интеграл скорости по времени.

Учитель физики:

- Использую имеющиеся у вас знания по физике, назовите физические величины, которые можно найти с помощью производной и интеграла.

Возможные ответы: работа, сила, мощность, теплота, электрический заряд.

Совместно ученики и учителя физики и математики заполняют таблицу, заранее начерченную на крыльях доски и сопровождают слайдом из презентации слайд 10.

Физическая величина	Вычисление производной	Вычисление интеграла.
S – перемещение - скорость	ʋ(t) = S\ (t)	S = dt
A – механическая работа F – сила N - мощность	F(x) = A\ (x) N(t) = A\ (t)	A = dx A = dt
Q – количество теплоты c - теплоёмкость	c(t) = Q\(t)	Q = dt
I – сила тока q – электрический заряд	I(t) = q\(t)	q = dt
m - масса ρ - плотность	ρ (x) = m\(x)	m = dx

V. Этап первичного применения новых знаний. Работа в группах.

Класс заранее объединяется в 5 групп дифференцировано (по 4 человека). Парты расставляются парами в произвольном порядке.

Учитель математики:

- используя новые знания, выполните задания:

Задачи для работы в группах.

1. Движение определяется уравнением s(t) = 2t2 – t + 1 (t в секундах, s в метрах). Найти скорость движения при t = 5 с. В какой момент времени скорость была равна нулю?

2. Тело массой 6 кг движется прямолинейно по закону x(t)=t2+t+1 (м). Найдите: 1) кинетическую энергию тела через 3 с после начала движения; 2) силу, действующую на тело в это время.

3. Количество теплоты, необходимое для нагревания 1 кг воды от 0⁰ C до t⁰C, определяется формулой Q = t + 2•10-⁵t² + 3a10^-7t³. Теплоёмкость воды при t = 100⁰C равна 1,013. Найдите значение параметра а.

4.Пружина в недеформированном состоянии имеет длину 20 см. Сила 30 Н растягивает ее на 1 см. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть эту пружину от 24 см до 30 см?

5. Имеется неоднородный стержень длины L. Какова масса куска стержня, если линейная плотность стержня выражается законом ρ(x) = 3x – sinx, x ϵ ⌊0;1⌋ ?

6. Однородный стержень длиной 20 см вращается в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец. Угловая скорость вращения 10 п Гц. Площадь поперечного сечения 4 см² ; плотность материала, из которого изготовлен стержень 7,8 г/см ³. Найдите кинетическую энергию стержня.

Учителя выступают в роли консультантов.

Итог работы в группах.

Представители групп отчитываются у доски о проделанной работе (один представитель от группы оформляет решение на доске, другой – знакомит с условием и планом решения). Учащиеся слушают ответы и задают вопросы.

VI. Домашнее задание (обязательная часть и вариативная)

Обязательная часть:

1.1. Изучить теорию в тетради, выделить моменты, вызвавшие затруднения.

1.2. Решить задачи:

1. Вычислить работу, которую нужно совершить, чтобы вытащить шарик массой 9 г из бочки, высота которой 3 м.

2. Вычислить работу, совершаемую при сжатии пружины на 15 см, если известно, что для сжатия пружины на 1 см необходима сила в 30 Н.

3. Маховик вращается по закону φ(t)=4t−0,5t² (рад). Найдите момент времени, в который маховик остановится.

4. Имеется неоднородный стержень длины L. Какова масса куска стержня, если линейная плотность стержня выражается законом ρ(x) = 3x – sinx, x ϵ ?

5. Камень подброшен вертикально вверх с крыши здания высотой 20 м. Какова начальная скорость камня, если через 1 с он находился на высоте 30 м?

6. При извержении вулкана камни горной породы выбрасываются перпендикулярно вверх с начальной скоростью ʋ0 = 100 м/с. Какой наибольшей высоты достигнут камни, если сопротивлением ветра пренебречь?

2. Вариативная часть (по желанию)

2.1. Найти задачи по физике, решаемые с помощью производной или интеграла.

VII. Подведение итогов урока. Рефлексия.

- Были ли достигнуты поставленные цели?

- Удалось ли во время урока решить все проблемные вопросы?

- Понравилась ли такая форма работы?

Ребята, вы все хорошо поработали! На следующих уроках мы продолжим работу по применению производной и интеграла к решению физических задач.

Спасибо за урок! Удачного дня!

Список литературы:

Е.Н. Эрентраут Прикладные задачи математического анализа для школьников учебное пособие.

Никитина Е. В., Снеткова Л. Н. Решение задач по физике с использованием понятий «Производная» и «Определённый интеграл»

Абрамов А.Н., Виленкин Н.Я. и др. Избранные вопросы математики. 10 класс. – М: Просвещение, 1980.

Виленкин Н.Я., Шибасов А.П. За страницами учебника математики. – М: