Методическая разработка интегрированного урока по информатике по теме «Решение задач в электронных таблицах с использованием статистической характеристики дисперсия»

Методическая разработка интегрированного урока по информатике по теме:

«Решение задач в электронных таблицах с использованием статистической характеристики дисперсия»

Учитель информатики ГБОУ СОШ № 763 г. Москвы Мазничевская Лариса Ивановна

Тип урока: урок изучения нового материала, урок практикум

Цели урока:

Образовательная: изучение нового материала и применение его при решении задач, формирование у учащихся понятия моделирования как метода решения прикладных задач, закрепление умений и навыков работы в среде MS Excel;

Воспитательная цель: формирование и раз­витие у обучающихся познавательных интересов, творчес­кой инициативы. Воспитание необходимости свя­зывать изучение нового материала с уже известны­ми математическими фактами, строго обосновы­вать высказываемые предположения. Воспитание ответственности за выполняемую работу, аккурат­ности при выполнении вычислений.

Развивающая цель: формирование и раз­витие развитию внимания, строгости мышления, грамотной речи, умений рассуждать, планировать свою деятель­ность, анализировать результаты выполненной работы, рефлексии.

Используемые образовательные технологии: проблемного обучения, технология интегрированного обучения, технология развивающего обучения, обучение в сотрудничестве, технология проектов.

ХАРАКТЕРИСТИКА ТЕМЫ УРОКА

С понятием дисперсии учащиеся встречались на уроках алгебры, изучая элементы теории вероятности и статистики.

Теоре­тическая часть темы расширяет изученные простейшие статистические понятия, а также показывает как средствами электронных таблиц можно решить различные прикладные задачи.

С точки зрения информатики, решение любой производственной или научной задачи описывается следующей технологической цепочкой: «реальный объект - модель - алгоритм - программа - результаты - реальный объект». В этой цепочке очень важную роль играет звено «модель», как необходимый, обязательный этап решения этой задачи. Учитель на уроке на различных задачах показывает построение такой технологической цепочки с использованием электронных таблиц.

Работа по данной теме носит исследовательский характер, так как ребята учатся решать задачи, моделируя описанный в задаче процесс.

Учитывая уровень математической подготовки обучающихся, изложение учебного материала ве­дется в форме эвристической беседы, с использованием пошаго­вого закрепления материала, с применением эле­ментов самостоятельной работы.

СТРУКТУРА УРОКА

ОПИСАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА

Компьютерное моделирование широко проникло практически во все сферы научных исследований. Моделирование позволяет оценить парамет­ры процессов изучаемого объекта, не прибегая к натурному экспери­менту, и сделать соответствующие выводы об изменении этих пара­метров с целью улучшения процессов функционирования.

Часто в жизни приходится обрабатывать данные наблюдений. При­чем наблюдать можно что угодно. Например, каждый день вы ходите в школу и обратно. Сколько шагов вы делаете, преодолевая это расстояние? Если в течение нескольких дней вы из любопытства проведете подсчеты, то наверняка у вас полу­чатся близкие друг к другу, но всё же разные числа. Никому, конечно, и в голову не придет, что меняется расстояние между школой и домом. Ясно, что на количество шагов влияют различные внешние факторы: скажем, в школу вы шли быстро, что­бы не опоздать, и ваш шаг был шире, а по дороге домой вы шли не спеша, с одно­классницей, и ваш шаг был короче. Можно сказать, что количество шагов от дома до школы — величина случайная.

Проведя 20 наблюдений, вы получите 20 значений случайной величины.

Пусть при таком измерении некий школьник Иванов получил следующую после­довательность чисел:

372, 376, 374, 375, 373, 364. 380, 374, 377, 375, 376, 373, 375, 374, 373, 371. 375, 373, 374, 376.

Их удобнее расположить в виде линейной таблицы. Какое же количество шагов естественно взять в качестве расстояния от школы до дома? Каждому ясно — сред­нее арифметическое. В данном случае это 374.

Выясним, какие значения получил Иванов. Пусть это набор чисел от А до В. У другого ученика, естественно, будет другой набор, но тоже в каком-то промежут­ке. Возьмем данные, полученные четырьмя учениками и занесем их в таблицу.

Это будет двумерный массив размером 4 х 20 (у каждого из 4 учеников 20 наблюде­ний). Распечатаем полученную таблицу и найдем среднее арифметическое для каж­дой строки.

Конечно, среднее арифметическое уберегает нас от ошибочных выводов. Но как же достаточно точно определить расстояние, проведя то или иное количество наблюдений?

Математики для этой цели ввели специальную величину и назвали ее диспер­сией (от лат. dispersio — рассеяние, т. е. разброс данных). Обозначим значения случайной величины через А,, А2, AN, а среднее арифметическое этих значе­ний — через М.

Дисперсия — это среднее арифметическое квадратов разностей между значе­ниями случайной величины и ее средним значением. В наших обозначениях:

 D= ((A1-M)2+(A2-M)2+…(AN-M)2)/N

Из этой формулы видно, что чем меньше дисперсия, тем меньше отличаются результаты наблюдении от своего среднего значения и тем ближе среднее значение к истинному. В частности, если дисперсия равна нулю, то все числа А. совпадают между собой (и со своим средним значением).

Вновь вернемся к наблюдениям Иванова.

Конечно, среднее значение (374) числа шагов от дома до школы характеризует не только расстояние, но и длину человеческого шага: у разных людей длина шага разная. Куда больше можно узнать о человеке, его характере, темпераменте и неко­торых наклонностях, имея всю последовательность наблюдений.

Например, рассматривая приведенную выше последовательность, можно пред­положить, что значение 364 получилось в тот день, когда Иванов опаздывал в шко­лу. Вообще же характер у него довольно ровный, темперамент скорее флегматич­ный — лишь один раз (получив, наверное, двойку) он шел заметно медленнее, чем обычно, сделав 380 шагов. Подумайте, что еще можно сказать об Иванове.

Допустим, что Иванов сагитировал нескольких своих товарищей провести тот же эксперимент. Через 10 дней каждый из них, в том числе и Иванов, представили по 20 результатов наблюдений, не указав своих фамилий.

Можно ли узнать, какие из результатов принадлежат Иванову, а какие нет? Да, можно.

Математики установили, что для этого, как правило, достаточно сравнить дис­персии и средние значения.

Дисперсия и среднее значение так же индивидуальны, как отпечатки пальцев.

Если наблюдения делал один и тот же человек, то дисперсии и средние значения во всех этих наблюдениях будут близки, если разные люди, то далеки. Осталось выяснить: какие значения считать близкими, а какие далекими.

На этот вопрос ответ дает специальный раздел математики — статистика. Оказывает­ся, достоверность ответа зависит от числа наблюдений. Если число наблюдений от 25 до 50, то дисперсии можно считать далекими, когда отношение большей дис­персии к меньшей больше 2. Чтобы говорить о близости средних значений двух последовательностей результатов, надо найти модуль разности средних и разделить его на квадратный корень из суммы дисперсий. Если полученное число больше 0,6, то средние значения считаются далекими. В том случае, когда близки и дисперсии, и средние значения, можно сделать вывод, что наблюдения почти наверняка про­водились одним и тем же человеком.

У любознательных учеников возникает вопрос: откуда эти числа (2 и 0,6) взя­лись? Отвечаем: из специальных таблиц, которые были составлены математиками. Их можно найти в любом справочнике по математической статистике.

Метод сравнения средних значений и дисперсий используется в самых разных отраслях человеческой деятельности. В медицине — для установления диагноза, в литературоведении — для определения автора произведения (когда авторство яв­ляется спорным), в криминалистике — для розыска преступников.

Использование компьютера для исследования информа­ционных моделей различных объектов и систем позволяет изучить их изменения в зависимости от значения тех или иных параметров. Процесс разработки моделей и их иссле­дования на компьютере можно разделить на несколько основных этапов.

Этапы компьютерного моделирования можно представить в виде схемы:

Задача 1

Составьте математическую модель, алгоритм и программу решения следующей задачи.

Известны данные о продолжительности горения (в часах) электрических ламп, изготовленных на двух заводах.

Лампы 1-го завода: 1600, 1510, 1610, 1650, 1530, 1688, 1570, 1600, 1700, 1720, 1680, 1800, 1780, 1690, 1710, Г530, 1720, 1750, 1810,

Лампы 2-го завода: 1580, 1460, 1640, 1550, 1600, 1620, 1780, 1640, 1750, 1820, 1860, 1740, 1750, 1730, 1590, 1610, 1700, J580, 1670.

Можно ли утверждать, что на заводах поддерживаются оди­наковые технологические условия производства?

Для решения задачи введите формулы в расчетные ячейки:

Ячейка Формула

A25 =СРЗНАЧ(A6:A24)

B26 =СРЗНАЧ(B6:B24)

A26 =ДИСПР(A6:A24)

B26 =ДИСПР(B6:B24)

A27 =ЕСЛИ(A26/B26>1;A26/B26;B26/A26)

A29 =ABS(B25 - A25)/КОРЕНЬ(B26+A26

Вывод: Можно утверждать, что на заводах поддерживаются одинаковые технологические условия.

Задача2.

Органами милиции задержан грузовик с помидорами, похищенными на овощ­ной базе. В городе всего четыре базы, каждая из них получает помидоры из своего сельскохозяйственного района. Определите, с какой базы были вывезены помидо­ры. Расследование осложняется тем, что помидоры на всех базах одного сорта.

Решение.

Воспользуемся методом сравнения средних значений и дисперсий.

В каждом сельскохозяйственном районе свои условия произрастания помидо­ров, поэтому помидоры разных районов отличаются, например, удельным весом (диаметром, весом и др.). Выберем по 20—25 помидоров (реально, конечно, больше) на каждой овощной базе и из грузовика. У нас получится 5 последовательностей — по одной для каждой базы (всего 4) и еще одна для грузовика, с которой мы и будем сравнивать первые четыре. Это наши исходные данные. Результатом является но­мер овощной базы, где совершено хищение.

Чтобы добиться результата, нужно, как уже сказано выше, вычислить средние значения и дисперсии всех пяти последовательностей и провести сравнение.

Пусть вес одного помидора на соответствующих базах и в грузовике изменяется в следующих пределах (в г): 1-я база: (70, 100); 2-я база: (80, 90); 3-я база: (75, 95); 4-я база: (90, 120); грузовик: (80, 90).

Технология работы.

Запустите табличный процессор Excel.

Заполните таблицу в соответствии с образцом:

Находим средние значения на каждой базе и в грузовике:

В32 =CP3HA4(B2:B31) (6)

Находим значения дисперсий на каждой базе и в грузовике:

ВЗЗ =ДИСПР(В2:В31) (7)

Находим отношения большей дисперсии к меньшей для грузовика и для каж­дой базы:

В34 =ECJIH($F33>B33; $F33/B33; B33/$F33)

Находим отношения модуля разности средних к корню и суммы дисперсий грузо­вика и каждой базы:

Сравнивая строки 36 и 37, замечаем, что дисперсии и средние одновременно близки у грузовика и второй базы. Значит, помидоры украдены со второй базы.

Проанализируйте результат. Почему грузовик не с первой базы, хотя средние арифметические у них примерно равны?

Домашнее задание:

Проект: придумать подобную задачу, составить математическую модель, алгоритм и программу решения.