Задачи на делимость
1.Сколько существует натуральных чисел, меньших 1000, которые не делятся ни на 5 ни на 7? Ответ: 686
Решение:
Среди 999 чисел, меньших 1000, 199 чисел кратны 5 : [999 : 5] = 199 .В этом же интервале имеются 142 числа, кратных 7 : [999 : 7] = 142 .
Среди 142 чисел, кратных 7, имеются числа, которые делятся также и на 5, то есть кратные 35. Всего таких чисел 28: [999 : 35]= 28 . Эти 28 чисел уже учтены в числе 199, найденном ранее.Поэтому количество чисел, меньших 1000, которые делятся либо на 5, либо на 7, равно 199 + 142 - 28 = 313.В рассматриваемом интервале остается 999 - 313 = 686 чисел, которые не делятся ни на 5, ни на 7.
2.Какую цифру нужно приписать к числу 97 справа и слева, чтобы полученное число делилось на 27?Ответ: 1
Решение:Удвоенная неизвестная цифра дополняет сумму известных цифр числа до величины, кратной 9-ти.
Сумма известных чисел - четная (16). Удвоенная неизвестная цифра (a) - также четная величина.
Следовательно, сумма цифр искомого числа - четная и равна 18-ти. (2a меньше или равна 18 и сумма цифр искомого числа не больше 34-х). Искомое число- 1971
3.Десятичная запись числа состоит из 30 единиц и нескольких нулей. Может ли это число быть полным квадратом? Ответ: Не может
Решение: Сумма цифр числа равна 30. Значит оно делится на 3, но не делится на 9, поэтому оно не может быть полным квадратом.
4. Учащиеся класса разбиты парами. В каждой паре девочка и мальчик, причём у мальчика в двое больше, или в двое меньше книг в портфеле, чем у девочки. Могло ли так случиться, что у всех вместе 100 книг? Ответ:Нет
Решение: Число книг в каждой паре делится на 3. Значит и суммарное число книг должно делится на 3. Однако число 100 на 3 не делится.
5. Найдите 2 числа, которые не делятся на 315. А их сумма и произведение делятся на 315.
6. Найдите наименьшее натуральное число, которое оканчивается на 17, делится на 17 и имеет сумму цифр, равную 17
7. Перемножили три тысячи двоек. Докажите, что в записи получившегося после перемножения числа не больше 1000 цифр.
8. Каких пятизначных чисел с суммой цифр, равной 37 больше: четных или нечетных?
Принцип Дирехле
1. В классе учатся 23 ученика. Докажите, что из них можно выбрать четырёх, которые родились в один день.
Решение: Предположим, что в каждый день недели родились не более трёх учеников. Тогда в классе учится не более 21 ученика( 3*7 = 21). Противоречие.
2. В школе учатся 400 учеников. Докажите, что хотя бы двое из них отмечают день рождения в один и тот же день
3. В квадрате со стороной 10 отметили 201 точку. Докажите, что три какие –то три из выбранных точек можно накрыть квадратом со стороной1.
Решение: Разобьём квадрат со стороной 10 на 100 квадратов со стороной 1. Тогда в каком-то квадрате будет по крайней мере три точки.
4. Докажите, что из любых 6 человек найдется трое попарно знакомых или трое попарно незнакомых
Решение: Пусть А- любой из 6 человек. Тогда из оставшихся пяти можно выбрать троих таких, что каждый из них либо знаком, либо не знакомых с А. Пусть В, С, Д знакомы с А. Тогда если двое из них знакомы друг с другом, например В и С, тогда А, В, С образуют тройку попарно знакомых. Если такой пары нет тогда В,С,Д образуют тройку попарно незнакомых.
5. Докажите, что в любой компании из 5 человек есть двое, имеющие одинаковое число знакомых
6. Сможете ли вы разложить 44 шарика на 9 кучек так, чтобы количество шариков в разных кучках было различным?
7. 99 лошадей стоят в 15 конюшнях. Докажите, что хотя бы в одной из конюшен стоит нечётное число лошадей
8. В магазин привезли 25 ящиков яблок трех сортов. В каждом ящике лежат яблоки одного сорта. Продавец утверждает, что у него нет девяти ящиков с яблоками одного сорта. Не ошибся ли он?
9. В поход пошли 20 туристов. Самому старшему из них 35 лет, а самому младшему а) 16 лет б) 17 лет. Верно ли, что среди туристов есть одногодки?
10. Занятия математического кружка проходят в девяти аудиториях. Среди прочих, на эти занятия приходят 19 учеников из одной и той же школы.
а) Докажите, что как их не пересаживай, хотя бы в одной аудитории окажется не меньше трех таких школьников.
б) Верно ли, что в какой-нибудь аудитории обязательно окажется ровно три таких школьника?
|
Перебор 1.Витя выложил из карточек с цифрами пример на сложение и затем поменял местами две карточки. Как видите, равенство нарушилось.
Какие карточки переставил Витя? 2.Сколько существует двузначных чисел, у которых цифра десятков больше цифры единиц? 3.В слове 222122111121 каждая буква заменена своим номером в русском алфавите. Какое слово зашифровано? 4.В коробке лежат синие, красные и зеленые карандаши. Всего 20 штук. Синих в 6 раз больше, чем зеленых, красных меньше, чем синих. Сколько в коробке красных карандашей? 5.Миша выписал подряд все числа месяца: 123456789101112... и покрасил три дня (дни рождения своих друзей), никакие два из которых не идут подряд. Оказалось, что все непокрашенные участки состоят из одинакового количества цифр. Докажите, что первое число месяца покрашено. 6.На гранях кубика расставлены числа от 1 до 6. Кубик бросили два раза. В первый раз сумма чисел на четырёх боковых гранях оказалась равна 12, во второй — 15. Какое число написано на грани, противоположной той, где написана цифра 3? |
||
|
Логические задачи с числами 1. Имеется 10 карточек на которых записано число2 и сколько угодно карточек со знаками +,-,:,х и скобок. Как с их помощью составить выражение, значение которого 2011 2. Произведение цифр трёхзначного числа равно 25. Найдите эти числа. 3. Найдите все четырёхзначные числа, у которых вторая цифра впятеро больше первой, а произведение всех четырёх равно 9 4. Найдите все трёхзначные числа у которых вторая цифра вчетверо больше первой, а сумма все трёх цифр равна 14. 5. Произведение цифр трёхзначного числа равно 3. Найдите все числа 6. Найдите четырёхзначное число, у которого вторая цифра вдвое больше первой, а третья –втрое меньше второй, а четвёртая – вчетверо больше третьей. 7. В записи ***** х **** = *******1 замените звёздочки нулями и единицами так, чтобы получилось верное равенство. 8. В записи ***5:11=** замените звёздочки цифрами так, чтобы получилось верное равенство. Объясните, почему это можно сделать только одним способом? 9. В записи * + * + * + * + * + * + * = ** замените звёздочки цифрами 0,1,2 9так, чтобы получилось верное равенство, а каждая цифра была использована только один раз . 10. 2∙3∙2 + 3∙4∙3 =3∙2∙3 + 4∙3∙2 Расставьте скобки, чтобы получилось верное равенство 11. В ряд записаны пять двоек. Вставляя между некоторыми из них знаки арифметических действий и скобки получи числа 13 или 113 12. Замени буквы цифрами в слове ТРАНСПОРТИРОВКА так чтобы Т>Р>А>Н<С<П<О<Р<Т>И>Р>О<В<К<А
17. Среди всех положительных целых чисел с суммой цифр, равной 21, найдите наименьшее и наибольшее 18. Запись положительного целого числа состоит из цифр 3 и 7, а сумма всех цифр делится как на 3 , так и на 7. Найдите наименьшее такое число 19 Найдите все трёхзначные числа, у которых сумма цифр равна 5, а произведение равно 4 20. В доме 56 квартир. Сколько раз на табличках квартир встречается цифра 5? |
||
|
21. Все трёхзначные числа записаны в ряд: 100101102…..998999. Сколько раз в этом ряду после двойки идёт нуль? 22. Все трёхзначные числа записаны в ряд: 100101102…..998999. Сколько раз в этом ряду после двойки идёт нуль? 23. Сколько существует девятизначных чисел, у которых все цифры различны и идут (слева направо) в порядке убывания? 24. В пятиэтажном доме на каждом этаже по 3 квартиры. На каком этаже находиться квартира 57? 25. Напишите 7 последовательных натуральных чисел так, чтобы среди них было ровно 15 двоек Четность Для решения таких задач необходимо воспользоваться следующим известным утверждением: сумма любого числа четных чисел – четная, а нечетного числа нечетных чисел – нечетная… 1.Какими — четными или нечетными — будут сумма и произведение: 2. Можно ли разменять 125 рублей при помощи 50 купюр достоинством 1,3 и 5 рублей. Решение: Заметим, что сумма четного числа нечетных чисел четна, а число 125 нечетное, поэтому разменять 125 рублей не удастся 3. Известный бизнесмен пришел в Госбанк, чтобы обменять несколько 50- и 100- долларовых купюр старого образца. Ему было выдано 1999 купюр достоинством 1, 5 и 25 долларов. Докажите, что его обсчитали. Решение. В нашем случае исходная сумма денег (сумма какого-то числа 50-долларовых и 100-долларовых купюр) – четная, а полученная сумма денег (сумма 1999 купюр по 1, 5 и 25 долларов) – нечетная. 4. Вокруг забора растут 8 кустов малины. Число ягод на соседних кустах отличается на 1. Может ли на всех кустах быть 225 ягод? Решение: Так как число ягод на соседних кустах отличается на 1, то вместе число ягод на соседних кустах нечетное. Число ягод на 8 кустах равно сумме четырёх нечетных чисел, т.е четное число. А число 225 нечетное. Ответ: Нельзя 5. Можно ли 100 рублей разменять купюрами в 1, 3, 5, и 25 рублей так, чтобы получилось 35 купюр Маша говорит, что знает четыре числа, сумма и произведение которых – нечетные числа. Права ли Маша? 7. Можно ли заплатить без сдачи: 8. Андрей купил в магазине 20 тетрадей, 2 альбома для рисования, несколько карандашей по 6 р. 20 коп. и несколько ластиков по 4 рубля. Ему сказали, что в кассу следует уплатить 55 рублей 65 копеек. Андрей попросил пересчитать стоимость покупки и ошибка была устранена. Как Андрей догадался, что она была допущена? 9. На шахматную доску размером 8*8 пролили краску. Может ли количество испачканных клеток быть на 17 меньше количества чистых клеток? Ответ объясните. |
