Исследовательский проект по теме:
«МЕТОДЫ РЕШЕНИЙ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»
Работа ученика 10 класса
Акбарова Андрея
Руководитель: Чурина
Елена Вениаминовна,
учитель математики
Работа допущена к защите «_____» _______________ 202____г.
Подпись руководителя проекта ______________(__________________)
г. Южа
2021 год
Содержание:
Введение……………………………………………………….................3
Теоретическая часть:
Определение тригонометрических уравнений…………….......4
Виды тригонометрических уравнений...................................4
Способы решений тригонометрических уравнений.............4
Практическая часть:
Решение простейших тригонометрических уравнений........5
Решение однородных тригонометрических уравнений.......10
Решение тригонометрических уравнений, приводимых к квадратным....................................................................................15
Решенип тригонометрических уравнений смешанного типа...19
Вывод……………………………………………………………..24
Заключение………………………………………………………….24
Источники……………………………………………………………25
Введение.
Тригонометрические уравнение ещё в древних временах возникали из задач по физике, астрономии и многим другим наукам. Ещё тогда математики начали выводить простейшие тригонометрические уравнения для решения прямоугольных треугольников. Методы их решений рождались из алгебры и формировались с развитием тригонометрических функций.
Цель работы: распределить тригонометрические уравнения по видам, способам решений.
Гипотеза: не существует универсальный способ для решения всех видов тригонометрических туравнений
Задачи:
1. Изучить теоретические сведения по данной задаче.
2. Проанализировать действующие по этой теме источники на наличие задач данного типа.
3. Найти примеры задач данного типа.
Методы, которые использовались при разработке проекта:
1. Анализ достоверных источников информации.
2. Сравнение сведений, которые касаются проекта.
3. Обобщение сведений.
Определение тригонометрических уравнений
виды и способы их решений.
Тригонометрическое уравнение - уравнение, содержащее любую тригонометрическую функцию.
Решение тригонометрического уравнения - это набор неизвестных чисел, который представляет уравнение в тождество.
Виды тригонометрических уравнений:
1. Простейшие тригонометрические уравнения.
2. Однородные тригонометрические уравнения.
3. Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным.
4. Тригонометрические уравнения смешанного типа.
5. Квадратные тригонометрические уравнения.
Способы решений тригонометрических уравнений:
1. Графический.
2. Аналитический.
Практическая часть.
1.Решение простейших тригонометрических уравнений:
2. Решение однородных тригонометрических уравнений:
-однородное тригонометрическое 1 степени, делим обе части на косинус угла х. В рассматриваемом варианте cos x не допустимо приравнять к нулю. Если допустить что cos х = 0, то тогда и sin х = 0. И в таком случаем не осуществилось бы соотношение sin2 х +cos2 х = 1. Значит, в этом выражении cos х ≠ 0.
Следовательно, обе части указанного выражения можем поделить на cosх
Решение:
Ответ:
однородное тригонометрическое 2 степени, В рассматриваемом варианте cos x не допустимо приравнять к нулю. Если допустить что cos х = 0, то тогда и sin х = 0. И в таком случаем не осуществилось бы соотношение sin2 х +cos2 х = 1. Значит, в этом выражении cos2 х ≠ 0.
Следовательно, обе части указанного выражения можем поделить на cosх
Решение:
.
Ответ:
Решение:
Используем формулы двойного аргумента:
Подставим их в исходное уравнение и домножим на тригонометрическую единицу 2, стоящую в правой части.
Ответ:
Решение:
В такой записи уравнение не является однородным.
Используем формулу синуса двойного аргумента.
Теперь уравнение однородное.
Решим его.
, 
Ответ: 
6. 
Решение:
Ответ:
3. Решение тригонометрических уравнений, приводимых к квадратным:
1. 
1) Воспользуемся формулой приведения:
Получим уравнение:
2) Теперь 
нам удобно выразить через 
, поскольку в уравнении присутствует 
:
, где 
Ответ: , где
2.
Упростим выражение 
- разложим его на множители формуле разности квадратов:
Получим:
Введем замену переменной: 
, 
Получим квадратное уравнение:
По теореме Виета находим корни: 
, 
. Оба корня нас устраивают.
Теперь можем вернуться к исходной переменной, получим:
или 
, или 
, где
Ответ: , , где
3. 6cos2 x + 5 sin x – 7 = 0.
Решение:
Решение:
Возведем обе части равенства в квадрат. Для соблюдения равносильности будем рассматривать только те значения переменной х, при которой 
(*).
. Раскроем скобки в правой части уравнения и получим:
Так как 
, то получаем:
или
.
Решая это уравнение, мы можем ввести новую переменную 
:
t(3t+4)=0
, 
.
С учетом (*) получаем: 
.
Ответ:
Решение:
Пусть 
, 
,
тогда вспомогательное уравнение: 
, или 
.
, или 
, 
, 
.
Ответ: .
Решение тригонометрических уравнений, смешанного типа:
Решите уравнение: 
Ответ: 
Решите уравнение
Решение:
Запишем исходное уравнение в виде:
Значит, либо 
откуда 
либо 
откуда 
или 
Ответ: 
Решите уравнение: 
Решение:
Заметим, что::
Ответ: 
Решите уравнение: 
Решение:
Ответ: 
Выводы.
Делая данную работу:
Научился работать с источниками информации;
Изучил теоретические сведения по данному вопросу;
Научился представлять результаты своей работы.
Моя гипотеза в процессе выполнения работы подтвердилась.
Заключение.
В ходе работы я понял, что тригонометрические уравнения появились давно, и, как и многие другие знания по математике, связаны с иными науками.
Изучил материал и узнал виды тригонометрических уравнений,способы их решений.
Мое исследование может быть интересно учащимся 10-11 классов при подготовке к государственной итоговой аттестации по математике.
Источники:
https://resh.edu.ru/subject/lesson/6314/conspect/199927/
https://yandex.ru/turbo/ege-ok.ru/s/2012/02/24/vse-tipyi-trigonometricheskih-uravneniy-chast-1
https://yandex.ru/turbo/urok.1sept.ru/s/articles/629673
https://resh.edu.ru/subject/lesson/6321/conspect/199988/
https://ya-znau.ru/znaniya/zn/280
https://babaev-an.ru/simple_trigonometric_equations.html
Белянина Светлана Николаевна
Елена Вениаминовна Чурина