Разработка занятия по математике «Решение задач на совместную работу в 5-6 классе»

Методическая разработка
DOCX / 63.76 Кб

/data/files/e1600199993.docx (Методическая разработка)Управление образования администрации

муниципального образования городского округа «Усинск»

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 3

с углубленным изучением отдельных предметов» г. Усинска

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

«Решение задач на совместную работу в 5-6 классе»

Учитель математики

Рима Гафурбаевна

Хафизова

2020

ВВЕДЕНИЕ

В ФГОС ООО в пункте «Математика» говорится, о знаниях и умениях на базовом уровне, ученики должны: «решать текстовые задачи, умение действовать в соответствии с алгоритмом и строить простейшие алгоритмы». Задачи на совместную работу являются неотъемлемой частью изучения курса математики 5-11 классов. Часто с ними приходится сталкиваться и в повседневной жизни, значит, теме решения задач и задачам на совместную работу должно быть уделено достаточное количество времени.

Однако, как показывает практика, при решении таких задач у учащихся часто возникают трудности, связанные с непониманием смысла самой задачи.

Все вышесказанное обосновывает актуальность разработки данной темы.

В данной работе я рассмотрю понятие задачи и видов задач на совместную работу в курсе математики 5-6 класса.

Все задачи на работу можно условно разделить на две группы:

― задачи, в которых выполняемый объем работы известен или его нужно определить (например, количество изготовленных деталей, количество гектар вспаханной земли, объем бассейна и т.д.);

― задачи, в которых вообще не сказано, какая работа выполняется или эта работа задана неявно (в таких задачах зачастую задано только время).

Задачи на работу также делятся на два типа:

- задачи, в которых выполняется раздельная работа - эти задачи решаются аналогично задачам на движение;

- задачи на совместную работу.

В дальнейшем, под задачей на совместную работу будем понимать

такие задачи, в которых несколько объектов или субъектов (людей, бригад, коллективов, насосов, тракторов и т.д.) выполняют одну и ту же работу вместе, при этом с отличными друг от друга скоростями.

Решить математическую задачу – это значит найти такую последовательность общих положений математики (определений, правил, законов, формул), применяя которые к условиям задачи (промежуточным результатам решения), получаем то, что требуется в задаче, – её ответ.

Н.Л. Стефанова выделяет в процессе решения задачи четыре основных этапа:

1.Анализ. Решение любой текстовой задачи начинается с анализа. Одна из трудностей анализа текста задачи состоит в том, что текст неодинаково воспринимается и понимается разными людьми. Существует несколько задач, созданных на основе этого текста: задача, которую имел в виду автор; задача, которую «перевел» для себя ребёнок; задача, которую воспринял учитель. И совсем необязательно, что они совпадают.

Фактически процесс решения задач должен начинаться с создания одной и той же задачи. Чем меньше ребёнок, тем выше субъективность его индивидуального опыта в области математики, а значит, тем более значима работа с текстом.

Цель этапа – выделить объективное содержание задачи, условие, заключение, выполнить краткую запись, чертеж, схему, если это понадобится решающему.

2. Поиск решения задачи.

Цель этапа – создание плана решения, который можно представить в виде устного или письменного текста, а также в виде модели или поисковой схемы.

3. Реализация плана решения с обоснованием.

Проверка решения задачи и запись ответа. Проверка может быть проведена по смыслу: могут ли существовать объекты с описанными и полученными свойствами; проверка правильности выполнения логических и математических операций и т.д.

Этот этап предполагает обобщение и систематизацию полученного опыта, рефлексию, осознание того, как и с помощью каких процедур была решена данная задача. В некоторых случаях проводится исследование задачи (другие методы и способы решения, единственность или не существование объекта).

Четвертый этап может быть частично рассмотрен в начале второго этапа, что может помочь нахождению способа решения. При решении задачи, человек, решающий задачу, может многократно возвращаться к одному из этапов.

Выполнение всех четырех этапов необходимо воспитывать у ребёнка. Ответ на четвертый вопрос теста предполагает не только выполнение требования, поставленного в задаче, но и исследовательскую работу.

Итак, процесс решения задачи по Н.Л. Стефановой включает:

― анализ текста;

― поиск решения;

― реализацию плана;

― проверку и запись ответа.

Во время решения задач на совместную работу нужно ответить на следующие вопросы (рассмотрим на примере рабочих):

― Что принято за время выполнения работы первым рабочим?

― Что принято за время выполнения работы вторым рабочим?

― Какова производительность труда первого рабочего?

― Какова производительность труда второго рабочего?

― Чему равна совместная производительность труда?

― Чему равно время, за которое выполнят задание, работая вместе?

Ответить на эти вопросы можно, как в виде составления математической модели, так и с помощью таблицы.

Рассмотрим задачу: Мастер может изготовить 360 деталей за 6 дней, а ученик - за 12 дней. За сколько дней мастер и ученик могут изготовить это количество деталей, работая одновременно?

Решение.

Сначала найдём производительность мастера и ученика по отдельности, далее, найдём их общую производительность, затем сможем найти время, за которое они вместе смогут сделать всю работу.

1) 360:6 = 60 (дет.) – производительность мастера за один день.

2) 360:12 = 30 (дет.) – производительность ученика за один день.

3) 30+60 = 90 (дет.) – производительность мастера и ученика за один день, если они будут работать вместе.

4) 360:90 = 4 (дня) – количество дней, которое нужно мастеру и ученику на совместное изготовление всего количества деталей.

Ответ: 4 дня.

Однажды на уроке изучения темы: «Задачи на совместную работу», после решения задачи рассмотренной выше, я предложила своим ученикам решить старинную задачу из математической рукописи ХVII века:

« Два плотника рядились двор ставить. И говорит первый:

- Только бы мне одному двор ставить, то я бы поставил в 3 года.

А другой молвил:

- Я бы поставил его в шесть лет.

Оба решили сообща ставить двор. Сколь долго они ставили двор?»

Мнения в классе разделились. Одни ребята утверждали, что оба плотника вместе будут строить дом 3+6=9 лет. Другие возражали – так быть не может: вместе плотники должны построить дом быстрее, а не дольше, чем каждый из них в отдельности. Вскоре все поняли, что время совместной работы плотников не может быть больше трех. Но как его найти?

Затруднение, возникшее у ребят, связано с тем, что при совместной работе

складывается не время работы, а часть работы, которую делают ее участники. Например, из условия задачи о плотниках следует, что первый плотник выполнит за 1 год часть всей работы, а второй - часть. Значит, вместе за год они выполняют + = часть всей работы, и чтобы поставить двор, им потребуется столько времени, сколько раз по содержится в целой единице: 1: = 2(года).

Итак, при решении задач на совместную работу вся выполненная работа принимается за 1 – «целое», а часть работы, выполненная за единицу времени (час, минута, год и т.д.), находиться по формуле: р=1: t, где р – искомая часть работы, а t – время работы. Соответственно, t = 1: р.

Рассмотрим теперь, как используется этот прием при решении различных задач на совместную работу.

Задача 1. В городе есть водоем. Одна из труб может заполнить его за 4ч, вторая за 8ч, а третья – за 24ч. За сколько времени наполниться водоем, если открыть сразу 3 трубы?

Решение:

1: 4 = (водоема) – наполниться через I трубу за 1 час.

1: 8 = (водоема) – наполниться через Iтрубу за 1 час.

1:24 = (водоема) – наполниться через I I I трубу за 1 час.

+ + = (водоема) – наполниться через 3 трубы за 1 час.

1: = =2(ч).

Ответ: через 3 трубы, работающие одновременно, водоем наполниться

За 2ч.

Задача 2. Два пешехода вышли одновременно из двух поселков навстречу друг другу. Один пешеход может пройти весь путь за 3ч, а другой – за 4ч. Через, сколько времени они встретятся?

Решение:

Это тоже задача на «совместную работу», хотя, строго говоря, никто не работает. Но можно считать, что «работа» пешеходов – это прохождение пути. Поэтому весь путь принимается за «единицу» и вычисляется часть пути, пройденная каждым пешеходом.

1:3 = (расстояния) – проходит I пешеход за 1ч.

1: 4 = 1: = 1 * (расстояния) – проходит I I пешеход за 1ч.

+ = (расстояния) – сближаются оба пешехода за 1ч.

1: = 1* = = 1(ч).

Ответ: пешеходы встретятся через 1 ч.

Задача 3. Бассейн заполниться через 2 трубы за 3 ч. Если открыть одну первую трубу, то бассейн наполниться за 6 ч. За сколько времени наполниться бассейн через одну вторую трубу?

Решение:

1: 6 =(бассейна)- наполниться через I трубу за 1 час.

1: 3 = 1: =1* = 1(ч)(бассейна) - наполниться через обе трубы вместе за 1 час.

- = =(бассейна) - наполниться через I I трубу за 1 час.

1: = 1* = = 7(ч).

Ответ: бассейн наполниться через одну вторую трубу за 7 ч.

Задача 4. Чтобы выкачать из цистерны нефть, поставили два насоса различной мощности. Если бы действовали оба насоса, то цистерна оказалась бы пуста через 12мин. Оба действовали в течение 4мин, после чего работал только второй насос, который через 24мин выкачал всю остальную нефть. За сколько минут каждый насос, действуя один, мог выкачать всю нефть?

Решение:

1:12 = (цистерны) – выкачивают два насоса за 1 мин.

* 4 = = (цистерны) – выкачали два насоса за 4 мин.

1 - = (цистерны) – выкачал I I насос за 24мин.

: 24 = (цистерны) – выкачивает I I насос за 1 мин.

- = = (цистерны) – выкачивает I насос за 1 мин.

1: = 1* 36 = 36(мин).

1: = 1*18 = 18 (мин).

Ответ: один первый насос выкачивает нефть за 36(мин), а один второй – за 18 мин.

Тема: «Задачи на совместную работу».

(Системно - деятельностный подход)

Тип урока: ОНЗ

Основные цели:

1) сформировать способность к решению задач на совместную работу по формуле и с использованием таблицы в простейших случаях;

2) повторить и закрепить понятие степени числа, сравнение дробей, приведение их к наименьшему общему знаменателю, тренировать способность к доказательству высказываний.

Ход урока

1. Самоопределение к учебной деятельности

Цель этапа: 1) включить учащихся в учебную деятельность;

2) определить содержательные рамки урока: решаем задачи на работу.

Организация учебного процесса на этапе 1:

– Ребята, с какими задачами мы работали на прошлых уроках? (С задачами на дроби.)

– Какая формула объединяет все три задачи? (Формула произведения.)

– При решении, каких задач использовалась формула произведения? (Задачи на движение, стоимость, работу.)

– Молодцы! Сегодня мы начнём работать с задачами на работу.

2. Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности

Цель этапа: 1) актуализировать учебное содержание, необходимое и достаточное для восприятия нового материала: действия с дробями и смешанными числами, сравнение дробей, решение задач на работу при известном объёме выполненной работы;

2) актуализировать мыслительные операции, необходимые и достаточные для восприятия нового материала: сравнение, анализ, обобщение;

3) зафиксировать все повторяемые понятия и алгоритмы в виде схем и символов: в виде свойств и определения;

4) зафиксировать индивидуальное затруднение в деятельности, демонстрирующее на личностно значимом уровне недостаточность имеющихся знаний: решить задачу на совместную работу при неизвестном объёме выполненной работы.

Организация учебного процесса на этапе 2:

1. – Найдите значение выражений:

; ; ; .

(; 3; 2; .)

– Назовите полученные числа в порядке возрастания. (; ; 2; 3.)

– Вычислите сумму всех полученных чисел. (6.)

– Придумайте дроби, в которых знаменатель больше числителя на 6. (Например, , .)

– Сравните дроби и , используя перекрестное правило.

( <  65 < 77)

– Какие еще способы сравнения дробей вы знаете?

2. Решите задачу 1:

На фарфоровом заводе мастер расписывает 6 тарелок за 3 часа, а его ученик – только за 6 часов. За сколько часов мастер и его ученик распишут эти тарелки, работая вместе?

– Что вы использовали при решении задачи? (Формулу работы: A = рt.)

3. Индивидуальное задание.

Решите задачу: 2

На фарфоровом заводе мастер может расписать чайный сервиз за 3 часа, а его ученик – за 6 часов. За сколько часов они его распишут, работая вместе?

Решение задачи вызовет затруднение.

– Вы смогли решить задачу? (Нет.)

3. Выявление причин затруднения и постановка цели деятельности

Цель этапа: 1) организовать коммуникативное взаимодействие, в ходе которого выявляется и фиксируется отличительное свойство задания, вызвавшего затруднение в учебной деятельности: решение задачи при неизвестном объёме работы;

2) согласовать цель и тему урока: научиться решать задачи на совместную работу.

Организация учебного процесса на этапе 3:

– Почему вы решили первую задачу?

– Что общего в задачах? (Задачи на работу.)

– Чем отличаются задачи? (В первой задаче известна работа и время, которое затрачивает мастер и ученик на выполнении работы, во второй задаче известно время, которое будет затрачено на выполнение работы, работа не известна.)

– Почему вы не смогли решить вторую задачу? (Не понятно, что принять за работу.)

– Какими задачами мы сегодня будем заниматься? (Задачами на работу.)

– В чём их особенность? (Не известна работа, которую должны выполнить.)

– Какая цель урока? (Научиться решать задачи на работу, в которых не известна работа.)

– Чтобы научиться решать задачи, что необходимо иметь? (Алгоритм решения задачи.)

– Сформулируйте тему урока. (Задачи на работу.)

4. Построение проекта выхода из затруднения

Цель этапа: 1) организовать коммуникативное взаимодействие для построения нового способа действия, устраняющего причину выявленного затруднения;

2) зафиксировать новый способ действия в знаковой, вербальной форме и с помощью эталона.

Организация учебного процесса на этапе 4:

– Что является объектом работы? (Сервиз.)

– Кто выполняет эту работу? (Мастер и его ученик.)

– Как они её выполняют? (Вместе).

– Каждый из них выполняет? (Только какую- то часть этой работы.)

– А раз каждый выполняет только часть работы, вся работа, чем является? (Целым.)

– Как мы обозначаем целое? (1.)

На доске: A = 1.

– Скорость работы обозначим буквой p.

– Запишите формулу работы в новых обозначениях. (Учащиеся предлагают свои варианты.)

На доске:1 = pt.

– Выразите из формулы производительность и время. (Учащиеся предлагают свои варианты).

На доске:

p =

t =

– Что вы можете сказать о производительности и времени? (Т. к. их произведение равно 1, они взаимно обратные.)

– Составим таблицу по условию задачи:

– Что мы можем найти? (Производительность мастера и ученика.)

– Какой следующий шаг? (Общую производительность.)

– Как можно найти время? (Можно работу разделить на производительность.)

1 : = 2 (ч)

– Можно использовать, что производительность и время взаимно обратные? (Да, т.к. производительность равна , обратное число равно 2, т.е. время равно 2 ч.)

Ответ: потребуется 2 часа.

– Каким алгоритмом мы пользовались?

1. Прочитать задачу.

2. Принять всю работу за 1.

3. Заполнить по условию таблицу (можно без таблицы)

4. Заполнить пустые места в таблице, используя формулу работы (можно без таблицы)

5. Записать ответ.

(Составление таблиц при решении задач отнимает много времени у учащихся 5-6 классов, поэтому чаще решаем задач без таблиц).

– Какую часть цели мы достигли? (Мы построили алгоритм для решения задачи).

– Какую цель мы ещё поставили? (Научиться решать задачи.)

– Для достижения этой цели, что необходимо? (Тренироваться в решении задач).

5. Первичное закрепление.

Цель этапа: зафиксировать изученное учебное содержание во внешней речи.

Организация учебного процесса на этапе 5:

Задача 3 (решить у доски),

В городе есть водоем. Одна из труб может заполнить его за 4ч, вторая за 8ч, а третья – за 24ч. За сколько времени наполниться водоем, если открыть сразу 3 трубы?

Решение:

1: 4 = (водоема) – наполниться через I трубу за 1 час.

1: 8 = (водоема) – наполниться через I I трубу за 1 час.

1:24 = (водоема) – наполниться через I I I трубу за 1 час.

+ + = (водоема) – наполниться через 3 трубы за 1 час.

1: = =2(ч).

Ответ: через 3 трубы, работающие одновременно, водоем наполниться

за 2ч.

Задача 4 - решают в парах, обсуждая ее решение. (Для проверки заготовить образец решения).

Водоем наполняется двумя трубами за 5 часов, а через одну первую трубу – за 6часов. Через сколько времени будет наполнен водоем, если открыть только одну вторую трубу?

6. Самостоятельная работа с самопроверкой по образцу.

Цель этапа: проверить своё умение применять алгоритм сложения и вычитания в типовых условиях на основе сопоставления своего решения с эталоном для самопроверки.

Организация учебного процесса на этапе 6:

Задача 5.

Для разравнивания дороги поставлены две грейдерные машины различной мощности. Первая машина может выполнить всю работу за 36 дней, а вторая – за 45 дней. За сколько дней выполнят всю работу обе машины, работая совместно?

Учащиеся проверяют по подробному образцу, фиксируют правильность решения, исправляют ошибки, учитель проводит анализ ошибок.

7. Включение в систему знаний и повторение

Цель этапа: 1) тренировать навыки использования нового содержания совместно с ранее изученным: решение задачи на движение с использованием метода, выведенного на уроке;

2) повторить учебное содержание, которое потребуется на следующих уроках: перевод с математического языка на русский язык, работа с алгебраическими дробями, приведение дробей к новым знаменателям.

Организация учебного процесса на этапе 7:

Задача на движение решаем по алгоритму (у доски)

Два пешехода вышли одновременно из двух поселков навстречу друг другу. Один пешеход может пройти весь путь за 3ч, а другой – за 4ч. Через, сколько времени они встретятся?

Решение:

Это тоже задача на «совместную работу», хотя, строго говоря, никто не работает. Но можно считать, что «работа» пешеходов – это прохождение пути. Поэтому весь путь принимается за «единицу» и вычисляется часть пути, пройденная каждым пешеходом.

1:3 = (расстояния) – проходит I пешеход за 1ч.

1: 4 = 1: = 1 * (расстояния) – проходит I I пешеход за 1ч.

+ = (расстояния) – сближаются оба пешехода за 1ч.

1: = 1* = = 1(ч).

Ответ: пешеходы встретятся через 1 ч.

8. Рефлексия деятельности на уроке

Цель этапа: 1) зафиксировать новое содержание, изученное на уроке: формулы нахождения производительности труда и времени, алгоритм решения задач на совместную работу;

2) оценить собственную деятельность на уроке;

3) поблагодарить одноклассников, которые помогли получить результат урока;

4) зафиксировать неразрешённые затруднения как направления будущей учебной деятельности;

5) обсудить и записать домашнее задание.

Организация учебного процесса на этапе 8:

– Чему был посвящён сегодняшний урока?

– Достигли ли мы с вами поставленной нами цели урока?

– Какие знания использовали для достижения цели?

– В чём преимущество нового способа?

– Всё ли у вас получалось?

– В чём были затруднения?

– Как вы выходили из затруднений?

– Оцените себя: насколько для вас эффективно прошёл сегодняшний урок?

Домашнее задание.

Список литературы:

1.Балл Г.А. Теория учебных задач.

2.Петерсон Л.Г. Математика 5кл. Учебник.

3.Бунимович Е. А. Математика 5кл. Учебник.

4. Фридман Л.М. Как научиться решать задачи.

5. Стефанова Л.Н. Этапы решения задач.