Методическая разработка урока математики по теме «Первообразная»

Формируемые умения

Деятельность преподавателя

Деятельность обучающихся

Организационный этап

Метапредметные (УУД):

регулятивные:

- самостоятельно прогнозировать свою деятельность, умение настраиваться на занятие

коммуникативные:

- уметь слушать и вступать в диалог.

Приветствие.

Мотивация на изучение новой темы.

Приветствуют преподавателя, проверяют свою готовность к уроку (наличие тетрадей, ручек)

Постановка учебной проблемы.Формулирование проблемы, планирование деятельности

Предметные:

знать :   определение,производной,понятия приращения функции и аргумента,физический и геометрический  смыслы производной; производные элементарных  и сложных функций

определение первообразной

первообразная определяется неоднозначно

уметь:

находить первообразные функции в простейших случаях

проверять, является ли функция F(x) первообразной для функции f(х) на данном промежутке

 уметь применять полученные знания к  решению практических задач.

Метапредметные (УУД):

познавательные:

- уметь самостоятельно определять цели в деятельности в ходе применения понятия производной функции к определению понятия первообразной

 – анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления;

- искать и выделять необходимую информацию.

Регулятивные:

– самостоятельно обнаруживать и формулировать проблему в классной и индивидуальной учебной деятельности;

коммуникативные:

– самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, договариваться друг с другом и т.д.);

- уметь слушать и вступать в диалог.

1. Определение производной функции

2. Физический смысл производной

Из курса физики вспомним ,что такое скорость   и ускорение и по каким формулам  их находим.

3.Есть путь,есть время-можем найти скорость.

4. Задача 1. Материальная точка движется прямолинейно по закону

s(t) = t³ +2t² – 5t.

Найти функцию, выражающую закон изменения скорости движения v(t)

5.Решить обратную задачу.Найти путь.

Задача 2. Скорость прямолинейно движущейся точки изменяется по закону

v(t)=3 t² +4t – 5.

Найти функцию s(t), выражающую зависимость перемещения точки от времени.

Какую функцию S(t) надо продифференцировать?

(Вспомнить таблицу и формулы производных)

1. Производной функции в данной точке

 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

2. Произ­водная функции y = f(x) в точке x₀ – это скорость изменения функции f (х) в точке x₀  x'(t). = n(t)

v(t)=S^/(t)-скорость есть производная пути по времени.

3.Быстрота изменения положения тела в пространстве с течением времени ;V=St,  где S зависимая переменная переменная, t-независимая переменная.

4. v(t)=S^/(t)=3 t² +4t – 5.

5. v(t)=S^/(t)-скорость есть производная пути по времени. Скорость  это результат производной пути по времени. S –это первоначальная величина.Так как,

v(t)=S^/(t)=3t² +4t – 5- требуется восстановить функцию S(t)-найти такую функцию,производная которой  равняется  данной функции.

s(t) = t³ +2t² – 5t.

Открытие новых знаний

Знать: производные элементарных  и сложных функций

определение первообразной

первообразная определяется неоднозначно

уметь:

находить первообразные функции в простейших случаях

проверять, является ли функция F(x) первообразной для функции f(х) на данном промежутке

 уметь применять полученные знания к  решению практических задач.

Метапредметные (УУД):

познавательные:

- уметь самостоятельно определять цели в деятельности в ходе применения понятия производной функции к определению понятия первообразной

 – анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления;

- искать и выделять необходимую информацию.

Регулятивные:

– самостоятельно обнаруживать и формулировать проблему в классной и индивидуальной учебной деятельности;

коммуникативные:

– самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, договариваться друг с другом и т.д.);

- уметь слушать и вступать в диалог.

1.Первоначальная величина-

2.Определение первообразной

3.Как проверить результат?

4. Как можно изменить первообразную  функции,чтобы ее производная оставалась постоянной?

5.Сколько первообразных может иметь функция?

6. Основное свойство первообразных:

7. Используя таблицу производных элементарных функций и основное свойство первообразных,заполните таблицу первообразных

1.первообразная.

2.Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке Х, если для всех х из этого промежутка  F^/(x)= f(x)

3. Найти производную  s(t) = t³ +2t² – 5t

S^/(t)=3t² +4t – 5

4. Если вспомнить таблицу производных,то производная константы равна нулю.Если к первообразной функции прибавть константу.

s(t) = t³ +2t² – 5t+С, где С любое действительное число.

5.Множество, т.к. (F(x)+C)’=F’(x)=f(x)

6. если F(x) – первообразная функции f(x) на

некотором промежутке, то F(x)+C – первообразная функции f(x) на этом промежутке.

Первичная проверка понимания материала

Предметные:

  Знать:

определение первообразной

первообразная определяется неоднозначно

уметь:

находить первообразные функции в простейших случаях

проверять, является ли функция F(x) первообразной для функции f(х) на данном промежутке

 уметь применять полученные знания к  решению практических задач.

Метапредметные (УУД):

познавательные:

 – анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления.

регулятивные:

– самостоятельно обнаруживать и формулировать проблему в классной и индивидуальной учебной деятельности.

коммуникативные:

– самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, договариваться друг с другом и т.д.).

1)  Например, функция F(х) = sin x  является первообразной функции f (x) = cos x

так как  (sin x ) ′ = cos x

3)Функция:    f(x) = 3х²

Производная функции:       

Первообразная функции:     

В данном примере производная от F(x) = х³ + С будет равна (как в определении):

Примеры.

1.  Выяснить, является ли функция F (x) = х ³ – 3х + 1 первообразной для функции f(x) = 3(х ² – 1).

2. Найти все первообразные функции f(x) :

а) f(x) = х ⁴ + 3х ² + 5

б ) f(x) = sin(3x – 2)

в) 

3. Для функции f(x) = 4 – х ² найти первообразную, график которой проходит через точку (-3; 10).

Решение примеров к таблице:найти первообразные

2) F(x)=x⁴    f(x) = 4x³

3)f´(x) = 3 · 2х = 6х

 где С -любое действительное число

F´(x) = (х³ + С)´ = 3х² + 0 = 3х² = f(x) (производная от С = 0, т. к. С — число)

1.Решение: F'(x) = (х ³ – 3х + 1)′ = 3х ² – 3 = 3(х ² – 1) = f(x), т.е. F'(x) = f(x), следовательно, F(x)является первообразной для функции f(x).

2.

а)Решение: Используя таблицу и правила нахождения первообразных, получим:

Ответ:

б)Решение:

Ответ:

в)Решение:

Ответ:

3.Решение:

1) Найдем все первообразные функции f(x): 

2) Найдем число С , такое, чтобы график функции  проходил через точку (-3; 10). Подставим х = – 3, y = 10 , получим:

Следовательно, .

Ответ:

Закрепление новых знаний

Предметные:

  Знать:

определение первообразной

первообразная определяется неоднозначно

уметь:

находить первообразные функции в простейших случаях

проверять, является ли функция F(x) первообразной для функции f(х) на данном промежутке

 уметь применять полученные знания к  решению практических задач.

Метапредметные (УУД):

познавательные:

– анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления.    

регулятивные:

– выдвигать версии решения проблемы, осознавать конечный результат, выбирать средства достижения цели из предложенных или их искать самостоятельно;

– подбирать к каждой проблеме (задаче) адекватную ей теоретическую модель.

коммуникативные:

– самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, договариваться друг с другом и т.д.);

– отстаивая свою точку зрения, приводить аргументы, подтверждая их фактами;

- уметь слушать и вступать в диалог.

Работа в парах.

Найти все первообразные функции:

1. Функция f (x) = x⁵

2.f (x) = 3/x

3. f (x) = e^x

4. f (x) = 4·sin x

5.f (x) = (3x - 4)⁵

6. f (x) = e ^-3x+5

7. f (x) = sin (6 — 7x)

8. f (x) = cos (6x — 5)

№983,984 учебника

1.

2. F (x) = 3 ln x + C

3. F (x) = e^x + C

   4. f (x) = 4·sin x

    6. F (x) = e ^-3x+5 + C

7. F (x) = ·(- cos (6 - 7x)) + C = cos (6 - 7x) + C

 8. F (x) = ·sin (6x — 5) + C

Рефлексия учебной деятельности

Предметные:

Знать:

определение первообразной

первообразная определяется неоднозначно

уметь:

находить первообразные функции в простейших случаях

проверять, является ли функция F(x) первообразной для функции f(х) на данном промежутке

 уметь применять полученные знания к  решению практических задач.

Метапредметные (УУД):

познавательные:

–  классифицировать и обобщать факты и явления;

    – строить логически обоснованное рассуждение, включающее установление причинно-следственных связей.

регулятивные:

–  осознавать конечный результат решения проблемы.

коммуникативные:

– самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, договариваться друг с другом и т.д.);

- уметь слушать и вступать в диалог.

Преподаватель:

- Что вы сегодня узнали нового?

- Какова была цель вашей деятельности?

- Вы достигли поставленной цели?

- Что вы использовали, и что вам помогло в достижении цели?

 -Все, кто отвечал на уроке будут оценены.

Возможные варианты ответов:

Производная –«производит» новую функцию. Первообразная - первичный образ.

• определение первообразной
• первообразная определяется неоднозначно

• находить первообразные функции в простейших случаях
• проверять, является ли функция F(x) первообразной для функции f(х) на данном промежутке

Определение производной функции,ее физический смысл.

Задание на   дом

Урок № 22

https://resh.edu.ru/subject/lesson/3993/start/225744/