МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ ЛИНИИ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ В ШКОЛЕ

МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ ЛИНИИ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ В ШКОЛЕ

Лавриненко Дмитрий Александрович

учитель математики и информатики, МОУ «Бородино», д.Бережки

dmitry.lavrinenko10@yandex.ru

Аннотация: статья посвящена детальному анализу методики изучения квадратных уравнений в школьном курсе. Основное внимание уделяется выявлению сходств и различий в подходах различных авторов к преподаванию этой темы.

Ключевые слова: квадратные уравнения, дискриминант, формула корней квадратного уравнения, методика изучения.

Анализ современных учебников алгебры позволяет убедиться в некоторых сходствах и различиях изучения линии квадратных уравнений в школьном курсе. Некоторые авторы уделяют большое внимание теоретическим сведениям или практическим заданиям, другие, напротив, стараются найти синергию, рассматривая подробно все теоремы, определения и свойства, подкрепляя их большим количеством практических заданий. Несмотря на это, методика изучения квадратных уравнений, в большинстве случаев, имеет одинаковый подход [3].

Столкнувшись с темой «Квадратные уравнения» необходимо дать четкое определение и установить соответствие между коэффициентами и типом квадратного уравнения: полное и неполное, приведенное и неприведеное.

Предполагается, что к началу систематического изучения исследуемой темы, учащиеся уже имеют преставление о том, что такое квадратное уравнение, а также о графическом методе их решения, причем различными способами:

Отыскание точек пересечения параболы с осью .

Отыскание точек пересечения параболы и прямой .

Отыскание точек пересечения гиперболы и прямой

Стоит отметить, что учащимся уже знаком «метод разложения на множители», которой в ряде случаев также дает возможность решить квадратное уравнения. Например, уравнение сводится к уравнению , или, уравнение сводится к уравнению .

Именно поэтому, основным методическим решением является – показать ученикам что они могут применять уже известные методы решения в совершенно новой теме «Квадратные уравнения». Самое главное – осознать вместе с учащимися проблемную ситуацию, связанную с таким решением квадратных уравнений [7].

Для этого практическим методом необходимо выявить недостатки метода разложения на множители и графического метода. Например, необходимо рассмотреть полное квадратное уравнение , заметим, что в данном случае метод разложения на множители не применим, а графический метод может дать представление лишь о приближенных значениях корней.

На этом этапе необходимо поставить четкий план действий при рассмотрении линии квадратных уравнений и условно разделить все на блоки:

1. Учащиеся должны уметь:

решать неполные квадратные уравнения;

решать полные квадратные уравнения;

решать приведенные квадратные уравнения;

делать проверку.

2. Учащиеся должны знать:

формулу нахождения дискриминанта;

формулу нахождения корней квадратного уравнения;

алгоритмы решения уравнений данного вида.

Продолжая методично рассматривать раздел квадратных уравнений, первоначально необходимо дать ученикам «полное преставление о неполных квадратных уравнениях и методах их решений в общем виде», а затем «привести подробные практические примеры».

Заметим, что рассмотрение этой темы требует подробного объяснения о том, как отличить различные виды неполных квадратных уравнений. Наблюдения показали, что ученики не всегда способны применить нужный метод решения, потому что не умеют отличать их между собой. В таком случае учителю стоит подробно проговорить отличительные особенности каждого уравнения, показывая на примерах: «посмотрим на уравнение . Обратите внимание, в уравнении отсутствует свободный член, поэтому мы сразу можем сделать вывод, что наше уравнение имеет вид и решается соответственно ему. Также, мы можем заметить, что в каждом из двух слагаемых есть общий множитель «» – это также является отличительной особенностью данного вида. Рассмотрим другое уравнение . Здесь мы видим обратное, в уравнении присутствует свободный член «-36» – заначит, сразу можно сделать вывод о том, что такое уравнение имеет вид и решается соответсвенным методом. Также, заметим, что если детальней разобраться из чего состоит это уравнение, то можно прийти к выводу, что оно содержит переменную «» (которая имеет свой коэффициент), а рядом стоит какое-либо число со своим знаком – эти признаки являются отличительной особенностью данного вида уравнений» [9].

Для закрепления полученных знаний необходимо предоставить ученикам различные упражнения. Изначально необходимо отработать отдельно каждый из видов неполного квадратного уравнения, чтобы учащиеся научились визуально отличать уравнения и подбирать нужный метод решения. Последующие задачи должны быть направлены на отработку и закрепление всех видов неполных квадратных уравнений, при этом, их сложность должна постепенно увеличиваться.

Таким образом, до перед изучением следующей темы ученики должны освоить понятия полных и неполных квадратных уравнений, приведенных и неприведенных квадратных уравнений, а также уметь отличать различные неполные квадратные уравнения и уметь применять конкретные методы решения.

Следующим методическим этапом изучения линии квадратных уравнений является рассмотрение темы «Полные квадратные уравнения».

Начать стоит с создания реальной проблемы для учеников, приведем пример: «Решите уравнения 1) ; 2) ; 3) ». Заметим, что первые два уравнения ученики должны решить, основываясь на предыдущей теме. Третье же уравнение решить не получится, исходя из этого, необходимо познакомить учеников с темой «Формула корней квадратного уравнения» [8].

Первое, с чем стоить познакомить учеников – «понятие дискриминанта». Заметим, что в методике вывод формулы дискриминанта используется для наглядного доказательства трех основных его свойств. Акцентируя внимание на этом, стоит обобщить связь формулы и значение дискриминанта:

Если , то квадратное уравнение не имеет корней.

Если , то квадратное уравнение имеет один корень .

Если , то квадратное уравнение 2 корня .

Особое внимание стоит уделить последней записи, ведь именно она олицетворяет собой формулу корней полного квадратного уравнения.

Особое внимание школьников стоит обратить на то, что «формула дискриминанта, а также формула нахождения корней – очень сильно связаны с коэффициентами квадратного уравнения, которые необходимо правильно определять». Одним из методических способов начального решения любого квадратного уравнения является выписывание коэффициентов отдельно, например: «Решить уравнение . Выпишем коэффициенты ». Этот способ облегчит дальнейшее решение квадратного уравнения, ведь остается лишь подставить коэффициенты в имеющиеся формулы [10].

Далее, стоит обобщить полученные теоретические знания и привести как общие решения, так и частные, для каждого из видов.

Для закрепления полученных теоретических знаний необходимо построить процесс, в котором будет рассматриваться система упражнений различной сложности. Ведь именно благодаря такому подходу учащиеся приобретают нужные навыки в решении задач. Такие упражнения должны содержать не только различные полные квадратные уравнения, но также уравнения должны сводиться к иррациональным корням. Немаловажно включить задачи на повторение неполных квадратных уравнений [2].

Рассматривая метод преобразования квадратных уравнений, ученик сталкивает с «возможностью сокращения коэффициентов». Данный этап необходимо описать подробнее, акцентируя внимание на возможном упрощении исходного уравнения. Так, например, «при решении уравнения , исходные коэффициенты являются «неудобными» для нахождения дискриминанта». Заметим, что каждый из коэффициентов кратен 121. При делении получаем: – такое уравнение решается по известным формулам. Стоит учитывать, что преобразования привели нас к приведенному квадратному уравнению, с которыми ученики познакомились ранее [5].

В современных учебниках алгебры, при изучении квадратных уравнений тема «Теорема Виета» является обязательной, что позволяет еще больше расширить кругозор учеников, добавив в их арсенал новый метод решения.

Так как учащиеся уже обладают «внушительным багажом знаний», то при изучении этой темы стоит сразу начать с определения теоремы Виета для приведенных, особое внимание акцентирую на примерах. После этого, необходимо построить свои объяснения «с конца» и напомнить о преобразовании неприведенных квадратных уравнений, показывая связь между коэффициентами. Свое объяснение можно строить следующим образом: «Теорема Виета для приведенных квадратных уравнений имеет следующий вид: «Если – корни квадратного уравнения , то . Таким образом, зная коэффициенты приведенного квадратного уравнения мы сможем найти его корни, важно учитывать, что все условия должны выполняться одновременно, по сути, образуя систему. Но что же делать с неприведенным квадратным уравнением. Давайте вспомним, такое уравнение имеет вид . Чтобы преобразовать это уравнение, нам необходимо разделить каждое слагаемое на . Тогда мы получим, . Подставим наши значения в теорему Виета для приведенных квадратных уравнений: ».

На данном этапе большинство учеников не понимают для чего им нужна новая формула, и предпочитают и дальше решать задачи через дискриминант. Для этого необходимо поставить учащихся в проблемную ситуацию, предложив им достаточно большое количество однотипных задач на решение квадратных уравнений и дать ограниченное время [4].

Также, при изучении этой темы, важно отметить, что корни уравнения легче находить из произведения (то есть из уравнения ), а затем, подставляя их в сумму (то есть в уравнение ), проверять подходящие значения.

Изучение линии квадратных уравнений очень важно, так как данная темя является связующем звеном и позволяет решать задачи различной сложности. Квадратные уравнения достаточно многогранная тема, знание которой пригодится не только в частном случае, но и при решении текстовых задач на движение, сплавы и смеси, совместную работу, а также геометрических задач, при решении неравенств и биквадратных уравнений, при построении графика параболы и многое другое. Именно поэтому, учитель должен уделить особое внимание изучению квадратных уравнений, используя различные методические приемы для полноценного освоения темы.

Список использованных источников:

Атанасян, С. Л., Кузуб, Н. Н. Элективные курсы по математике и организация самостоятельной деятельности учащихся [Текст] / Л. С. Атанасян, Н. Н. Кузуб // Вестник Северного (Арктического) федерального университета. Серия: Гуманитарные и социальные науки. – Москва, 2014. – №4. – с. 150-156.

Бекаревич, А. Б. Уравнения в школьном курсе математики [Текст] / А. Б. Бекаревич – Москва, 1968.– 196 с.

Бурмистрова, Т. А. Программы общеобразовательных учреждений [Текст] / Т. А. Бурмистрова // Математика. – Москва: Просвещение, 1994. – 187 с.

Гусев, В. А., Мордкович, А. Г. Математика: учебно-справочное пособие [Текст] / В. А. Гусев, А. Г. Мордкович. – Москва: Астрель, 2013. – 671 с.

Гусев, В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся [Текст] / В. А. Гусев, А. Г. Мордкович – Москва: Просвещение, 1988. – 168 с.

Колягин, Ю. М. Методика преподавания математике в средней школе. Частные методики [Текст] / Ю. М. Колягин. – Москва: Просвещение, 1977. – 198 с.

Маркушевич, Л. А., Черкасов, Р. С. Уравнения и неравенства в заключительном повторении курса алгебры средней школы [Текст] / Л. А. Маркушевич, Р. С. Черкасов // Математика в школе. – Москва, 1994. – №1. – 164 с.

Мишин, В. И. Методика преподавания математики в средней школе [Текст] / В. И. Мишин – Москва, 1990. – 236 с.

Окунев, А. К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя [Текст] / А. К. Окунев. – Москва: Просвещение, 1972. – 201 с.

Стефанова, Н. Л., Подходова, Н. С. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов [Текст] / Н. Л. Стефанова, Н. С. Подходова. – Москва: Дрофа, 2015. – 102 с.