Статья «Межпредметные связи математики и информатики. Пример интегрированного урока»

Межпредметные связи математики и информатики. Практический пример интегрированного урока.

 

Школьные курсы математики и информатики, по мнению автора данной работы, должны быть «предметами одного учителя». Существует, однако, проблема, связанная с тем, что от преподавания основ программирования и алгоритмизации с увеличением производительности компьютеров и развитием графических интерфейсов информатика довольно быстро переходит к изучению информационных технологий, практически не требующих ни умения программировать, ни знаний математики. Сложившаяся ситуация активно обсуждается в самых разных институтах системы образования.

Одним из возможных решений данной проблемы представляется использование математических задач и моделей в качестве заданий по информатике.

Для интеграции математики и информатики можно выбрать любой комплекс задач, требующих алгоритмического подхода к их решению. Это могут быть и построение графиков функций, и задачи численного интегрирования, и решение физических задач с построением математической модели, и т.д.

В этой статье будет рассмотрен план-конспект интегрированного урока информатики и математики, а также некоторые аспекты применения информационных технологий для обучения математике.

 

1.Использование метода Монте-Карло для нахождения площадей сложных фигур.

 

В данном интегрированном уроке изучается новая тема по информатике.

 

Цель урока:

освоить понятие метода «Монте-Карло», как основного метода создания вероятностных моделей в различных научных дисциплинах;

закрепить навыки работы в программной среде Free Pascal;

активизировать творческие способности в ходе выполнения самостоятельного задания;

актуализировать знания, полученные при изучении курса алгебры - вычисление площадей сложных фигур при помощи определенного интеграла.

Оборудование: мультимедиа проектор, презентация к уроку, компьютерный класс.

I.Организационный момент.

Проверяю готовность учеников к уроку. Объявляю тему и цели урока.

II.Актуализация опорных знаний.

Вспоминаем с учениками основные формулы из курса планиметрии для определения площадей элементарных геометрических фигур. Из курса алгебры - формулу для вычисления площади криволинейной трапеции. Из курса информатики - использование функции random (программный датчик случайных чисел) в языке Free Pascal.

 

III.Теоретический материал

 

Существует множество способов вычисления площадей различных фигур. Метод приближенного вычисления площадей фигур с применением датчика случайных чисел называют методом Монте-Карло (название города в княжестве Монако). Метод Монте-Карло получил широкое распространение во множестве численных методов, применяемых для расчета различных параметров в математике, физике, экономике и др.

Суть метода заключается в следующем. Поместим фигуру F в квадрат со стороной равной 1. Будем «бросать» случайным образом точки в этот квадрат. Естественно – чем больше площадь фигуры, тем больше точек попадет внутрь этой фигуры. Таким образом, зная общее количество точек N количество точек, попавших внутрь фигуры M, мы можем приблизительно определить площадь фигуры:

S = * Sкв., где Sкв=1*1=1 (в нашем случае); тогда в общем случае

S = * Sобл. , где Sобл. - площадь области, в которую мы помещаем фигуру.

Обычно эту область задают прямоугольником или квадратам, чтобы ее площадь было легко вычислить.

Чем больше точек мы будем генерировать, тем большую точность мы получим при расчетах площади

   

 

 

Можно выделить следующие особенности метода Монте-Карло:

1)простая структура вычислительного алгоритма - составляется алгоритм для выполнения одного случайного действия и повторяется N раз, причем каждый опыт не зависит от остальных;

2) Ошибки пропорциональны , где D – некоторая постоянная, N – число испытаний;

3) метод позволяет моделировать любой процесс, на протекание которого влияют случайные факторы;

4) для многих математических задач, не связанных с какими-либо случайностями можно искусственно придумать вероятностную модель, решающую эти задачи;

5) метод нахождения площади будет справедлив, если случайные точки будут располагаться равномерно по всему квадрату, то есть результат будет зависеть от качества используемого датчика случайных чисел.

 

IV. Практическая задача.

Переходим к практике. Предлагается решить следующую задачу.

Определить площадь криволинейной трапеции, ограниченной слева осью ординат, графиком функции y=x^2 и прямой y=4.

 

Вначале изобразим заданные графики функции (используем знания алгебры)

Приравнивая правые части функций легко находим точку пересечения x=2.

 

Анализ объекта моделирования и построение информационной модели.

Далее для решения предложенной задачи используем метод Монте-Карло.

1) Выделим область, в которой находиться наша фигура F, и которую будем "обстреливаить" точками со случайными координатами. В нашем случае это будет прямоугольник со сторонами 2 и 4, следовательно Sобл.=8.

2) Точка принадлежит фигуре F, если выполняются три условия:

0 <= x <= 2, y >= x2 , y <= 4.

Алгоритмизация решения задачи и создание компьютерной модели:

1) при помощи датчика случайных чисел - функции random, будем задавать случайные координаты точек в диапазоне от 0 до 2 по оси х, и в диапазоне от 0 до 4 по оси y;

2) проверяем попала ли точка со случайными координатами в заданную область (используем написанные выше неравенства);

3) в случае попадания точки в заданную область увеличиваем на единицу число M - количество точек, принадлежащих области F; в случае "промаха" - переходим к пункту 1;

4) количество испытаний N будем задавать в программе последовательно 1000, 10 000, 100 000 и анализировать точность полученного результата;

5) по окончании всех испытаний площадь искомой фигуры определяем по формуле S = * Sобл. , где Sобл.=8;

6) выводим результат на экран компьютера.

 

Составление программы на языке программирования Free Pascal.

Program Monte_Karlo;

Var N, M, i : longint;

S : real;

begin

writeln ("Введите количество случайных точек N : ");

readln (N);

randomize;

M:=0;

for i:=1 to N do

begin

x:=2+random;

y:=4+random;

if ( y<=4 ) and (y >= sqr(x)) then M:=M+1

end;

S:=(M/N)*8;

writeln ("Искомая площадь фигуры = ", S)

end.

После написания и отладки программы учащиеся запускают на выполнение свою программу, задавая различные значения N и получая различные приближенные результаты.

Как же теперь убедиться в достоверности и точности результата?

 

  Учитель ждет предложения от ребят о вычислении площади фигуры при помощи определенного интеграла (практическое применение математических знаний). 

 

Итак, при помощи интегрального исчисления получен точный результат.

Вместе с учениками делаем вывод, что при большом значении N площадь, вычисленная методом Монте-Карло, до сотых долей совпадает с реальной.

Далее учитель поясняет, что важнейшую роль в методе Монте-Карло играет стандартная функция Паскаля - random (программный датчик случайных чисел). От того, насколько равномерно он генерирует случайные величины, напрямую зависит точность результата.

Дополнительное задание (по желанию): изучить основные алгоритмы получения последовательности псевдослучайных чисел и написать собственную функцию, аналогичную random. Затем можно будет проверить эффективность её работы напрямую в составленной программе Monte_Karlo.

 

2.Применение информационных технологий для повышения эффективности в обучении математики.

В педагогической практике наряду с традиционными методами, нужно использовать информационные технологии обучения с целью создания условий выбора индивидуальной образовательной траектории каждым учащимся, нужно стремиться вдохновлять учеников на удовлетворение их познавательного интереса, поэтому главной задачей считается создание условий для формирования мотивации у учащихся, развитие их способностей, повышение эффективности обучения.

 

Процесс организации обучения школьников с использованием ИТ позволяет:

сделать этот процесс интересным, с одной стороны, за счет новизны и необычности такой формы работы для учащихся, а с другой, сделать его увлекательным и ярким, разнообразным по форме за счет использования мультимедийных возможностей современных компьютеров;

эффективно решать проблему наглядности обучения, расширить возможности визуализации учебного материала, делая его более понятным и доступным для учащихся свободно осуществлять поиск необходимого школьникам учебного материала в удаленных базах данных благодаря использованию средств телекоммуникаций, что в дальнейшем будет способствовать формированию у учащихся потребности в поисковых действиях;

индивидуализировать процесс обучения за счет наличия разно уровневых заданий, за счет погружения и усвоения учебного материала в индивидуальном темпе, самостоятельно, используя удобные способы восприятия информации, что вызывает у учащихся положительные эмоции и формирует положительные учебные мотивы;

раскрепостить учеников при ответе на вопросы, т.к. компьютер позволяет фиксировать результаты (в т. ч. без выставления оценки), корректно реагирует на ошибки;

самостоятельно анализировать и исправлять допущенные ошибки, корректировать свою деятельность благодаря наличию обратной связи, результате чего совершенствуются навыки самоконтроля;

осуществлять самостоятельную учебно-исследовательскую деятельность (моделирование, метод проектов, разработка презентаций, публикаций и т.д.), развивая тем самым у школьников творческую активность.

 

Итак, использование информационных технологий повышает мотивацию обучения, в частности, обучения математике. Компьютерные технологии отличаются направленностью на личность школьника. В их основе отсутствует принуждение, оно заменяется уважением к самостоятельности учащегося.спользование информационных технологий позволяет достичь свободы творчества участников педагогического процесса: ученика и учителя. Педагог учит, воспитывает, но и стимулирует ученика к развитию его задатков, развивает потребность к самостоятельной работе.

Урок - это основная форма организации обучения. Поэтому он должен быть продуман во всех деталях, чтобы они следовали одна за другой, чтобы учащиеся понимали, почему, что и зачем они делают на уроке.

ИТ могут применяться на уроках математики различных типов, а также на различных этапах урока, хотя невозможно каждый урок математики проводить с использованием ИТ.

На этапе организации работы с любым программным средством учитель должен обучить умению владеть им своих учеников.

Привлечение учащихся к самостоятельному приобретению знаний, овладению умениями и навыками, творческому применению их на практике должно сочетаться с постановкой перед учащимися целей и задач каждого урока, показа практической значимости изучаемого материала.

На этапе подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала в качестве одного из способов повышения познавательного интереса у учащихся эффективно использовать Интернет-ресурсы.При проведении уроков математики используются мультимедийные презентации. На таких уроках реализуются принципы доступности, наглядности. Уроки эффективны своей эстетической привлекательностью. Урок-презентация тоже обеспечивает получение большего объема информации и заданий за короткий период. Всегда можно вернуться к предыдущему слайду (обычная школьная доска не может вместить тот объем, который можно поставить на слайд). При изучении новой темы можно провести урок-лекцию с применением мультимедийной презентации. Это позволяет акцентировать внимание учащихся на значимых моментах излагаемой информации. При изучении нового материала учащимся можно предложить исследовательскую работу.

Например, при прохождении темы "график квадратичной функции учащиеся выдвигают гипотезы о виде графика, а затем проводят вычислительный эксперимент, результаты которого подтверждают или опровергают выдвинутые гипотезы.

Можно использовать презентацию для систематической проверки правильности выполнения домашнего задания всеми учениками класса. При проверке домашнего задания обычно очень много времени уходит на воспроизведение чертежей на доске, объяснение тех фрагментов, которые вызвали затруднения.

Используя, презентацию для устных упражнений по готовому чертежу способствует развитию конструктивных способностей, отработке навыков культуры речи, логике и последовательности рассуждений, учит составлению устных планов решения задач различной сложности. Особенно хорошо это применять в старших классах на уроках геометрии. Можно предложить учащимся образцы оформления решений, записи условия задачи, повторить демонстрацию некоторых фрагментов построений, организовать устное решение сложных по содержанию и формулировке задач.

Презентации удобно использовать и во внеклассной работе при проведении различных конкурсов, игр. Это и демонстрация портретов математиков, и рассказ об их открытиях, и иллюстрация практического применения теорем в жизни.

Использование ИТ дает возможность для:

повышения мотивации обучения;

индивидуальной активности;

направленности на личность школьника;

формирования информационной компетенции;

свободы творчества;

интерактивности обучения.

Заключение

В последние годы роль персональных компьютеров и информационных технологий в жизни человека и, образования, в частности переоценить сложно. Без новых информационных технологий уже невозможно представить современную школу и современного человека. Но, тем не менее, использование компьютера на уроке должно быть целесообразно и методически обоснованно, а не служить данью времени. Предмет информатика должен занимать место особого системообразующего предмета среди школьных учебных курсов.

Предметы информатики и математики существенно различны, но обе эти учебные дисциплины обладают уникальными метапредметными возможностями, которые во многом едины. С другой стороны, развитие естественно–научного ком­понента информатики требует привлечения нового и, во многом, не традиционного математического аппарата.

Связь информатики и математики в современном курсе информатики, со­стоящим из технико-технологического, естественно-научного, гуманитарного и метапредметного компонентов при ведущей роли метапредметного компонента является двоякой. Во-первых, исследование информационной среды (информационных процессов и систем) требует применения развернутого математического аппарата. При этом особенности современной информационной среды таковы, что традиционный математический аппарат зачастую не является достаточным для описания динамики этой среды. Для ее описания необходимо привлекать, например, элементы нелинейной динамики и другой новый математический аппарат.

Затронутые в статье межпредметные связи математики и информатики позволяют сделать шаг вперед, как процессу обучения этим наукам, так и научно-техническому прогрессу в целом.

Список литературы

Бешенков С.А., Дзамыхов А.Х. Информатика и математика в контексте метапредметности. Журнал "Математика и информатика" , София, № 4 - 2014.

Бешенков С.А., Кузнецова Л.Г., Шутикова М.И. Математика и информатика: поиск точек соприкосновения. Журнал «Информатика и образование» №10 – 2006.

Губанова А. А. Реализация межпредметных связей информатики и математики для формирования целостного научного мировоззрения учащихся.

Коротенков Ю.Г. Обучение информатике и математике в рамках единой образовательной области "Математика и информатика". «Информатика и образование» № 8, октябрь 2014 г.

Смирнова М.А. Теоретические основы межпредметных связей - М.,2006.