Занятие на тему «Мнемонические приемы при обучении математике»
Лекция
Тема. Радианная мера угла. Вращательное движение. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа. Основные тригонометрические тождества, формулы приведения.
Цель:
повторить определение тригонометрических функций острого угла прямоугольного треугольника и ввести определение тригонометрической функции произвольного угла; обобщить и систематизировать знание студентов о радианной мере измерения углов и дуг; формировать умение определять радианную меру угла по градусной и наоборот; сформировать понятия тригонометрических функций числового аргумента; изучение значений тригонометрических функций некоторых чисел (углов), изменения знаков тригонометрических функций в координатных четвертях;
развивать культуру письменной и устной речи, абстрактное и логическое мышления; оказывать содействие развитию интереса к предмету;
воспитывать понимание роли математики в жизни, понимание важности математических знаний.
Структура занятия
1. Организационный момент.
2. Актуализация знаний.
3. Изучение нового материала.
4. Подведение итогов занятия.
5. Домашнее задание.
Литература:
Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачева М.В. и др.–3-е изд.–М.: просвещение, 2016.
Алгебра и начала анализа. Шкиль М.И. К.: Зодиак – ЕКО, 2002.
Ход занятия
1. Организационный момент
2. Актуализация знаний
Мы начинаем изучение еще одного раздела математики – тригонометрии.
Как вы думаете, что изучает тригонометрия?
Какие тригонометрические функции вы знаете?
Попробуйте вспомнить определение этих функций.
Вот видите некоторым из вас очень сложно вспомнить не только определения, но даже названия тригонометрических функций. Сегодня на уроке мы вспомним эти функции, познакомимся с ними еще ближе, узнаем о них еще больше.
3. Изучение нового материала
Для начала изобразим окружность радиуса R. На окружности покажите углы 0о, 90о, 180о, 360о, 45о, 135о.
Но углы могут измеряться не только в градусах. Существует еще одна мера измерения углов – радианная. У вас в учебнике на стр. 118 приводится определение радиана. Прочтите.
Сколько градусов составляет угол в 1 радиан? Найдем ответ вместе. Длина окружности 2R, а половины окружности - R. Половина окружности – это развернутый угол, т.е. 180о.
R
180о=R 180о= радиан. Значит 1 радиан =
3,14, тогда 1 радиан 57,3о
180o радиан = 180о
R R
Составим таблицу наиболее часто встречающихся углов:
|
градусы |
0 |
30 |
45 |
60 |
90 |
180 |
|
радианы |
0 |
|
|
|
|
|
Поворот точки вокруг начала координат
Рассмотрим на координатной плоскости окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Ее называют единичной окружностью. Введем понятие поворота точки единичной окружности вокруг начала координат на угол α радиан, где α – любое действительное число.
1. Пусть α>0. Предположим, что точка, двигаясь по единичной окружности от точки Р против часовой стрелки, прошла путь длиной α (рис. 1). Конечную точку пути обозначим М.
В этом случае будем говорить, что точка М получена из точки Р поворотом вокруг начала координат на угол α радиан.
2. Пусть α<0. В этом случае поворот на угол α радиан означает, что движение совершалось по часовой стрелке и точка прошла путь длинной |α| (рис. 2).
Поворот на 0 рад означает, что точка остается на месте.
Примеры.
1) При повороте точки Р(1;0) на угол 
(рис. 3) получается точка М(0;1).
2) При повороте точки Р(1;0) на угол - (рис. 3) получается точка N(0;-1).
3) При повороте точки Р(1;0) на угол 
(рис. 4) получается точка К(0;-1).
4) При повороте точки Р(1;0) на угол - (рис. 4) получается точка L(-1;0).
|
|
|
|
Рис. 1 |
Рис. 2 |
|
|
|
|
Рис. 3 |
Рис. 4 |
Отметим, что при повороте точки Р(1;0) на 2 т.е. на 360°, точка возвращается на первоначальное положение (см. таблицу).
При повороте точки на -2, т.е. на -360°, она также возвращается в первоначальное положение.
Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Первое, что вам нужно запомнить, это определение тригонометрических функций вообще:
т
ригонометрическая функция - это отношение чего-то к чему-то.
Второе, что нужно запомнить: тангенс - это синус на косинус.
Запомните эти два высказывания и вот этот рисунок, который мы назовем «Портрет тангенса».
Самое главное, чему нас учит этот рисунок, так это тем местам, где нужно искать синусы и косинусы. В принятой математиками системе обозначений, синусы всегда располагаются по вертикали - это ордината. Косинусы всегда располагаются по горизонтали - это абсцисса.
Вспомним определение синуса и косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике.
А 
В С
Теперь вернемся к единичной окружности
sin 0 = 0 cos 0 = 1
sin =1 cos = 0
sin = 0 cos = -1
Теперь составим таблицу:
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
sin |
0 |
1 |
0 |
|||
|
cos |
1 |
0 |
-1 |
|||
|
tg |
||||||
|
ctg |
Для заполнения значений синуса и косинуса углов 
, 
и 
я расскажу вам сказку о трех дамах:
Пошли три дамы гулять. Первая дама, вторая дама и третья дама.
|
30° |
45° |
60° |
|
|
Sin |
1 |
2 |
3 |
|
Cos |
И неожиданно пошел дождь. Все дамы открыли зонтики, и одели по паре калош.
|
30° |
45° |
60° |
|
|
Sin |
|
|
|
|
Cos |
Прогулка была закончена. Первая дама, вторая дама и третья дама пошли домой.
|
30° |
45° |
60° |
|
|
Sin |
|||
|
Cos |
|
|
|
Теперь мы можем заполнить всю таблицу. Получим:
Основные тригонометрические формулы
sin2 α + cos2 α = 1 tg α · ctg α = 1
Формулы приведения
|
|
- |
|
|
- |
+ |
|
|
2- |
2+ |
|
sin |
- sin |
cos |
cos |
sin |
- sin |
- cos |
- cos |
- sin |
sin |
|
cos |
cos |
sin |
- sin |
- cos |
- cos |
- sin |
sin |
cos |
cos |
|
tg |
- tg |
ctg |
- ctg |
- tg |
tg |
ctg |
- ctg |
- tg |
tg |
|
ctg |
- ctg |
tg |
- tg |
- ctg |
ctg |
tg |
- tg |
- ctg |
ctg |
Для запоминания этих формул необходимо знать два коротких правила:
Четверть дает знак.
Диаметр дает функцию.
Рассмотрим, например, как найти значение выражения 
. Сначала следует выполнить подготовительный момент: представить данное выражение в виде
1)
, либо в виде
2) 
.
Предположим, что мы выбрали первый из представленных видов. Тогда, применяя первое правило, получим, что в III четверти косинус отрицательный (ставим знак «минус»). Далее задаем вопрос: «Меняем или не меняем функцию?». 180° попадают на горизонтальный диаметр. Помотав головой вдоль этого диаметра, получаем ответ: «Нет, не меняем». Получим
.
Теперь предположим, что мы выбрали второй из представленных видов. Вопрос со знаком решается аналогично – ставим знак «минус». А задавая вопрос: «Меняем или не меняем функцию?» и помотав головой вдоль соответствующего диаметра, получаем ответ: «Да, меняем», так как 270° попадают на вертикальный диаметр. Получим
.
4. Подведение итогов занятия
Общий итог подводится по «Синквейну»
Называется одно ключевое слово урока. (Предлагают обучающиеся)
Прилагательное, характеризующее это понятие.
Три глагола.
Предложение, раскрывающее тему, отношение к ней.
Синоним ключевого слова.
5. Домашнее задание
Прочитать конспект урока, выучить основные определения и формулы.
Подготовить сообщения по темам:
«Из истории тригонометрических функций», «Тригонометрия в физике», «Тригонометрия в электротехнике».
