Многоликое трение

Многоликое трение.

С.В. Задорожная, учитель физики

МБОУ СОШ № 125

с углубленным изучением математики,

г. Снежинск.

       Трение везде. Во мне и в тебе, вокруг меня и вокруг тебя. И между песчинками и между галактиками (скажите – нет, ну это еще вопрос!). Куда от него деться? И нужно ли от него избавляться? Ох уж эта многоликая сила трения! И вязкая она, и сухая; и качения и скольжения. И трение покоя, и сопротивление движению. И такая эта сила знакомая и такая загадочная; такая переменчивая и от стольких многих факторов зависящая; то она антинаправлена, то сонаправлена с движением тел…. Что с трением только не делали учителя и ученики: и судили и рядили его. Для чего? Хотели выяснить – полезно оно или вредно? Что с ним делать – увеличивать или уменьшать?

Вот и я, провела урок в седьмом классе по силе трения и задумалась; а так ли уж обоснованно мы выделяем две причины возникновения силы сухого трения: шероховатость поверхности и взаимное притяжение молекул соприкасающихся тел (1)? Почему объединили в причинах микро и макро уровни? Почему нельзя как-то обойтись микро уровнем, например? И все объяснить через силы взаимодействия между молекулами? Или пойти от шероховатости, через величину выступов и впадин, например. Рассмотреть, как их размеры и количество влияют на силу трения? Но ведь опять же придем к молекулярному взаимодействию. Словом, как писал Фейнман о силе трения: «Происхождение ее – вопрос очень запутанный» (2) и явление очень непростое. Попробуем навести некоторый порядок в мыслях. С явлением сцепления (слипания) молекул обоих тел в областях непосредственного соприкосновения все более или менее понятно: для того чтобы сцепление произошло нужно молекулам оказаться на расстоянии достаточном для возникновения молекулярного притяжения. Такие молекулы найдутся обязательно, какие бы поверхности не были. Значит, этот фактор присутствует всегда. Другое дело, что количество таких молекул при очистке поверхностей или их шлифовке резко увеличивается и соответственно значительно увеличивается фактор молекулярного притяжения. В литературе хорошо известен опыт со стеклянной пластинкой и бокалом (2), его часто демонстрируют на уроках. Действительно, по смоченной поверхности тянуть бокал за петлю гораздо тяжелее, чем по сухой и, действительно, появляются царапинки на стекле. Объясняется это тем, что вода очищает поверхности, и остается чистый контакт стекло-стекло, который трудно разорвать.

Мы на уроках демонстрируем другой опыт. Опыт с измерительными плитками Иогансона. На штативе в лапке укреплена одна плитка. На вторую плитку одевается проволочная петля, обе плитки протираются перед опытом раствором спирта (для удаления загрязнений) и придавливаются друг к другу. Так как они зеркально отшлифованы, то сдвинуть их относительно друг друга очень тяжело. Крючком динамометра тянем за петлю, сила очень велика, с трудом сдвигаем плитку. Так как плитки небольших размеров, для наглядности опыт проводим при помощи видеопрезентера (можно использовать теневой проектор). Надо сказать, что опыт довольно эффектный и сами пластинки у учеников вызывают большой интерес.

А вот шероховатость, неровность тел, почему приводит к механическому зацеплению их поверхностей? Каков механизм этих сцепок? Если рассматривать поверхность твердого тела под микроскопом, то так называемая «шероховатость» предстанет перед нами выступами и впадинами как у настоящих гор. Рассмотрим некую модельную ситуацию с отдельно выделенным выступом и впадиной, перемещающихся относительно друг друга тел. При перемещении тела вправо, в районе точки А образуется область контакта выступа и впадины. Тела приходят в соприкосновение и, конечно, некоторые молекулы оказываются так близко, что притягивают друг друга. Но в данном случае это не главное. Главное, что в точке (области) контакта тела действую друг на друга с силами F1 и F2 , равными по модулю и противоположными по направлению по третьему закону Ньютона. И вот тут начинается самое интересное. Под действием этих сил возникают деформации сжатия, а так же передача энергии посредством упругих волн, а так же отвод тепла в соседние области, а так же при скольжении начинается «прогибание и (или) скалывание» бугорков, разрыв молекулярных связей (более подробно этот интересный процесс описан в работе А.А. Первозванского (3)). Но молекулы-то об этих всех проявлениях сил трения не «знают», они просто «сопротивляются» уменьшению или увеличению расстояния между ними изо всех своих молекулярных сил. Вот поэтому трение есть и будет, пока есть движение и взаимодействие молекул. Потому что трение, в конечном итоге, есть внешнее проявление этого движения и взаимодействия. Устроена наша Вселенная так и все.

А разделять причины возникновения трения будем, несмотря на то, что шероховатость поверхностей и их сцепление является проявлением молекулярного взаимодействия. Хотя бы, потому что при неровных поверхностях притяжение молекул тел практически не сказывается. Выравнивая поверхности, мы уменьшаем трение. Но чем более ровной и гладкой становится поверхность, тем сильнее проявляются силы молекулярного притяжения. И сила трения, при прочих равных условиях начинает возрастать, иллюстрируя философский закон перехода количества в качество. Существует формула, объединяющая обе причины возникновения силы трения (4):

F = μ (N + Sp0), *

где μ – истинный коэффициент трения, p0 – добавочное давление, вызванное силами молекулярного притяжения, S – общая площадь всех областей непосредственного контакта между телами. Первое слагаемое отвечает за так называемое геометрическое трение (шероховатое), а второе за молекулярное (что такое истинный коэффициент трения, как его находят, и другие интересные подробности можно найти в лекции профессора А.П.Минакова (5)). Какое слагаемое будет играть решающую роль, зависит от степени шероховатости соприкасающихся тел. Приведенная выше формула хорошо работает там, где нет среды или ее свойствами можно пренебречь, а также, когда силы нормального давления и скорости движения не очень большие. При больших скоростях проявляется зависимость силы трения от относительной скорости тел.

Много сил трения и формул для их определения много. Кстати сказать, в учебниках по физике 7 и 9 классов авторов (1) и (6) по которым работает, наверное, большинство учителей, нет ни одной формулы для определения силы трения. А, между тем, на экзамене по физике в новой форме в 9 классе в этом году давалось задание № 23, проверяющее умение учащихся проводить косвенные измерения как раз таки по определению коэффициента трения скольжения. Что же изучать формулы и коэффициенты трения в рубрике «О чем умолчали учебники» (7)? Комментарии, как говорится, излишни.

Попытаемся свести вместе формулы для приближенного расчета сил трения (приближенный характер формул специально оговаривается практически во всех работах по силе трения, что отражает незавершенность современной теории о трении), которые используем для решения задач в курсе школьной физике или хотя бы их даем учащимся в назывном порядке (7, 8, 9).

Некоторые формулы для приближенного расчета сил трения

Кажущееся разнообразие формул, по сути, можно свести к формулам жидкого и сухого трения. В большинстве формул жидкого трения присутствует скорость движения, площадь поперечного сечения и (или) продольные размеры тела. Коэффициенты отражают различные свойства среды.

Формулы сухого трения, так или иначе, повторяют формулу *, все они содержат силу нормального давления и коэффициенты трения. При прочих равных условиях, а именно: равных силах нормального давления и одинаковых поверхностях соприкасающихся тел, коэффициент трения покоя больше коэффициента трения скольжения, а коэффициент трения качения намного меньше коэффициента трения скольжения. Коэффициенты трения зависят от свойств материала тел, качества обработки материалов соприкасающихся тел, наличия на них загрязнений, скорости скольжения и пр. Приведем небольшую цитату из Фейнмановских лекций по физике: «Различия в трении возникают от разной гладкости или твердости частей поверхности, от грязи, ржавчины, и прочих посторонних влияний. Таблицы, в которых перечислены коэффициенты трения «стали по стали», «меди по меди» и прочее, все – это сплошное надувательство, ибо в них этими мелочами пренебрегают, а ведь они-то и определяют значение μ». Справедливости ради надо сказать: во многих справочниках (9, 14, 15) оговаривается, что коэффициенты трения, представленные в таблицах, определены приближенно, либо обозначается некий интервал их значений. Видимо, поэтому авторы многих задачников по физике вообще не приводят таблицы с коэффициентами трения, а указывают их в конкретных задачах.

Сами задачи, где действует сила трения, вызывают у учащихся нередко различного рода трудности. Пройдемся по таблице формул сверху вниз. Задачи на жидкое трение, которые мы рассматриваем в курсе школьной физике, не содержат в решении сложных математических выкладок. Учащиеся испытывают трудности другого порядка. Сформированная в сознании незыблемость физических законов и, главное, формул, отношение к знаку «равно» как к «священной корове» (учителя физики и математики приложили здесь свои ручки), приводит к тому, что ребенок не может работать с формулой, где между физическими величинами стоит знак пропорциональности. Не каждый ученик фразу в задаче: «Считать, что сила сопротивления воздуха пропорциональна площади поперечного сечения движущегося тела и квадратично зависит от скорости движения тела» (11) может записать в виде F ~ s v2 , а затем самостоятельно преобразовать в формулу F = k s v2, где коэффициент k должен иметь еще и соответствующую формуле размерность. Сама операция получения формулы нередко воспринимается как некое шарлатанство от физики. Объясняем детям, это преобразование не «подгон» формулы, а объединение в один коэффициент параметров системы, которые при развитии физической ситуации в задаче, остаются постоянными в хорошем приближении. Чаще всего, коэффициент k при дальнейшем решении задачи сокращается и в итоговый ответ не входит. А для учителя объяснение решения подобного рода задач становится еще одним поводом, чтобы поговорить об экспериментальных методах познания природы.

Качественные и расчетные задачи, где действует сила трения скольжения, и тело перемещается по горизонтальной поверхности, как правило, ученики решают без ошибок. Поэтому, в приведенной выше таблице, для этого случая нет ни каких комментариев. Однако если тело движется под действием силы, приложенной к телу под углом к горизонту, очень распространена ошибка в определении силы реакции опоры, а, следовательно, и силы трения. Первый или второй закон Ньютона учащиеся, как правило, в проекциях на ось Х записывают правильно (приведем сразу оба уравнения).

С проекцией закона на ось Y дело обстоит хуже: либо про ось Y вообще забывают, либо теряют синус угла. Таким образом, вместо формулы для силы реакции опоры:

и силы трения соответственно

пишут привычное стереотипное уравнение:

что естественным образом приводит к неправильному решению задачи.

Подобные проблемы возникают при решении задач, когда тело находится на наклонной плоскости. При любых вариантах: движется ли наклонная плоскость с ускорением, покоится ли она; приложена ли внешняя сила к телу, какой угол она с горизонтом составляет, - необходимо определиться какая сила трения действует в системе, установить правильно ее направление и формулу для расчета. При любом развитии событий в задаче, тело либо покоится, либо скользит.

Если тело поится и на него не действует внешняя сила, оно удерживается на плоскости силой трения покоя, которую в данном случае можно найти, используя первый закон Ньютона в проекции на ось Х:

Сила трения покоя в данном случае зависит от синуса угла наклонной плоскости и направлена в противоположную сторону возможного движения, т.е. вверх по наклонной плоскости. Такая ситуация будет сохраняться пока тело при увеличении угла наклона не начнет скользить. При определенном угле α0, сила трения покоя уступает свои права силе трения скольжения, которая, вообще говоря, несколько меньше, чем максимальная трения покоя, но мы этими тонкостями пренебрежем и воспользуемся формулой для определения силы трения скольжения F = kN. Мы знаем, что эта формула хорошо работает, когда силы нормального давления и скорости относительного движения не очень большие. Следовательно, найдя силу реакции опоры, которая по модулю равна силе нормального давления тела на плоскость, из первого или второго закона Ньютона в проекции на ось Y, мы найдем зависимость силы трения скольжения от угла наклона плоскости.

Сила трения сохраняет свое направление, но зависимость от угла наклона меняется (с более подробным анализом решения подобных задач и графиком полученной зависимости силы трения от угла наклона плоскости можно познакомиться в сборнике 1001 задача по физике (16)). Наличие внешней силы еще более усложняет анализ ситуации в физическом и решение задачи в математическом смысле. Надо четко понимать движется тело или покоится. Если оно движется, то с ускорением или равномерно? В реальной ситуации тело чаще движется своеобразными толчками, даже, если мы стараемся тянуть его равномерно. Двигаясь по наклонной плоскости, тело иногда как - бы «застревает» и потом само или после слабого толчка может продолжить свое перемещение. Такое движение называют фрикционными автоколебаниями (3). Мы этими колебаниями пренебрегаем в задачах и рассматриваем три варианта событий: тело покоится относительно наклонной плоскости, тело движется равномерно и тело движется равнопеременно. Формулы для нахождения силы трения меняются в зависимости от состояния покоя или движения. Если тело находится в покое, то она может быть направлена как вверх, так и вниз по наклонной плоскости. В первом случае она «помогает» удерживать тело в покое, а во втором она «препятствует» перемещению тела вверх. Сила трения покоя для этих случаев соответственно находится, используя первый закон Ньютона в проекции на ось Х:

тело удерживается

тело пытаются сдвинуть вверх по наклонной плоскости

Результат, на первый взгляд, вызывающий недоумение. Что же силы трения равны по модулю и отличаются только знаком? Нет ли здесь логической ошибки? Оправдано ли то, что в обеих силах трения одинаковая внешняя сила и угол под которым она действует? Нет ли тут какого-нибудь подвоха? Возможно, что для произвольно взятого случая и с конкретно заданными параметрами, это решение и годится. В нашу ситуацию надо вникнуть более глубоко. Допустим, что у нас есть конкретное тело массой m, заданы коэффициент трения, углы α и β. Нужно найти какую силу необходимо приложить к телу под углом β к наклонной плоскости, чтобы: а) удержать тело на наклонной плоскости; б) привести в движение относительно наклонной плоскости. Определить какая сила трения будет действовать в обоих случаях. Для сравнения исходные уравнения и результаты решения задачи сведем в таблицу. Добавим, чтобы только удержать или только сдвинуть тело с места, мы используем в первом случае, и преодолеваем во втором максимальную силу трения покоя.

Нехитрый анализ показывает, что для нашей задачи силы трения и приложенные внешние силы разные. Причем, сила трения при попытке сдвинуть тело с места оказалась меньше, чем при удерживании тела в покое. Но при этом они обе меньше силы трения в случае, когда угол β = 0 и внешняя сила, приложенная к телу, параллельна поверхности наклонной плоскости. Это и понятно, т.к. внешняя сила, действующая под острым углом, уменьшает силу нормального давления на плоскость. Удерживающая и приводящая в движение силы также не равны между собой. Полученное соотношение не дает однозначного ответа при сравнении. Само поведение тела на наклонной плоскости зависит от соотношения трех углов: α0, α и β, где α0 задается опосредованным образом через коэффициент трения. При α < α0 тело не двигается по наклонной плоскости. Когда коэффициент трения будет принимать значение близкое тангенсу угла наклона плоскости, соотношение сил будет стремиться к нулю. Так как удерживающая сила становится не нужной. Сила трения покоя уравновешивает составляющую силы тяжести на ось Х. При коэффициенте трения равном или достаточно близком по значению к котангенсу угла β соотношение стремится к бесконечности. Сам же коэффициент становится больше единицы, если угол β < 450 . Тело просто прилипает к плоскости. И, судя, по формулам сила трения или удерживающая сила могут менять свои знаки и обе стремятся к бесконечности. Если же не впадать в экзотические крайности то, как правило, удерживать соскальзывающее тело на плоскости легче, чем сдвигать или равномерно втаскивать на нее.

Возникают вопросы с определением значения и направления силы трения в задачах при движении мотоциклиста или велосипедиста по треку. Причем, движение может осуществляться как по гладкому, так и по шероховатому треку. В большинстве заданий необходимо найти возможные скорости движения. Рассмотрим три варианта задач и сравним полученные ответы.

1. Гладкий трек (Fтр1= 0) с заданным радиусом R и углом наклона α. Велосипедист движется перпендикулярно треку для того, чтобы сила реакции опоры проходила через центр его тела и не создавала опрокидывающий момент. Записав второй закон Ньютона (рассматриваем силы, создающие центростремительное ускорение) в проекциях на координатные оси, и, выразив центростремительное ускорение, получим формулу для скорости, на которую рассчитан гладкий трек

2. Трек с заданным радиусом R, углом наклона α и коэффициентом трения скольжения. Найдем максимально возможную скорость, которую может развить велосипедист на данном треке. При этом гонщик будет отклоняться на некоторый угол от нормали к треку вправо (для наблюдателя) к центру описываемой окружности. Сила реакции трека будет равнодействующей двух сил: силы нормальной реакции трека N и силы трения Fтр2, в предельном случае силы трения скольжения. Так же как и в первом случае сила реакции трека F2 должна проходить через центр тяжести велосипедиста. Таким образом, на велосипедиста действуют: нормальная сила реакции трека, сила трения, сила тяжести. Теперь в создании центростремительного ускорения будет участвовать и горизонтальная составляющая силы трения. Уравнения второго закона Ньютона в проекциях на координатные оси примут вид для этого случая:

Как показывает последняя формула, при условиях данных во втором случае, развиваемая скорость действительно много больше, чем при движении без учета трения (понятно, что речь в задаче идет о боковом трении, трение вдоль направления движения компенсируется мускульной силой гонщика).

3
. Велосипедист не сразу набирает максимальную скорость (будем считать, что он способен это сделать). Возникает закономерный вопрос, а какую минимальную скорость может развивать велосипедист, чтобы не соскользнуть с трека? Необходимо сделать так, чтобы сила трения не увеличивала, а уменьшала центростремительное ускорение, и, соответственно, скорость движения. Для этого гонщик должен будет отклоняться от перпендикуляра к треку влево (для наблюдателя), т.е. от центра описываемой окружности, соблюдая прежнее правило - сила реакции трека F3 должна проходить через центр тяжести велосипедиста. При этом сила трения Fтр3 будет направлена вверх по треку. В результате в исходных уравнениях второго закона Ньютона для нахождения центростремительного ускорения сила трения будет иметь знак минус. Решая систему уравнений, найдем минимальную скорость, которую может развивать велосипедист на данном треке.

Сравнивая ответы во всех трех случаях, мы видим, что если при движении гонщик сохраняет перпендикулярное положение тела относительно трека, то он может развивать только некоторую среднюю скорость движения, возможную для данных условий. Для получения большей или меньшей скорости необходимо наличие бокового трения и отклонение велосипедиста влево или вправо от нормали к треку (для наблюдателя наоборот).

Задачи на движение наземного транспорта, в которых идет речь о силах тяги двигателя и сопротивления движению, не вызывают трудностей у учеников. Не важно, что при этом некоторые из них не понимают механизма движения, и как сила тяги, образующаяся где-то внутри автомобиля или другого транспортного средства, заставляет его двигаться вперед? Какие силы трения возникают при этом и куда они направлены? А вот задачи, где надо найти максимальное ускорение, решаются с большим трудом, несмотря на достаточно простые математические преобразования.

Рассмотрим для начала самый главный вопрос – почему движется, к примеру, автомобиль и какие силы на него при этом действуют? У автомобиля есть двигатель и, как правило, одна ведущая ось, но может быть и две. Это значит, что есть ведущие колеса и ведомые. Ведущая ось вращается и приводит в движение колеса. Эти колеса начинают двигаться относительно дороги, и дальнейшее зависит от взаимодействия колес с дорогой. Колесо и дорога действуют друг на друга, исходя из третьего закона Ньютона, с силами трения равными по модулю и противоположными по направлению. Колесо прокручивается назад, значит, сила трения будет направлена вперед. Если трение маленькое, то колесо проскальзывает, не сцепляется с дорогой, буксует: оно вращается относительно дороги, но не катится по ней. Следовательно, не будет двигаться и автомобиль. Что происходит, когда трение достаточно большое? Тогда сила трения покоя со стороны дороги (на рисунке это Fтр1) будет действовать на ведущее колесо с силой достаточной для того, чтобы оно покатилось. Колесо будет толкать ось, а ось весь автомобиль в целом. Самое тонкое место здесь в понимании того, что автомобиль заставляет двигаться именно сила трения покоя, направленная вперед по движению транспортного средства. Какой же образ придумать, чтобы в сознании разрушить кажущуюся парадоксальность, связанную с тем, что тело не может двигаться, если на него действует сила трения покоя и что сила трения не может быть сонаправлена с движение тела? Представим колесо в виде шестеренки с мелкими зубчиками и с похожими зубчиками дорогу. Когда такое колесо начинает вращаться, зубчики колеса зацепляются за зубчики дороги. В нижней точке зацепления, где находится мгновенная ось вращения колеса, поверхности не перемещаются относительно друг друга, а соседние точки создают вращающий момент, и колесо перекатывается с зубчика на зубчик. Похожая ситуация наблюдается при перемещении человека или животного по земле. Особенно ярко законы такого движения иллюстрируются на примере скалолаза. Он зацепляется за бугорки и впадинки, и именно сила трения покоя, направленная вперед, позволяет ему перемещать свой центр тяжести вверх по скале. Подводя итог всему сказанному, можно сделать вывод, что ускорение, которое может развивать наземное транспортное средство, зависит не только от мощности мотора, но и от силы трения покоя между ведущими колесами и дорогой. Таким образом, под силой тяги автомобиля или любого другого наземного транспортного средства, возникающей благодаря работе двигателя, авторы задач понимают силу трения покоя ведущих колес о дорогу. Не будем забывать также о том, что со стороны дороги на ведомые колеса действует сила трения Fтр2 и сила сопротивления воздуха Fсв, направленные в сторону противоположную движению, а еще есть трение в механизмах и т.д. В задачах некоторыми силами пренебрегают или объединяют в некую силу сопротивления движению.

Рассмотрим ситуацию, когда автомобиль, двигается по наклонной дороге вверх, должен развить максимальное ускорение. Заданы угол наклона дороги к горизонту α и коэффициент трения между колесами автомобиля и дорогой. Максимальную силу трения покоя между ведущими колесами автомобиля и дорогой найдем по формуле Fтр = kN. Спроецируем второй закон Ньютона на координатные оси, решим полученную систему уравнений:

Таким образом, если пренебречь силой сопротивления движению, то максимальное ускорение будет зависеть от угла наклона дороги и коэффициента трения. Причем, при коэффициенте трения равном tgα, ускорение станет равным нулю по той причине, что составляющая силы тяжести вдоль оси Х будет уравновешиваться максимальной силой трения покоя. При коэффициенте трения меньшем tgα, автомобиль будет двигаться замедленно.

Рассмотрим движение автомобиля по выпуклому мосту радиусом R. Какое максимальное горизонтальное ускорение он может развить в высшей точке, если известны его скорость в данный момент и коэффициент трения колес автомобиля о мост. Максимальное горизонтальное или тангенциальное ускорение найдем, зная максимальную силу трения покоя между мостом и ведущими колесами автомобиля по формуле Fтр = kN. В данной ситуации сила реакции моста не равна по модулю силе тяжести, так как автомобиль, двигаясь по окружности, имеет еще и нормальное или центростремительное ускорение. Из итоговой формулы, что при любом коэффициенте трения, если центростремительное ускорение в высшей точке равно ускорению свободного падения, то горизонтальное ускорение будет равно нулю, так как в этот момент автомобиль будет испытывать состояние невесомости.

Конечно, рассмотренные варианты задач и некоторые трудности, которые они вызывают у учащихся, далеко не все. Многоликое трение по-разному проявляет себя.

Куда от него деться? И нужно ли от него избавляться?

Список литературы

Перышкин А.В. Физика. 7 класс. – М.: Дрофа, 20014.

Фейнман Р., Лейтон Р., Сендс М. Фейнмановские лекции по физике. Т. 1-2. – М.: Мир, 1977.

Первозванский А.А. Трение – сила знакомая, но таинственная. Соросовский образовательный журнал, 1998, №2, с. 129-134.

Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов. – М.: Наука, 1974.

Минаков А.П. Немного о трении. ИТФВестник №2. http://myreset.narod.ru

Перышкин А.В., Гутник Е.М. Физика. 9 класс. – М.: Дрофа, 2013.

Гулиа Н.В. Удивительная физика. – М.: НЦ ЭНАС, 2005.

Яворский Б.М., Селезнев Ю.А. Физика. Справочное руководство для поступающих в вузы. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

Кухлинг Х. Справочник по физике. – М.: Мир, 1985.

Сборник задач по физике под редакцией Козела С.М. – М.: Просвещение, 1999.

Гольдфарб Н.И. Физика. Задачник 9-11 классы. – М.: Дрофа, 2010.

Задачи по физике. Под ред. Савченко О.Я. – М.: Наука, 1988.

Касаткина И.Л. Репетитор по физике. Механика. Молекулярная физика. Термодинамика. Под ред. Т.В. Шкиль. – Ростов н/Д.: «Феникс», 2014.

Енохович А.С. Краткий справочник по физике. – М.: Высшая школа, 1976.

Кошкин Н.И., Ширкевич М.Г. Справочник по элементарной физике. – М.: Наука, 1980.

Гельфгат И.М., Генденштейн Л.Э., Кирик Л.А. 1001 задача по физике с решениями. – Харьков.: ИМП «Рубикон», 1997.

Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н.Физика: учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2007.

Кашина С.И., Сезонов Ю.И. Сборник задач по физике. – М.: Высшая школа, 1983.

Меледин Г.В. Физика в задачах: экзаменационные задачи с решениями. – М.: Наука, 1985.