Наибольшее и наименьшее значение функции

Зав. учебной частью

Чернецкая Г.В.________

План урока

Учебная дисциплина: математика

Преподаватель: Каралупова В.Б.

Профессия: автомеханик

Группа 27

Тема программы: Начала математического анализа

Тема урока: Наибольшее и наименьшее значение функции

Дата: 08.02.2017

Тип урока: комбинированный

Цели урока:

Образовательные:  рассмотреть применение метода поиска наибольших и наименьших значений функции к решению разнообразных прикладных задач, познакомить с алгоритмом нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке; закрепление полученных знаний в процессе решения задач.

Развивающие: развивать гибкость мышления, творческое отношение к изучаемому предмету, формировать независимость математического мышления в ходе решения задач.

Воспитательные: на примере решения прикладных задач с простейшими жизненными ситуациями показать применение методов математического моделирования, поддержать этим интерес к предмету.

Оборудование: мультимедийная система, презентация, модели коробок, рейтинговая карта студента

Методы: фронтальный опрос, практический, индуктивный, проблемно-поисковый .

Мониторинг качества знаний программного материала- самостоятельная работа

Презентация к уроку "Наибольшее и наименьшее значение функц"
PPTX / 11.2 Мб

 

Ход урока:

1.Организационный момент.

Приветствие студентов. Проверка присутствующих.

 

2.Постановка цели и задачи урока ( слайд 2,3, приложение 1)

Сообщение темы занятия и плана работы, конкретизация задач и создание мотивации учебной деятельности. Прием – повествовательное изложение, форма – рассказ-вступление. Для быстрого включения студентов в работу на экран выводится слайд, содержащий информацию о плане урока, его целях и задачах.

 

3.Проверка домашнего задания (слайд 4)

Какие точки мы называли точками максимума?

Какие точки мы называли точками минимума?

Как мы называли точки максимума и минимума?

Назовите значение функции в точках экстремума и на концах отрезка

 

4. Повторение и анализ основных фактов.

Игра «Дешифратор» (слайд 5, приложение 2)

 

5.Сообщение студента (слайд 6,7, приложение 3)

 

6. Решение практических задач

Задача1. (слайд 8,9,10)

Одна сторона прямоугольного участка земли примыкает к берегу моря, а три другие огораживаются ремнем, длина которого 600м. Каковы должны быть стороны этого участка, чтобы его площадь была наибольшей?

Решение. Пусть одна сторона прямоугольника равна х м, тогда другая сторона равна (600 – 2х)м. Площадь прямоугольника будет функцией от переменной х: у = х(600 – 2х) = 600х – 2х2, область определения которой (0; 300).

Найдем наибольшее значение этой функции на промежутке (0; 300).
Производная этой функции у' = 600 – 4х. 
Критическая точка найдется из уравнения 600 – 4х = 0 х = 150.
Исследуем знак производной на каждом интервале

(0; 150) у' > 0
(150; 300) у' < 0

Так как при переходе через точку х = 150 производная меняет знак с плюса на минус, то при х = 150 функция имеет максимум. Значит, наибольшую площадь имеет прямоугольник со сторонами 150 м и 300 м.
Найдем площадь огороженного участка земли S = 45000 м2.

Мы решили задачу Дидоны, считая, что участок имеет форму прямоугольника. Решение подобных задач, если форма границы – кривая линия вызвало к жизни новый важный раздел математики – вариационное исчисление, в котором основным понятием является не функция, а функционал. В настоящее время этот раздел плодотворно используется во многих областях математики, физики, техники, экономики.

Задача 2. (слайд 11,12,13)

Фрагмент рассказа Л.Н. Толстого «Много ли человеку земли нужно» о крестьянине Пахоме, покупавшем землю у башкир.

- А цена какая будет? – говорит Пахом.

- Цена у нас одна: 1000 рублей за день.

Не понял Пахом.

- Какая же это мера – день? Сколько в ней десятин будет?

- Мы этого, – говорит, - не умеем считать. А мы за день продаем; сколько обойдешь за день , то твое, а цена 1000 рублей.

Удивился Пахом.

- Да ведь это, - говорит, - в день обойти земли много будет.

Засмеялся старшина.

- Вся твоя, - говорит. – Только один уговор: если назад не придешь в день к тому месту, с какого возьмешься, пропали твои деньги.

Фигура, которая получилась у Пахома, изображена на рисунке( на экране).

Обежал он за день, например, прямоугольную трапецию периметром 40 км. С площадью S = 78 км².

Проверим, наибольшую ли площадь при этом получил бы Пахом (с учетом того, что участки обычно имеют форму прямоугольника)?

Р = 40 км. a – первая сторона, 20 – а – вторая сторона.

S = а (20 - а) = - а² + 20 а.

S´ = - 2а + 20 = 0, а = 10.

S´´ = - 2 < 0

Следовательно, наибольший четырехугольник – квадрат, т.е. наибольшая площадь – 100 м².

Можно сделать вывод, что пахом вполне мог получить земли больше с меньшими усилиями.

7.Оптимизация полученных знаний (слайд 14,17)

1. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

Ребята, каким должен быть наш первый шаг? В каких точках на отрезке функция может принимать наибольшее или наименьшее значение?

Ответ: в критических точках, стационарных или на концах отрезка.

Давайте запишем алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на [ a; b]:

-найти производную функции;

-решить уравнение  и найти критические точки;

-выяснить, принадлежат ли полученные критические точки данному отрезку;

-найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих отрезку;

-сравнивая полученные значения функции, определить наибольшее и наименьшее значения функции.

2. Итак, ребята, мы записали алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции, а теперь давайте рассмотрим применение алгоритма на конкретной задаче.

8.Применение знаний при решении примеров и задач.( слайд 15, 16)

Решение задачи

Выполнить самостоятельно задание.

Окно имеет форму прямоугольника, периметр которого равен 8 м. Каковы должны быть размеры окна, чтобы оно пропускало наибольшее количество света?

9.решение практической задачи(слайд 18,19)

а) по имеющейся развертке сложить коробку в форме параллелепипеда -2 студента, сравнить визуально объемы получившихся фигур и решить задачу на вычисление объемов по размерам фигуры

б) решить задачу с помощью математической модели

10.Решение экзаменационных задач(слайд 20)

11. Домашнее задание. Подведение итогов (слайд 21, 22)

 

Приложение 1

Рейтинговая карта студента 27 группы_________________________

 

Итоговый балл:

Критерий оценок: «3»-13-21

«4»-21-32

«5»-33-49

Итоговая оценка:
 

Приложение 2

«Дешифратор»

 

 

Приложение 3

Сообщение студента

Уже в глубокой древности возникали ситуации, когда требовалось решать задачи на экстремум. Одна из первых, дошедших до нас, задач подобного рода связана с легендой об основании города Карфагена. Как повествует в «Энеиде» римский поэт Вергилий, давным-давно финикийская царевна Дидона с небольшим отрядом преданных ей людей покинула родной город Тир, спасаясь от преследований своего брата тирана Пигмалиона. Ее корабли отправились на запад по Средиземному морю и плыли, пока Дидона не облюбовала удобное для поселения место на африканском побережье, в нынешнем Тунисском заливе.

Высадившиеся финикийцы были встречены не очень гостеприимно местными жителями, нумидийцами. Король нубидийцев Ярб воинственно и презрительно разговаривал с непрошеной гостьей. Он принял драгоценности, предложенные Дидоной для покупки земли, но решительно заявил, что взамен он согласен уступить ей лишь клочок земли, «который можно окружить бычьей шкурой». Царевна безропотно согласилась. Ярб понял хитрость и коварство финикиянки слишком поздно: Дидона приказала разрезать шкуру на очень тонкие ремни и сшить их. Получив, таким образом, тонкий, но очень длинный ремень, она отгородила им от берега значительную территорию. Простодушный, но честный Ярб не стал отказываться от данного слова. А Дидона на этом месте основала город Карфаген. В память об этой истории карфагенская крепость была названа «Бирса», что на языке обитателей Карфагена означает «бычья шкура».