Наибольшее и наименьшее значение функции
Наибольшее и наименьшее значение функции Преподаватель математики Каралупова В.Б. КГБ ПОУ «АТК» П.Ярославский 2017г.
Через математические знания лежит широкая дорога к огромным, почти необозримым областям труда и открытий. Маркушевич А.И.
° вывести алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений функции. ° решать задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функции. Цели урока:
ХMAX=1, ХMIN=-1 ХMAX=0, ХMIN=-1 XMIN=1 У(1)=2, У(-1)=-2 Y(0)=-3 Y(-1)=-4 Y(1)=-4 У(2)=-2, У(-2)=2 Y(-2)=5 Y(2)=5 НАИБОЛЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ НАИБОЛЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ Y(1)=Y(-2)=2 Y(-2)=Y(2)=5 НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ Y(2)=Y(-1)=-2 Y(-1)=Y(1)=-4
1 У=2х3 У'=6Х2(К) У'=6Х (У) У'=12Х2(П) 2 У=3х2+1 У'= 6Х+1(Б) У'=3Х (О) У'= 6Х (А) 3 У=2sinx У'=COSX(Л) У'= 2СOSX(Р) У'= -2COSX (С) 4 У=х3/3 У'= Х2(Ф) У'= Х2/3(Х) У'= 3Х2(Ч) 5 У=1+х У'= 1+Х (И) У'=0 (М) У'= 1(А) 6 У=cosx+2 У'=COSX (Д) У'= -SINX+2 (В) У'= -SINX (Г) 7 У=ех У'=1(Э) У'= ех (Е) У'= 0 (Т) 8 У=√х У'= 2√Х (З) У'= 1/2√Х (Н) У'= -1/2√Х (Ш) «Дешифратор»
1 2 3 4 5 6 7 8 К А Р Ф А Г Е Н
Вопрос: какую наибольшую площадь земли могли купить финикийцы?
Задача. Одна сторона прямоугольного участка земли примыкает к берегу моря, а три другие огораживаются ремнем, длина которого 600м. Каковы должны быть стороны этого участка, чтобы его площадь была наибольшей?
A B C D AC+CD+DB=L x x L - 2x Переведём задачу на язык математики. S = x(L-2x)
РЕШЕНИЕ: ЗАДАДИМ ФУНКЦИЮ S(X)=X*(600-2X)=600X-2X² НАЙДЕМ ПРОИЗВОДНУЮ S‘(X)=600-4X НАЙДЕМ СТАЦИОНАРНЫЕ ТОЧКИ S’(X)=0 600-4X=0 -4X=-600 X=150 НАЙДЕМ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ ПРИ Х=150 S(150)=150*(600-2*150)=4500 (м²)
«Много ли человеку земли нужно» Фрагмент рассказа Л.Н. Толстого «Много ли человеку земли нужно» о крестьянине Пахоме, покупавшем землю у башкир. - А цена какая будет? – говорит Пахом. - Цена у нас одна: 1000 рублей за день. Не понял Пахом. - Какая же это мера – день? Сколько в ней десятин будет? - Мы этого, – говорит, - не умеем считать. А мы за день продаем; сколько обойдешь за день , то твое, а цена 1000 рублей. Удивился Пахом. - Да ведь это, - говорит, - в день обойти земли много будет. Засмеялся старшина. - Вся твоя, - говорит. – Только один уговор: если назад не придешь в день к тому месту, с какого возьмешься, пропали твои деньги.
Фигура, которая получилась у Пахома, изображена на рисунке Р=40 км S=(a+b)/2*h S=(2+10)/2*13=78 (км²) Проверим, наибольшую ли площадь при этом получил бы Пахом (с учетом того, что участки обычно имеют форму прямоугольника)?
Составим математическую модель: a – первая сторона, 20 – а – вторая сторона S = а (20 - а) = - а² + 20 а. S´ = - 2а + 20 = 0, а = 10. S=10*(20-10)=100 (км²) Р = 40 км. наибольший четырехугольник – квадрат, т.е. наибольшая площадь – 100 м².
Выводы 1.Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нем и своего наибольшего, и своего наименьшего значений. 2.Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него. 3.Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке. 1.Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нем и своего наибольшего, и своего наименьшего значений. 2.Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него. 3.Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке. Выводы
Для стоянки машин выделили площадку прямоугольной формы, примыкающую одной стороной к стене здания. Площадку обнесли с трех сторон металлической сеткой длиной 200 м, и площадь ее при этом оказалась наибольшей. Каковы размеры площадки? Для стоянки машин выделили площадку прямоугольной формы, примыкающую одной стороной к стене здания. Площадку обнесли с трех сторон металлической сеткой длиной 200 м, и площадь ее при этом оказалась наибольшей. Каковы размеры площадки? L=200 м а-длина стороны ограждения; в-другая сторона S=а*в- площадь прямоугольника в-?
Окно имеет форму прямоугольника, периметр которого равен 8 м. Каковы должны быть размеры окна, чтобы оно пропускало наибольшее количество света? Р=8 м а-? в-?
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции
Из прямоугольного листа жести размером 25 х 40 см надо изготовить открытую коробку наибольшего объема.
Решение. Обозначим сторону вырезаемых по углам квадратов через х. Дном коробки является прямоугольник, стороны которого равны а = 25 – 2х и в = 40 – 2х. Высота коробки равна х. V = (25 – 2х)(40 – 2х)х, т.е. является функцией от переменной х. у = (25 – 2х)(40 – 2х)х = 4х3 – 130х2 + 1000х ОДЗ: (0; 12,5). Найдем экстремумы этой функции. у' = (4х3 – 130х2 + 1000х)' = 12х2 – 260х + 1000 12х2 – 260х + 1000 = 0 Критические точки функции х=162/3 – не входит в область определения функции. Х2 = 5 V(5) = 2250см3.
Решение экзаменационных заданий: на отрезке [-2;1] на отрезке [-2;2] на отрезке [1/2;2]
Задание 1 Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х³ - 3х² - 45х + 1 на [-4; 6] без построения графика. Задание 2 Рекламный щит имеет форму прямоугольника S = 9 м². Изготовьте щит в виде прямоугольника с наименьшим периметром. Домашнее задание:
