Обучающие карточки по теме «Уравнения с одной переменной» (Алгебра, 7-8 класс)

ДЕПАРТАМЕНТ ТРУДА И СОЦИАЛЬНОЙ ЗАЩИТЫ НАСЕЛЕНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

УПРАВЛЕНИЕ СОЦИАЛЬНОЙ ЗАЩИТЫ НАСЕЛЕНИЯ

ТРОИЦКОГО И НОВОМОСКОВСКОГО АДМИНИСТРАТИВНЫХ ОКРУГОВ ГОРОДА МОСКВЫ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГОРОДА МОСКВЫ

ТРОИЦКИЙ РЕАБИЛИТАЦИОННО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР «СОЛНЫШКО»

ул. Пушковых, д. 5, город Троицк, Москва, 108840

Телефон/Факс: 8-495-851-13-05, 8-495-851-50-03 e-mail:cenreab@dszn.ru

 

Обучающие карточки по теме:

"Уравнения с одной переменной"

учителя математики

Ириневич Е.М.

г.Москва, г.Троицк

2018 год

Уравнения с одной переменной

Пояснительная записка

Обучающиеся карточки, в количестве 80 (30 + 50), для учащихся 7 – 8 классов по алгебре содержат тренировочные упражнения, позволяющие научить обучающихся решать линейные уравнения, уравнения, сводящиеся к линейным, а также квадратные уравнения. При решении линейных уравнений вида ах=в следует обратить внимание на то, что если а не равно 0, то уравнение ах=в называется уравнением первой степени с одной переменной и имеет один корень, а линейное уравнение может не иметь корней, иметь один корень или бесконечно много.

Представлено также достаточно количество квадратных уравнений. При решении квадратного уравнения по формуле обычно сначала вычисляют дискриминант и сравнивают его с нулём. После этого в зависимости от результата либо находят корни по формуле, либо делают вывод об отсутствии корней. Следует обратить внимание на то, что первый коэффициент не может равняться нулю. Если хотя бы один из коэффициентов в или с равен нулю, то квадратное уравнение называют неполным.

Обучающиеся должны различать три вида неполных квадратных уравнений:

Уравнение вида =0 всегда имеет только один корень х=0.

Уравнение вида а+вх=0 всегда имеет два корня, причём один из корней равен 0.

Уравнение вида +с=0 либо не имеет корней, либо имеет два корня, которые являются противоположными числами.

С помощью квадратных уравнений можно упростить решении многих задач.

Инструкция по использованию карточек

Данные карточки могут быть использованы учителем на любом этапе урока в зависимости от целей и задач. Количество времени, отведённое на работу с карточками, также зависит от того, на каком этапе они используются, а также от типа школы и контингента учащихся. Так, в коррекционных классах на отработку заданий потребуется значительно больше времени, чем в классе, где более успешные дети. В каждой карточке чётное количество заданий, что позволит использовать их как по вариантам, так и для одного варианта. Сами задания расположены по нарастающей сложности. Так, например, задания под № 1, 2 несложные, их учащиеся в основном умеют решать, они предназначены для повторения. Задания № 3 - № 12 более сложные, поскольку требуется его сначала упростить: раскрыть скобки, привести подобные слагаемые, выполнить действия с отрицательными числами, с обыкновенными и десятичными дробями. В результате таких преобразований получается уравнение, равносильное данному; его корни являются также корнями данного уравнения. В заданиях № 13, 26, 30 представлены уравнения с параметрами. Задания на составление уравнений даны в №14 и в

№ 15. Некоторые уравнения решаются разложением на множители. Всего уравнений 30.

Дано 50 задач на решение уравнений.

Ориентировочное время на работу с карточками 10 – 15 мин.

 

Линейные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним.

№ 1. Решите уравнение:

а) х + 12 = 67; г) 15 - у = 8;

б) z + 35 = 87; д) 83 – а = 43;

в) y – 93 = 18: е) m + 23 = 92.

№ 2. Найдите корень уравнения:

а) 5х = 60; г) 6у = -18;

б) 9у = 72; д) -2х = 10;

в) 10 z = 15; е) 11у = 0.

№ 3. Решите уравнение:

а) 4х + х = 70; г) 8х – 7х + 8 =12;

б) 4 * 25 * х = 800; д) у * 5 * 20 = 500;

в) 13у + 15у – 24 = 60; е) 6z + 5z – 44 =0.

№ 4. Решите уравнение:

а) 55 : х + 9 =20; г) 48 : (9в – в) =2;

б) 88 : х – 24 = 64; д) (у + 6) – 2 = 15;

в) р * 38 – 76 = 38; е) 2 (а – 5) = 24.

№ 5. Найдите корень уравнения:

а) (х + 15) – 8 = 17; г) 32 – х = 32 + х;

б) (у – 35) + 12 = 32; д) х – 35 – 64 = 16;

в) 55 – (х – 15) = 30; е) 28 – у +35 = 53.

№ 6. Найдите корень уравнения:

а) 35х = 175; г) 2* (х – 5) =36;

б) m : 35 = 18; д) (у + 25) : 8 =16;

в) (n -12) * 8 = 56; е) 24 * (z + 9) = 288.

№ 7. Решите уравнение:

а) 2–3(х+2) = 5–2х; г) 0,4х = 0,4-2(х+2);

б) 0,2 – 2(х+1) = 0,4х; д) 5(2+1,5х)-0,5х=24;

в) 3-5(х+1) = 6-4х; е) 3(0,5х-4)+8,5х=18.

№8. Решите уравнение:

а) 4х - 5,5 = 5х - 3(2х-1,5);

б) 4 – 5(3х + 2,5) = 3х + 9,5;

в) 0,4(6х – 7) = 0,5(3х + 7).

№ 9. Решите уравнение:

а) + = ; г) + = ;

б) - = - 3; д) + = 5;

в) - = -1; е) + = 4.

№ 10. Решите уравнение:

а) = ; г) – 2 = ;

б) = ; д) - = 2;

в) = ; е) - = 3.

№ 11. Решите уравнение:

а) = 5; г) + 2 = ;

б) = 5; д) + = 4.

в) (4х+2)=2х -1; е) 2х-12= (3х + 2).

№ 12. Решите уравнение:

а) х = 1 ; г) х - = ;

б) = 5 ; д) (х+5) = 0,2 (3х-1);

в) 7 – х = 3 ; е) х+11= 1 - х.

№ 13. Решите уравнение относительно х:

а) х - а = 2; г) 3х + m = 0;

б) 1 - х = с+2; д) 2х – а = в + х;

в) х + в = 0: е) 4х + а = х + с.
 

№ 14. При каком значении переменной:

а) значение выражения 3у + 4 равно значению выражения 3 – 2у;

б) значения выражений 4х – 5 и 14 + 5х противоположны?

№ 15. Найдите значение переменной, при котором:

а) значение выражения 7 + 5х в 2 раза больше значения выражения 3х;

б) значение выражения 8х + 3 на 10 больше значения выражения 4 – 2х;

в) Значение выражения 2х – 4 в 3 раза меньше значения выражения 2х;

г) значение выражения 15 – 3х на 2 меньше значения выражения 2х + 3.

Квадратные уравнения

№ 16. Какое из данных уравнений квадратное:

а) = + 2; г) 2х(х+5) = 7;

б) - + 5х + 8= 0; д) 2 – 3х = 0;

в) 5 = 4 – 3х; е) з + = 0 ?

№ 17. Для каждого уравнения укажите коэффициенты а, в, с:

а) - = 0; г) 2 + х + = 0;

б) 2 - 5х + 10 = 0; д) 2х – 7 = ;

в) 0,5 - х –3 = 0; е) 4 - 3 = 11х.

№ 18. Вычислив дискриминант, определите, имеет ли уравнение корни, и если имеет, то найдите их:

а) + 7х - ; г) 5- = 0; б) 9 + 12у + 4 = 0; д) – у + 3 = 0; + х + 6 = 0; е) 4 – 4х + 1= 0.

№ 19. Решите уравнение:

а) + 3х + ; г) + = 0; б) 4 - 11у - 3 = 0; д) – у + 20 = 0; + 7х + 2 = 0; е) -7 + 5х + 2= 0.

№ 20. Вычислите дискриминант уравнения и ответьте на следующие вопросы:

Имеет ли уравнение корни?

Если имеет, то сколько?

Рациональными или иррациональными числами являются корни?

а) + 3х - ; г) - = 0; б) 5 - у + 2 = 0; д) – 11у + 10 = 0; + 7х - 1 = 0; е) 3 + 2х - 2= 0.

№ 21. Найдите корни уравнения:

а) - 10х(х-3) - ; б)) = 0; в) 3 + 8(1 - у) = 0; г) 2 – 3у(у+5) - 9(у+5) = 0;

№ 22. Определите, сколько корней имеет уравнение:

а) (4(

б) ((

а) (3(

б) ((

Неполные квадратные уравнения

№ 23. Решите уравнения:

а) ; г)

б) = 0; д) – 6у = 0;

= 0; е) - 2х = 0.

№ 24. Найдите корни уравнения:

а) - 36 ; г) 25 - 81 = 0; б) - 25 = 0; д) = 0;

= 0; е) 1- 9= 0.

№ 25. Найдите корни уравнения:

а) - х ; г) + = 0; б) + 4= 0; д) + 2 = 0; - х = 0; е) 18 + 2х = 0.

№ 26. Имеет ли решение неполное квадратное уравнение + с , если:

а) а > 0, с > 0; а) а < 0, с > 0;

а) а > 0, с < 0; а) а < 0, с < 0 ?

Теорема Виета

№ 27. Определите знаки корней уравнения (если они есть), не решая уравнения:

а) - 4х + ; г) - 10 = 0; б) - 6у + 8 = 0; д) + 10у + 21 = 0; - 15х + 44 = 0; е) - 8х – 48 = 0.

№ 28. Решите устно уравнение:

а) - 3х + ; г) -5 = 0; б) + 5у + 6 = 0; д) + у - 20 = 0; + 5х - 14 = 0; е) - 2х – 15 = 0.

№ 29. Проверьте, являются ли данные числа корнями уравнения:

а) - 8х + , 1 и 7;

г) + 10 = 0;

б) - 6у + 8 = 0; д) + 10у + 21 = 0 - 15х + 44 = 0; е) - 8х – 48 = 0.

№ 30.

а) Один из корней уравнения +14х + равен 7. Найдите второй корень и число с.

б) Один из корней уравнения +рх+ равен . Найдите второй корень и коэффициент р.

в) Разность корней уравнения + 6х + q равна 8. Найдите его корни и число q.

г) Разность корней уравнения +3х + с равна 2,5. Найдите число с.

Решение задач с помощью уравнений.

Ученик задумал число. Если из него вычесть 7 и результат разделить на 3, то получится 5. Какое число задумал ученик?

Я задумал число. Если умножить его на 5, а произведение уменьшить на 18, получим половину задуманного числа. Найдите это число.

Сумма двух чисел равна 13,6, а разность 1,6. Найдите эти числа.

Сумма двух чисел равна 105, их отношение 1:2. Найдите эти числа.

Найдите число, половина которого больше его трети на 0,5.

Отец в 5 раз старше сына, а сын на 32 года моложе отца. Сколько лет каждому из них?

Поле площадью 430 га разделено на две части так, что одна из них на 130 га больше другой. Найдите площадь каждой части.

Верёвку длиной 84 м разрезали на две части, одна из которых в 3 раза длиннее другой. Найдите длину каждой части.

Верёвку длиной 25 м разрезали на две части, одна из которых на 50% длиннее другой. Найдите длины этих частей верёвки.

10.Периметр прямоугольника равен 118 см, одна его сторона на 12 см длиннее другой. Найдите длины сторон прямоугольника.

11. Три тракториста вспахали вместе 72 га. Первый вспахал на 6 га больше второго, а второй – на 9 га больше третьего. Сколько гектаров вспахал каждый тракторист?

12. В трёх классах всего 79 учеников. Во втором на 3 ученика больше, чем в первом, а второй – на 9 га больше третьего. Сколько учеников в каждом классе?

13. Отцу 40 лет, а сыну 10. Через сколько лет отец будет в три раза старше сына?

14. В трёх корзинах 54 кг яблок. В первой корзине на 12 кг меньше, чем во второй, а в третьей – вдвое больше, чем в первой. Сколько килограммов яблок в каждой корзине?

15. Скорость катера в стоячей воде 20 км/ч. Скорость течения реки 2 км/ч. Найдите расстояние между двумя пристанями, если рейс туда и обратно катер совершает за 5 ч.

16. Катер в стоячей воде проходит 15 км за час, скорость течения реки 2 км/ч. Найдите расстояние между двумя пристанями, если в одном направлении катер проходит его на полчаса быстрее, чем в противоположном.

17. От станции до турбазы туристы шли со скоростью 4 км/ч, а обратно – со скоростью 5 км/ч и поэтому на тот же путь затратили времени на час меньше. Найдите расстояние от станции до турбазы.

18. Вертолёт пролетел расстояние между двумя городами при попутном ветре за 5,5ч, а при встречном – за 6 ч. Найдите расстояние между городами и собственную скорость вертолёта, если скорость ветра была 10 км/ч.

Решение задач составлением квадратных уравнений

19. Найдите два числа, сумма которых равна 61, а произведение 900.

20. Найдите два числа, разность которых равна 11, а произведение 312.

21. Найдите длину и ширину участка прямоугольной формы, если его площадь равна 800 а длина на 20 м длиннее ширины.

22. Периметр поля прямоугольной формы равен 6 км, а его площадь 200 га. Найдите длину и ширину поля.

23. Произведение двух последовательных чисел больше их суммы на 239. Найдите эти числа.

24. Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на 264. Найдите эти числа.

25. Найдите три последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 434.

26. Найдите обыкновенную дробь, числитель которой на 2 больше знаменателя и на 40 меньше квадрата знаменателя.

27. Знаменатель дроби на 3 больше числителя. Если к этой дроби прибавить обратную ей дробь, получится. Найдите дробь.

28. В кинотеатре было 320 мест. После того как число мест в каждом ряду увеличили на 4 и прибавили ещё один ряд, в зале стало 420 мест. Сколько стало рядов в кинотеатре?

29. Турист проплыл на моторной лодке вверх по реке 15 км, а обратно спустился плотом. Лодкой он плыл на 10 ч меньше, чем плотом. Найдите скорость течения реки, если скорость лодки в стоячей воде 12 км/ч.

30. На середине пути между А и В поезд задержали на 10 мин. Чтобы прибыть в пункт В по расписанию, пришлось начальную скорость поезда увеличить на 12 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда, если расстояние от А до В равно 120 км.

31. Мотоцикл ехал из одного города в другой 4 ч. Возвращаясь обратно, он первые 100 км ехал с той же скоростью, а затем уменьшил её на 10 км/ч и потому на обратный путь затратил на 30 минут больше. Найдите расстояние между городами.

32. Отец и сын прошли 480 м, причём отец сделал на 200 шагов меньше сына. Найдите длину шага каждого из них, если шаг отца длиннее шага сына на 20 см.

33. Два комбайна собрали пшеницу с поля за 4 дня. Если бы один из них собрал половину всей пшеницы, а другой – остальную, то вся пшеница была бы собрана за 9 дней. За сколько дней каждый комбайн отдельно мог бы собрать всю пшеницу с поля?

34. Бригада планировала засеять 200 га до определённого срока, но засевала ежедневно на 5 га больше, чем планировала, и потому закончила сев на 2 дня раньше намеченного срока. За сколько дней бригада закончила сев?

35. Два рабочих, из которых второй начинает работу на 1,5 дня позже первого, могут выполнить работу за 7 дней. За сколько дней каждый из них отдельно мог бы выполнить всю работу, если известно, что второй рабочий может выполнить её на 3 дня быстрее первого?

36. На каждую цветущую ветку вишни сели поровну двести пчёл. Если бы расцвело на 5 веток меньше, то на каждую село бы на две пчелы больше. Сколько веток расцвело на вишне и сколько пчёл было на каждой?

37. Несколько точек размещены на плоскости так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Если каждую из них соединить отрезками со всеми остальными данными точками, получится 153 отрезка. Сколько дано точек?

38. В шахматном турнире было сыграно 66 партий. Найдите количество участников турнира, если известно, что каждый участник сыграл с каждым по одной партии.

39. На первенстве района по футболу сыграно 56 матчей, причём каждая команда играла с каждой по два раза. Сколько команд участвовало в игре?

40. Фотография размером 12 х 18 см наклеена на лист так, что получилась рамка одинаковой ширины. Определите ширину рамки, если известно, что фотография вместе с рамкой занимает площадь 280

41. Круговой дорожкой длиной 2 км движутся в одном направлении два конькобежца, которые сходятся через каждые 20 минут. Найдите скорость каждого конькобежца, если первый из них пробегает окружность на 1 минуту быстрее второго.

42. К раствору, содержащему 40 г соли, добавили 200 г воды, после чего его концентрация уменьшилась на 10%. Сколько воды содержал раствор и какова была его концентрация?

43. Водонапорный бак наполняется двумя трубами за 2 ч 55мин. Первая труба может наполнить его на 2 ч быстрее второй. За какое время каждая труба отдельно может наполнить бак?

44. Периметр прямоугольника равен 26 см, а сумма площадей квадратов, построенных на двух смежных сторонах прямоугольника, равна 89 см. Найдите стороны этого прямоугольника.

45. Из двух кусков металла первый имел массу 880 г, а второй 858 г, причём объём первого куска на 10 меньше объёма второго. Найдите плотность каждого металла, если плотность первого на 1 г/ больше плотности второго.

46. Под аттракционы отвели площадку прямоугольной формы, одна из сторон которой на 4 м больше другой. Её площадь равна 165

47. Садовый участок прямоугольной формы площадью 600 обнесён забором, длина которого 100 м. Чему равны стороны участка? Чему равен 30 см. Найдите стороны участка такой же площади, если длина забора вокруг него составляет 140 м?

49. Один катет прямоугольного треугольника на 7 см больше другого, а периметр треугольника равен 30 см. Найдите все стороны треугольника.

50. Две дороги пересекаются под прямым углом. От перекрёстка одновременно отъехали два велосипедиста, один в южном направлении, а другой – в восточном. Скорость второго была на 4 км/ч больше скорости первого. Через час расстояние между ними оказалось равным 20 км. Определите скорость каждого велосипедиста.

 

Алгебра.7 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. Рос. акад. образования, изд-во «Просвещение».

Алгебра.8 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. Рос. акад. образования, изд-во «Просвещение».

Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. 9 класс. Л.В. Кузнецова, Е.А. Бунимович и др. М. :Дрофа