Перекладывание площадей фигур

Тема: «Перекладывание площадей фигур».

Цель: изучить теорему о равных площадях треугольников и рассмотреть задачи с ее применением.

Задачи:

Образовательные:

Познакомить обучающихся с теоремой о равенстве площадей треугольников.

Закрепить знание в ходе решения задач на перекладывание площадей треугольников.

Развивающие:

Развивать логическое мышление. Умение строить алгоритм действий, аргументировать принятое решение.

Воспитательные:

Воспитывать усидчивость.

 

Ход  занятия.

Что мы знаем о свойствах площади? (1. Площадь фигуры положительна; 2. Площади равных фигур равны; 3. Если разрезать фигуру на части, то сумма площадей полученных частей равна площади фигуры)

Рассмотрим отрезок АВ и прямую линию ему параллельную а, тогда если взять на прямой а точку С, то площадь треугольника АВС не зависит от положения точки С на прямой и остается постоянной для данной прямой и отрезка.

Другими словами рассмотрим произвольный треугольник такой, что одна его сторона совпадает с данным отрезком, а противолежащая вершина лежит на данной прямой. Тогда площади всех таких треугольников равны. И площадь треугольника равна половине площади прямоугольника построенного так, что сторона треугольника и прямоугольника совпадает. А противоположная сторона прямоугольника лежит на параллельной линии.

Док-во

1. Для остроугольного треугольника АВС.

Опустим перпендикуляры из точек А,В и С. Получим 2 прямоугольника. Площади которых равны S1+S2 и S3+S4. Мы знаем, что диагональ прямоугольника делит его на две равные части. Тогда S1=S2 и S3=S4. Площадь треугольника АВС=S2+S3 =1/2*Sпрямоугольника . То есть площадь треугольника равна половине площади прямоугольника построенном на его стороне, до прямой проходящей через третью вершину , параллельно противоположной стороне треугольника.

2. Тупоугольный треугольник

Рассуждения похожие, достроим треугольник до прямоугольника, и рассмотрим площади фигур.

SACB =1/2*S AMCH - SBCH . В то же время SBCH=1/2*SBNCH. Если мы удвоим площади, то получим, что 2 площади искомого треугольника равны разности площадей прямоугольников AMCH и BNCH, то есть площади прямоугольника AMNB. Поделим пополам, что бы найти площадь искомого треугольника. Что и требовалось доказать.

Следовательно: медиана треугольника делит его площадь пополам.

Решим задачи:

1.Задача. Внутри параллелограмма отмечена произвольная точка. Тогда сумма площадей серых треугольников равна половине площади параллелограмма.

Решение

Проведем через данную точку прямую параллельную стороне.

Перемещая произвольную точку вниз по построенной прямой до тех пор, пока она не достигнет боковую сторону. Тогда площади серых треугольников будут равны половине соответствующих параллелограммов, в которых они лежат. А площадь большого параллелограмма равна сумме площадей маленьких параллелограммов (на которые он разрезан). Тогда сумма площадей серых треугольников равна половине площади параллелограмма.

Задачи для самостоятельного решения:

Задача 2. Площадь серого треугольника равна 1.

Найдите площадь треугольника ABC.

Ответ: 3 (три равных отрезка и общая точка А. Площадь каждого из треугольников равны 1, а большой треугольник состоит из 3 треугольников, сложим их площади).

Задача 3. Площадь серого треугольника равна 1. Найдите площадь треугольника ABC.

Ответ: 9

Задача 4. В пятиугольнике ABCDE стороны BC  и CD параллельны диагоналям AD  и BE  соответственно. Выберите пару треугольников с равными площадями.

△ABE

△ACD

△ABC

△CBE

△CDE

Ответ: 3 и 5 (△ABC. точку А перемещаем в т.D. △DBC имеет такую же площадь как и △ABC. Теперь точку В перемешаем по параллельной прямой в точку Е. Получаем что площади △CDE и △DBC равны, значит равны и площади △ABC)

Задача 5. Четыре квадрата расположены, как показано на рисунке. Известно, что площадь самых маленьких квадратов равна 20. Найдите площадь серого треугольника.

Решение

Выполним перемещение вершины треугольника по прямой параллельной его противоположенной стороне. Получим голубой треугольник с такой же площадью.

Теперь переместим т В по линии параллельной противоположной стороне голубого треугольника, площадь полученного зеленого треугольника равна площади серого.

Площадь среднего квадрата равна 80. Площадь серого треугольника равна половине площади этого квадрата, т.е. 40.

Ответ:40