Площадь многоугольника. Формула Пика

Асанова З.А

Площадь многоугольника.

Формула Пика

«Берем палец и считаем»

В.В.Вавилов

При решении задач на нахождение площади многоугольника на клетчатой бумаге необходимо воображение и знание основных геометрических свойств и формул. Существует множество способов решения задач на клетчатой бумаге. Если фигура состоит из целых квадратиков, это сделать довольно таки легко. Посчитать квадратики и всё! Сложнее задача, когда многоугольник имеет интересную форму и тогда его надо разбить на простые многоугольники. А если фигура не многоугольник , а например криволинейная трапеция ? Для решения таких задач существует достаточно простой способ с использованием формулы Пика. Ее могут использовать школьники и взрослые при решении реальных ситуаций; учителя, как при проведении уроков по математике, так и на факультативных курсах и дополнительных занятий на повторение.

Формула Пика. Решетки. Узлы

При решении задач на клетчатой бумаге необходимы понятия решетки и узла.

Клетчатая бумага (точнее — ее узлы), на которой мы часто предпочитаем рисовать и чертить, является одним из важнейших примеров точечной решетки на плоскости.

Рассмотрим на плоскости два семейства параллельных прямых, разбивающих плоскость на равные квадраты. Любой из этих квадратов называется фундаментальным квадратом или квадратом, порождающим решетку. Множество всех точек пересечения этих прямых называется точечной решеткой или просто решеткой, а сами точки – узлами решетки.

Рис.1.

Чтобы оценить площадь многоугольника на клетчатой бумаге, достаточно подсчитать, сколько клеток покрывает этот многоугольник (площадь клетки мы принимаем за единицу)

А также, площадь любого многоугольника, нарисованного на клетчатой бумаге, легко посчитать, представив её как сумму или разность площадей прямоугольных треугольников и прямоугольников, стороны которых идут по л иниям сетки, проходящим через вершины нарисованного треугольника. Чтобы вычислить площадь многоугольника, изображенного на рисунке, необходимо достроить его до прямоугольника ABCD, вычислить площадь прямоугольника ABCD, найти площадь заштрихованной фигуры как сумму площадей треугольников и прямоугольников её составляющих, вычесть её из площади прямоугольника. И хотя многоугольник и выглядит достаточно просто, для вычисления его площади нам придется потрудиться. А если бы многоугольник выглядел более причудливо, как на следующих рисунках?

Оказывается, площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах решетки, можно вычислять гораздо проще: есть формула, связывающая их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника.

Эта замечательная и простая формула называется формулой Пика:

S = В + - 1

где S– площадь многоугольника,

В – число узлов решетки, расположенных строго внутри многоугольника,

Г – число узлов решетки, расположенных на его границе, включая вершины.

Будем рассматривать только такие многоугольники, все вершины которых лежат в узлах решетки.

Нахождение площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге

Приведу несколько примеров из заданий ОГЭ на нахождение площадей многоугольников.

                       Геометрические задачи с практическим содержанием.

    Поможет нам формула Пика и для решения геометрических задач с практическим содержанием.

Задача 1. Найдите площадь лесного массива (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе 1 см – 200 м .

Решение. Найдём S площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика:

S = В + - 1

В = 8, Г = 7. S = 8 + 7/2 – 1 = 10,5 (см²)

1 см² - 200² м²; S = 40000 · 10,5 = 420 000 (м²)

Ответ: 420 000 м²

Задача 2. Найдите площадь поля (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе 1 см – 200 м.

Решение. Найдём S площадь четырёхугольника изображенного на клетчатой бумаге по формуле Пика: S = В + - 1

В = 7, Г = 4. S = 7 + 4/2 – 1 = 8 (см²)

1 см² - 200² м²; S = 40000 · 8 = 320 000 (м²)

Ответ: 320 000 м²

Задача 3. Вершины квадрата соединены с серединами его сторон, как показано на рис 5. Найдите площадь закрашенного восьмиугольника, если стороны квадрата равны 12.

Решение: По формуле Пика: S= В + Г /2 – 1. В = 21,

Г = 8, S = 21 + 8 / 2 – 1 = 24 (кв.ед.)

Ответ: 24 кв.ед.

Рассмотренные задания имеют различный уровень трудности – от простых до олимпиадных. Каждый может найти среди них задачи посильного уровня сложности, отталкиваясь от которых, можно будет переходить к решению более трудных. Такой способ нахождения площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге, можно использовать на ОГЭ для решения задач на ОГЭ и ЕГЭ.

Литература

Свободная энциклопедия Википедия, статья «Формула Пика», URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9F%D0%B8%D0%BA%D0%B0

Свободная энциклопедия Википедия, статья «Пик, Георг», URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8%D0%BA,_%D0%93%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B3

Научно-популярный физико-математический журнал «Квант», Н.Б.Васильев, статья «Вокруг формулы Пика», URL:http://kvant.ras.ru/1974/12/vokrug_formuly_pika.htm

Математика, которая мне нравится [электронный ресурс], статья «Георг Александр Пик (1859-1942)», URL: http://hijos.ru/2011/12/30/georg-aleksandr-pik-1859-1942/