Подготовка к ЕГЭ
(решение стереометрических задач)
Выполнила: Чурина Елена Вениаминовна, учитель первой квалификационной категории МБОУСОШ №1 г. Южи Ивановской области
Повторение
Две плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90°
Определение перпендикулярности плоскостей
Свойства перпендикулярных плоскостей
1.Если прямая лежит в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и перпендикулярна линии их пересечения, то эта прямая перпендикулярна другой плоскости.
2.Если две плоскости, перпендикулярные третьей плоскости, пересекаются, то прямая их пересечения перпендикулярна третьей плоскости.
3.Если прямая, проведённая через точку одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна другой плоскости, то она лежит в первой из них.
Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны
Признак перпендикулярности двух плоскостей.
Правильные пирамиды
Теорема Фалеса
Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных между собой отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.
Свойства правильного шестиугольника
Признаки подобия треугольников
Формулы для вычисления
площади треугольника
Задача
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания АВ равна 2, а боковое ребро SA равно 8. Точка М — середина ребра АВ. Плоскость α перпендикулярна плоскости ABC и содержит точки М и D. Прямая SC пересекает плоскость α в точке К.
а) Докажите, что КМ = KD.
б) Найдите объём пирамиды CDKM.
Дано:
SABCDEF-правильная пирамида, АВ=2,
SA=8, М. пл. альфа,
D пл. альфа,
пл. альфа (АВС)
SC⋂ пл. альфа –К
а) Д-ть, что МК=DК
б) V CDKM =?
Решение:
а)SO-высота пирамиды =>
SO (ABCDEF)(по опр.пр. пирамиды)
SO (SCF) =>
(SCF) (ABCDEF)(по признаку перпендикулярности плоскостей)
пл. альфа (АВС)
(SCF) ⋂ пл. альфа -КН =>
КН (ABCDEF) (по свойству перпендикулярности плоскостей) =>
КН МD =>КН-высота ▲ КМD
О- середина АD, FC ||АВ(по свойству правильного шестиугольника) =>Н-середина МD (по т. Фалеса) =>КН-медиана▲ КМD =>
▲ КМD -равнобедренный => МК=DК
б) V CDKM= 1/3*S ▲DСМ*КН
S ▲DСМ найдем по формуле Герона
DС=2,
МС по теореме косинусов найдем из ▲ВСМ
угол В-120, МВ=1, ВС-2
МС=
DМ по теореме косинусов найдем из ▲ АDМ, угол А-60, АD=2*R=2*2=4, АМ=1, DМ=
S ▲DСМ= 3 /2
ОС=АВ(по свойству правильного шестиугольника)
Найдем SO по теореме
Пифагора из▲ SOС SO =2
▲ SOС ~ ▲ КOС (по двум углам)
КН= SO*ОН/ОС
ОН=1/2АМ=1/2*1/2АВ=0,5
КН=3 /2
V CDKM =1/3*3 /2*3 /2=
9 /2
