Урок на тему «Показательные неравенства»

Тема урока. Показательные неравенства. (Урок формирования новых знаний.)

Цели урока.

Дидактические

Развивать вычислительные навыки при решении показательных уравнений и неравенств

Сформировать понятие показательного неравенства

Рассмотреть два способа решения показательных неравенств (уравнивание оснований и вынесение наименьшего множителя за скобки) и научиться их решать, пользуясь алгоритмом

проконтролировать степень усвоения материала по теме.

Развивающие:

способствовать развитию навыка самостоятельного применения знаний;

развивать навыки самоконтроля;

продолжить работу по развитию логического мышления и устной математической речи при поиске решения поставленной проблемы.

Воспитательные:

приучать к умению общаться и выслушивать других;

воспитывать внимательность и наблюдательность;

стимулировать мотивацию и интерес к изучению математики.

Оборудование: презентация, интерактивная доска, таблицы.

Ход урока:

Организационный момент. - 2 мин.

Актуализация опорных знаний. Повторение. – 12 мин.

Целеполагание. – 1 мин.

Восприятие, осмысливание и применение новых знаний. – 23 мин.

Анализ достижений и коррекция деятельности. – 5 мин.

Выставление оценок – 1 мин.

Рефлексия. - 1мин.

Домашнее задание. – 1 мин.

1. Организационный момент. (слайд 1)

– Мы не раз убеждались в том, что математика – это универсальный иностранный язык, на котором общаются все страны и все народы. Но для такого международного общения нужно знать математику. И эпиграфом нашего урока будут слова Альберта Эйнштейна: «Мне приходится делить своё время между политикой и решением уравнений и неравенств. Однако решение уравнений и неравенств, по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а уравнения и неравенства будут существовать вечно». Давайте продолжим изучение этого вечного универсального математического языка.

2. Актуализация опорных знаний. Повторение.

- Начнём с повторения.

1) тест с самопроверкой (слайд 2)

1. Какая из показательных функций возрастает?

А) Б)

В) Г)

2. График какой функции изображен на рисунке?

А) Б)

В) Г)

3. Решите уравнение 3х =27

А) 3 Б) 9 В) 4 Г) нет решений

4. Решите уравнение 7х = 0

А) 0 Б) 1 В) - 7 Г) нет решений

5. Решите уравнение

А) - 2 Б) 2 В) 3 Г) - 3

6. Решите уравнение 3х =5х

А) 2 Б) 0,5 В) 0 Г) нет решений

7. Решите уравнение

А) 3 Б) 1 В) -3 Г) - 1

8. Решите уравнение

А) Б) В) 1 Г) - 1

9. Решите уравнение 6(х-1)(х+2) = 1

А) -1; 2 Б) 1; - 2 В) 5; 8 Г) нет решений

Ответы: Г; В; А; Г; Б; В; А; А; Б. – самопроверка.

Критерии оценок: (работы сдаются учителю)

«5» - 9

«4» - 7 - 8

«3» - 5 – 6

«2» - 0 – 4

2) фронтальный опрос

1) – Как называются уравнения, которые вы решали в тесте? (Показательные)

2) – Какие уравнения называются показательными? (Уравнения, содержащие неизвестную в показателе степени)

3) – Дайте определение показательной функции. (Функция вида y = ax, где а>0, a≠1 называется показательной)

4) – Как аналитически определить, возрастает или убывает показательная функция? ( Если а>1, то возрастает, если 0<а<1, то убывает)

5) – Приведите примеры, где в жизни и на практике мы встречаемся с показательной функцией. (Уравнения органического роста, радиоактивный распад, ЛСД и т.д.)

3) задача проблемного характера (слайд 3)

- Давайте рассмотрим ещё один пример процесса, где используются знания о показательной функции.

Рост древесины происходит по закону: y = y0∙ at, где t – время, y0 – начальное количество древесины, y – изменяющееся со временем количество древесины, а = const ≈ 1,2.

За какое время t количество древесины y не превышает 1000 м3, если её начальное количество y0 25 м3.

- Как решается эта задача?

Отвлечёмся от биологического процесса органического роста и запишем задачу на языке математики.

1000 ≥ 25∙ (1,2)t

Чтобы вычислить множество значений t надо уметь решать показательные неравенства.

3. Целеполагание ( слайд 4)

- Сегодня на уроке мы рассмотрим 2 способа решения показательных неравенств, научимся их решать, пользуясь алгоритмом, чтобы потом применять их на практике.

Решить задачу мы сможем в конце урока.

4. Восприятие, осмысливание и применение новых знаний.

1) Определение показательного неравенства. (слайд 5-6)

- Попробуйте сами дать определение показательного неравенства. (запись в тетрадь)

Определение: Показательные неравенства – это неравенства, в которых неизвестная находится в показателе степени.

Слово «показательные» объяснили. А переведите на математический язык слово «неравенства»? (Алгебраические выражения, содержащие знаки >, < , ≥ , ≤ )

Определение:
Неравенство вида ах > ab ,где а>0, a≠1 называется простейшим показательным неравенством.

- Что значит решить неравенство? (найти множество его решений или установить, что их нет)

- Как решить простейшее показательное неравенство?

Рассмотрим график функции y=ax при a>1 и произвольное значение зтой функции аb, где b – любое действительное число.

- Каким свойством обладает данная функция? (возрастает).

- Тогда при каких значениях переменной х ax < ab (ниже)? (при х < b).

- А при каких ax > ab (выше)? (при х > b).

Таким образом, если показательная функция возрастает, то знак неравенства сохраняется.

(Аналогично рассмотреть при 0<а<1).

2) 1 способ: Уравнивание оснований (слайд 7)

- Именно на свойствах возрастания и убывания показательной функции основан первый способ решения показательных неравенств – уравнивание оснований (в тетрадь).

Неравенство аf(x) > ag(x), где а>0, a≠1 будет равносильно неравенству

при а>1 (y = ax возрастает) при 0<а<1 (y = ax убывает)

f(x)>g(x) f(x)<g(x)

(знак неравенства сохраняется) (знак неравенства изменяется на противоположный)

В тетрадь : при а>1, y = ax возрастает, то при 0<а<1, y = ax убывает, то

знак неравенства сохраняется знак неравенства изменяется

Практические задания: (стр.81) – выписать на доске

№ 228(1-4) – устно

1) 3х > 9; 2) ; 3) ; 4) 4х < .

№229 (1-3) – письменно у доски

1) - учитель; 2) - ученик; 3) - ученик.

№ 231 (2,3) - письменно у доски

2) - сильный учащийся; 3) - дополнительное задание.

3) 2 способ: Вынесение наименьшего множителя за скобки. (слайд 8)

- Данные показательные неравенства решаются по тому же алгоритму, что и показательные уравнения, но не забываем о знаке неравенства в зависимости от основания показательной функции.

№ 232 (1,3) письменно на доске

1) 3х+2+ 3х-1 < 28 – учитель; 3) 22х-1 + 22х-2 + 22х-3 ≥ 448 – ученик.

4) Дополнительные задания – на карточках.

5) Решение задачи (слайд 9)

- Теперь мы сможем решить задачу и вычислить время t.

1000 ≤ 25∙ (1,2)t | :25≠0

40 ≤ (1,2)t 40≈(1,2)20

(1,2)20 ≤ (1,2)t.

а = 1,2 > 1, то y = at возрастает

20 ≤ t , т.е. время не превышает 20 лет.

Математический более точный ответ можно записать с помощью логарифмов (t ≥ log1,240), изучением которых мы займёмся на последующих уроках.

5. Анализ достижений и коррекция деятельности. (слайд 10)

1) Разноуровневая самостоятельная работа (тетради собрать на проверку)

Решить неравенства:

1) 3х+1 > 9

2) ≤ 4

3) 5х-1 – 5х + 5х+1 ≥ 21

2) Вопрос на «засыпку»: Решите неравенства (устно) 2х-1 ≤ - 3 и 72х ≥ 0.

6. Выставление оценок

7. Рефлексия. (слайд 11)

- Довольны ли вы своей работой на уроке?

- Какой этап урока вам наиболее понравился?

- Где вам пришлось труднее всего?

Математику мы на слух воспринимать не можем, нам нужно обязательно увидеть, как решается задача или пример. А понимаем и усваиваем её только тогда, когда решаем задания сами. Поэтому попробуйте закончить предложение китайской мудрости:

«Я слышу - я забываю, я вижу - я запоминаю, я делаю - …(я усваиваю)».

8. Домашнее задание: индивидуальные задания на карточках.