Практическая работа по учебной дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» по теме «Равномерное распределение случайной величины»

Дисциплина – «Теория вероятностей и математическая статистика»

Курс -3

Практическая работа/  Тема: «Равномерное распределение. Решение задач»

1. Цель:
2. закрепление знаний о непрерывных случайных величинах,
3. формирование умений составлять функции распределения вероятностей и функции плотности вероятностей НСВ при равномерном распределении,
4. формирование умений вычислять числовые характеристики при равномерном распределении,
5. формирование ОК 2,3,4,6,7, ПК 1.1

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

ПК 1.1. Собирать данные для анализа использования и функционирования информационной системы, участвовать в составлении отчетной документации, принимать участие в разработке проектной документации на модификацию информационной системы

Теоретический материал

1. Плотность распределения равномерно распределенной величины
2. Функция распределения равномерно распределенной величины
3. Числовые характеристики равномерно распределенной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Во многих практических задачах приходится сталкиваться с определенными законами распределения непрерывных случайных величин. Часто встречаются законы равномерного, нормального, показательного распределения вероятностей.

На практике встречаются случайные величины, о которых заранее известно, что они могут принять какое-либо значение в строго определенных границах, причем в этих границах все значения случайной величины имеют одинаковую вероятность (обладают одной и той же плотностью вероятностей).

Например, при поломке часов остановившаяся минутная стрелка будет с одинаковой вероятностью (плотностью вероятности) показывать время, прошедшее от начала данного часа до поломки часов. Это время является случайной величиной, принимающей с одинаковой плотностью вероят­ности значения, которые не выходят за границы, определенные продолжительностью одного часа. К подобным случайным величинам относится также и погрешность округления. Про такие величины говорят, что они распределены равномерно, т. е. имеют равномерное распределение.

 Равномерное распределение.
Так называют распределение случайной величины, которая может принимать любые значения на отрезке[a,b], причем вероятность попадания ее в любой отрезок внутри [a,b] пропорциональна длине отрезка и не зависит от его положения, а вероятность значений вне [a,b] равна 0.

Рис.1 Функция и плотность равномерного распределения

Параметры распределения: a , b.

Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [а, в], если на этом отрезке плотность распределения вероятности случайной величины постоянна, т.е. если дифференциальная функция распределения f(х) имеет следующий вид:

Найдем значение постоянной с. Так как площадь, ограниченная кривой распределения и осью Ох, равна 1, то

откуда с=1/(b-a).

Случайная величина Х называется равномерно распределенной на отрезке [a, b], если ее плотность распределения вероятностей имеет вид:

.

График плотности распределения вероятностей равномерно распределенной случайной величины представлен на рис.2.

Рис. 2

         Примеры равномерно распределенных случайных величин.

         Пример. Автомобиль подъезжает к перекрестку, регулируемому светофором, в некоторый момент времени. На светофоре – красный сигнал. Полное время «горения» красного сигнала – 30 секунд. Время Т, в течение которого водителю автомобиля придется ждать зеленого сигнала светофора, представляет собой случайную величину, равномерно распределенную на отрезке [0, 30].

Шкала измерительного прибора проградуирована в некоторых единицах. Ошибку при округлении отсчета до ближайшего целого деления можно рассматривать как случайную величину, распределенную с постоянной плотностью между двумя соседними делениями.

Построим функцию распределения равномерно распределенной случайной величины.

Если х<а, 

=0.

При ахb , 

.

При х>b,

   =1.

Таким образом, .

График функции распределения F(x) равномерно распределенной случайной величины Х изображен на рис. 3.

Рис. 3

 Математическое ожидание равномерно распределенной случайной величины Х равно:

Дисперсия равномерно распределенной случайной величины:

Среднее квадратическое отклонение:

Найдем теперь вероятность попадания значения случайной величины, имеющей равномерное распределение, на интервал (a,b), принадлежащий целиком отрезку [a, b]: 

Геометрически эта вероятность представляет  собой  площадь заштрихованного прямоугольника. Числа а и b называются параметрами распределения и однозначно определяют равномерное распределение.

Связь числовых характеристики параметров равномерного распределения

Иногда это распределение называют законом равномерной плотности. Про величину, которая имеет равномерное распределение на некотором отрезке, будем говорить, что она распределена равномерно на этом отрезке.

Пример 1. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 минут. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке. Будет ожидать очередной автобус менее 3 минут.

Решение:

СВ - время ожидания автобуса имеет равномерное распределение. Тогда искомая вероятность будет равна: 

Пример 2. Ребро куба х измерено приближенно. Причем.

Рассматривая ребро куба как случайную величину, распределенную равномерно в интервале (a, b), найти математическое ожидание и дисперсию объема куба.

Решение:

Объем куба - случайная величина, определяемая выражением у=х3. Тогда математическое ожидание равно:

Дисперсия вычисляется по формуле: D[X] =  

  Дисперсия равна:

Пример 3.

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, равномерно распределенной на интервале (2;6).

Решение.

Математическое ожидание:

.

Дисперсия:

.

Среднее квадратическое отклонение:

Это распределение реализуется, например, в экспериментах, в которых наудачу ставится точка на интервале [a,b], при этом случайная величина X – абсцисса поставленной точки.

Вероятность попадания равномерно распределенной непрерывной случайной величины Х на интервале [a,b], определяется по формуле .

Примером равномерно распределенной непрерывной случайной величины Х является ошибка при округлении отсчета до ближайшего целого деления шкалы измерительного прибора, проградуированной в некоторых единицах.

Пример 4.

Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что ошибка отсчета: а) превысит значение 0,04; б) меньше 0,04.

Решение.

Ошибку округления отсчета можно рассматривать как случайную величину Х, которая распределена равномерно в интервале между двумя соседними делениями. Плотность равномерного распределения по формуле равна:

,

где (b – a) – длина интервала, в котором заключены возможные значения Х.

Вне этого интервала f (x) = 0. В рассматриваемой задаче длина интервала, в котором заключены возможные значения Х, равна 0,2. Поэтому плотность распределения вероятностей равна:

.

Тогда ошибка отсчета превысит значение 0,04, если она будет заключена в интервале (0,04; 0,2). По формуле вычисляется вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка превышающая значение 0,04:

.

Ошибка отсчета меньше 0,04 будет заключена в интервале (0; 0,04) с вероятностью:

.

Дисциплина – «Теория вероятностей 

и математическая статистика»

Курс -3

Задача 1.  Случайная величина подчинена закону равномерного распределения на интервале (2;5). Найти функцию распределения случайной величины Х и функцию плотности распределения вероятностей случайной величины Х. Постройте графики функции распределения и график плотности распределения случайной величины Х.

Задача 2.   Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, равномерно распределенной на интервале (3;7).

Задача 3.   Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,4. Показания прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что ошибка отсчета: а) превысит значение 0,08; б) меньше 0,08.

Задача 4.  Ребро куба х измерено приближенно, причем.

Рассматривая ребро куба как случайную величину, распределенную равномерно в интервале (a, b), найти математическое ожидание и дисперсию площади поверхности куба.

 Задача 5.  Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 10 минут. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус а) менее 4 минут; б) не менее 4 минут; в) математическое ожидание случайной величины Х – времени ожидания автобуса.

  Задача 6. Вычислить вероятность того, что при шести испытаниях менее четырех раз случайная величина Х – попадет в интервал  (0; 2,5), если случайная величина Х распределена по равномерному закону на отрезке [0;4].