Практическая тетрадь по теме «Касательная к графику функции»

ПРАКТИЧЕСКАЯ ТЕТРАДЬ

по теме «Касательная к графику функции»

Пояснительная записка:

Практическая тетрадь «Касательная к графику функции» предназначена в первую очередь для самоконтроля учащихся усвоения ЗУН по вышеуказанной теме. Учителя могут использовать данный материал при подготовке учащихся средней школы к итоговой аттестации по алгебре и началам анализа.

Тема: КАСАТЕЛЬНАЯ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

 

Пусть функция f дифференцируема в точке х0.Тогда существует касательная к графику функции f в точке (х0,у0),где у0= f(x0),уравнение которой имеет вид:

у=f(x0)+f '(x0)(x-x0).

Геометрический смысл производной

Значение производной состоит в том,что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

f'((x)== tgα

Механический смысл производной скорости движения.

Пусть точка движется по закону .

Тогда ; ,

где s - путь, пройденный точкой; V - скорость точки; а - ускорение точки.

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Пример 1. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке

Решение:

1) - уравнение искомой касательной;

2) ;

3) ;

4) ;

5) Подставляем значения , и в уравнение касательной: или ,

Пример 2. Составьте уравнение касательной к гиперболе в точке с абциссой

Решение:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

Пример 3. Тело движется прямолинейно по закону , где измеряется в метрах, время - в секундах. Найдите скорость движения тела в момент времени

Решение:

,

Пример 4. Тело движется прямолинейно по закону , где измеряется в метрах, время - в секундах. Найдите ускорение движения тела в момент времени

Решение:

Функция есть закон прямолинейного движения. Мгновенная скорость этого движения равна производной Мгновенная скорость есть функция от времени. Ускорение движения есть скорость изменения скорости, поэтому ускорение движения в момент времени равно производной . Таким образом, ускорение движения в момент времени равно: , т.е. равно производной от производной. Эту производную называют второй производной от функции и обозначают Поэтому ускорение движения равно второй производной

Итак, = ; ; ;

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

1. Составьте уравнение касательной к графику данной функции f(x) в указанной точке М:

; , , .

Ответ:.

2. Точка движется по закону . Найдите зависимость скорости движения от времени. Определите мгновенную скорость в момент времени .

Ответ:.

3. Найдите угол между касательной к графику функции в точке и осью . Ответ: .

4. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .

Ответ:.

5. Найдите угол, образованный касательной к кривой в точке с положительным направлением оси абсцисс.

Ответ: 1350.

6. Точка движется прямолинейно по закону

Найдите зависимость ускорения движения от времени, если .

Ответ: .

7. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой 2.

Ответ: .

8. Тело массой 10 кг движется прямолинейно по закону . Найдите кинетическую энергию тела через 4с после начала движения.

Ответ: 3125 Дж.

ТЕСТ №1

1. Составьте уравнение касательной к графику функции у=3х2+6х+1 в

точке пересечения этого графика с осью ординат.

А) у=-6х+1; В) у=х+6; С) у=6х+1; D) у=6х; Е) у=6х-1.

2. Найти тангенс угла наклона касательной к графику функции

f(x)=2х3-5х в точке М(2;6)

А) tg α=13; В) tgα=19; С) tgα=17; D) tgα=29; Е) tgα=8.

3. Скорость движения материальной точки по прямой изменяется по закону

V(t)=4t+1/t. Наибольшее значение скорости за время 0,25 ≤ t ≤1 равно

А) 5; В) 4; С) 3; D) 7; Е) 0.

4. Какой угол образует с направлением оси Ох касательная к графику

функции f(x)=(1-х)3, проведенная в точке х=3?

А) острый; В) 300; С) прямой; D) тупой; Е) 00.

5. Точка движется прямолинейно по закону .Найти значения скорости в момент времени .

А) 202; В) 198; С) 98; D) 104; Е) 128.

6. К графику функции f(x)=5х3+9х-27в точке с абсциссой х=0 проведена

касательная. Найдите абсциссу точки пересечения касательной с осью Ох.

А) 3; В) 1; С) 4; D) 2; Е) -2.

7. Точка движется прямолинейно по закону .В какой момент времени скорость точки окажется равной нулю.

А) 9 В) 4 С) 3 D) 8 Е) 6.

8.Дана функция .Составьте уравнение касательной к графику функции в точке

А) ; В) ; С);

D) Е)

9. Точка движется по координатной прямой по закону S(t)=-t2+10t-7. Найдите S(3).

А) 19; В) 14; С) 4; D) 46; Е) -5.

10. Найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точки А(1;-1) и В(2;3).

А) ; В) -; С) -4; D) 1; Е) 4.

ТЕСТ №2

1. Какой угол с осью Ох образует касательная к графику функции в точке с абсциссой ?

А) ; В); С); D); Е).

2. Какой угол с осью Ох образует касательная к графику функции в точке с абсциссой ?

А); В) ; С) ; D) ; Е).

3. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке .

А); В) ; С) ; D) ; Е) .

4. Материальная точка движется по прямой линии по закону . Найдите скорость материальной точки в момент времени .

А) В) С) D) Е)

5. Прямолинейное движение точки задано уравнением .Найти скорость движения точки в момент времени .

А)28 В)34 С)25 D)45 Е)18.

6. Точка движется прямолинейно по закону .Найти значения ускорения в момент времени .

А) 48 В) 50 С)32 D)58 Е)74

7. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке пересечения графика с осью ординат.

А) В) С) D) Е)

8. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .

А) В) С) D) Е)

9. Найдите уравнение касательной к графику функции , которая параллельна прямой, заданной уравнением .

А) В) С) D) Е)

10. При каком значении прямая является касательной к графику функции

А) В) С) D) Е)

ОТВЕТЫ

Тема: КАСАТЕЛЬНАЯ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ