Практическая тетрадь по теме «Функция и её свойства»

ПРАКТИЧЕСКАЯ ТЕТРАДЬ

по теме «Функция и её свойства»

Пояснительная записка:

Практическая тетрадь «Функция и её свойства» предназначена в первую очередь для самоконтроля учащихся усвоения ЗУН по вышеуказанной теме. Учителя могут использовать данный материал при подготовке учащихся средней школы к итоговой аттестации по алгебре и началам анализа.

Тема: ФУНКЦИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Определение: Закономерность, при которой каждому значению х из множества Х соответствует единственное значение у из множества Y, называется функцией.

Обозначение функции: y=f (x).y=g(x). y=(x).., где х - независимая переменная, или аргумент; у- зависимая переменная ,или функция.

Множество значений переменной, при которых функция имеет смысл, называют областью определения функции, обозначение Д (f), а значение функции, соответствующее каждому значению независимой переменной из области определения, называют множеством значения функции, обозначение Е(f).

 

Понятие о четности, нечетности функции

Определение: Функция f называется четной, если для любого х из ее области определения f (-x)= f (x)

Определение: Функция f называется нечетной, если для любого х из ее области определения f (-x)= - f (x)

Понятие периодичности функции

Определение: Функцию f называют периодической с периодом Т0, если для любого х из области определения значение этой функции в точке х,

х-Т, х+Т равны, т.е. f (х+Т)= f(х)= f(х-Т)

Определение периода любой периодической функции основано на следующем свойстве: если функция f (x) является периодической и ее период равен числу Т, то периодической будет функция у=kf`(ax+b), (где k0, а0 и b – постоянные) и ее период равен числу .

 

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

 

Пример 1. Найдите область определения функции

а) у=2 б) у= в)у= г) у= +

Решение:

а) у=2 функция заданная в виде многочлена, поэтому можно вычислять ее значения при любых значениях аргумента. Область определения все действительные числа.

Ответ: Д(f) =R

 

б) у= функция дробно-рациональная х .

 

Ответ: Д(f) =()

в)у= , необходимо взять подкоренное выражение неотрицательным, т.е.

2х-1.

Ответ: Д(f) =;+

г) у= + найдем область определения для х т.е ;+

для знаменатель х+2 х т.е ()

Д(f)=;+ ()=;+.

 

Ответ: Д(f)=;+

 

 

Пример 2. Найдем множество значений функций у=2

Решение: Известно, что Е(f) для у= есть отрезок

Рассмотрим -1 / умножим на 2

-2 / прибавим -5

-7

Ответ: Д(f)=

 

 

Пример 3. Определим четность или нечетность функций:

а) f(х)= б) f(х)=- +х в) f(х)=+

Решение: а) f(-х)= = f(х) – четная функция

 

б) f(-х)=- +(-х)= -х = - (- +х )= - f(х)- нечетная функция

 

в) f(-х)=+=-+ функция ни четная, ни нечетная (общего вида)

 

 

Пример 4. Найдем период для функции у=

Решение: Период функции у=, а по условию а=2 Тогда по формуле получаем, что =. Следовательно период данной функции равен .

Ответ:

 

 

Пример 5. Найдем наименьший положительный период функции у=tg

Решение: По определению период функции у=tg х равен по условию

а =, тогда по формуле получаем, что ==3 .

Ответ: 3

 

 

 

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

 

Найдите область определения функции:

а) у= б) у=

Ответ: Д(f) = (-2) Ответ: Д(f) ;0)

в) у = arcsin (2х-5)

Ответ: Д(f) = (2)

 

2. Найдите множество значений функции:

а) у=2 б) у=

Ответ: Е(f)= Ответ: Е(f)=

в) у= 1-2

Ответ: Е(f)=

3. Найдите область определения и множество значений функции:

а) у = б) у=

Ответ: Д(f)= , Е(f)= (0;+) Ответ: Д(f)= R, Е(f)=

в) у =-

Ответ: Д(f)=(-), Е(f)= (-)

4. Выясните четность, или нечетность следующих функций:

а) у = б) у =3+ в) у =+tgх

г) у = д) у = х -

5. Найдите наименьший положительный период функций

а) у = б) у = 5tg в) у =

Ответ: Ответ: Ответ: 16

г) у =ctg (5х - ) д) у = tg(2-5х) е) у = 2

Ответ: Ответ: Ответ:

 

ТЕСТ №1

1. Какая из функций в области определения является нечетной?

2. Что можно сказать о функции:

А) Ни четная, ни нечетная. В) Четная. С) Периодическая.

D) Нечетная. Е) Общего вида.

3. Найдите наименьший положительный период функции

4. Найдите область определения функции

5. Найдите множество значений функции

6. Найдите функцию, обратную данной

 

7. Найдите наименьшее значение функции у = х2 - 6х + 11

8. Найдите область определения функции:

9. Найдите множество значений функции

10. Найдите область определения функции:

ТЕСТ №2

1. Какая из функций является нечетной?

2. Какая из функций является четной?

3. Найдите наименьший положительный период функции

4. Найдите область определения функции:

5. Найдите множество значений функции

6. Дана функция у = 5 – 4х. Найдите ей обратную.

 

 

7. Дана функция у = х2-4х+3. Найдите значение х, при котором функция

принимает наименьшее значение.

8. Найдите область определения функции:

9. Найдите наименьшее значение функции

10 .Найдите область определения функции: