Практическое применение прогрессий

Тема: Практическое применение прогрессий при решении задач

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний учащихся по теме (Слайд №1).

Образовательные цели: создание условий на уроке для:

обобщения и систематизации теоретических знаний по данной теме;

совершенствования навыков применения теоретических знаний при решении прикладных задач;

решения задач с использованием межпредметных связей;

преодоления в сознании учащихся представлений об оторванности данного материала от жизни и практики.

Развивающие цели: способствовать развитию

логического мышления, вычислительных навыков, памяти;

познавательного интереса у учащихся;

грамотной математической речи.

Воспитательные цели:

формулирование таких качеств личности, как ответственность, внимательность, умения анализировать;

воспитывать настойчивость для достижения конечных результатов, дисциплинированность.

Задачи учителя на уроке:

проконтролировать знания теоретического материала;

проверить навыки учащихся по применению своих знаний в ходе решения нестандартных задач;

развивать представление учащихся об использовании прогрессии в окружающей жизни;

продолжить работу над развитием логического мышления, умением анализировать, сопоставлять и обобщать полученные знания.

Мотивация: мотивировать учащихся к осознанному восприятию значимости материала.

Задачи учащихся на уроке:

устранить пробелы в знаниях;

подготовиться к решению контрольной работы;

применять знания в нестандартной ситуации (решение задач прикладного содержания)

Оборудование к уроку:

Презентация

Плакаты с QR-кодами для повторения теоретического материала по темам арифметическая и геометрическая прогрессия;

Раздаточный справочный материал.

Формы работы на уроке: фронтальная, индивидуальная, групповая.

Метод обучения: частично-поисковый, установления связи теоретических и практических знаний.

Структура урока:

1. Организационный момент, приветствие, пожелания.

2. Сообщение темы и целей урока.

3. Актуализация опорных знаний учащихся

4. Решение задач прикладного характера

5. Домашнее задание

6. Итог урока

ХОД УРОКА

I. Организационный момент, приветствия, пожелания

Закончился ХХ век

Куда стремится человек?

Изучены космос и море,

Строенье звезд и вся земля,

Но математиков зовет известный лозунг:

«Прогрессио – движение вперед».

Сегодня я предлагаю провести несколько необычный урок. Давайте представим, что мы работники одного преуспевающего предприятия. Я буду администрацией этого предприятия, у нас есть консультанты, менеджеры по кадрам, специалисты по охране труда, которые расскажут, какие вопросы с производством нам нужно решить. В течение урока вас ещё ожидают несколько увлекательных моментов. Всем остальным ребятам я предлагаю работу в вычислительном центре, активные работники которого получат зарплату в виде оценки за урок. Но прежде я хочу убедиться, что мои работники высоко квалифицированные люди. Теоретические знания нам поможет освежить консультант.

Ученик через вывод QR повторяет основные формулы, используемые при решении задач на тему арифметическая и геометрическая прогрессия.

II. Сообщение темы и целей урока

Запишем тему: «Практическое применение прогрессий. Решение задач». Сегодня на уроке мы будем учиться применять знания при решении задач практического содержания.

III. Актуализация опорных знаний и умений

Цель – вспомнить и проверить теоретические знания по теме, подготовиться к практическим заданиям.

Устная работа:

Назови следующий член арифметической прогрессии: 3 ,7 ,11 …. (15)

Назови следующий член геометрической прогрессии: -6 ,-18 ,-54 …. (-162)

Чему равна разность арифметической прогрессии: 6 ,-8 ,-22 … (16)

в1=6 в2=3 .Найдите q (1/3)

а1=1,2 а4=2,1.Найдите d. (0,9)

IV. Решение задач прикладного характера

И так мы преступаем к работе на предприятии. Его работу мы рассмотрим по следующим направлениям. Вложение прибыли, оборот продукции, количественный состав коллектива, инфляция и индексация зарплаты, налоги. Конечно, работа предприятия должна быть эффективна. Что подразумевается под экономической эффективностью, расскажет консультант.

Простой процент — прибыль в % начисляется только на первоначальную сумму вклада и сразу выводится.

Например:

Вы открыли депозит 10000 под 10%, проценты начисляются раз в год. Каждые 12 месяцев вы будете получать 1000 прибыли, но она не остаётся на депозите и сразу же выводится. Всё «просто» — каждый год плюс тысяча в карман. Простой процент используется в случаях, когда база начисления процентов не изменяется.

Формула простого процента: Sn = S0(1 + np)

S0 — начальная сумма вклада

S — конечная сумма вклада

n — ставка доходности, переводится из процентов в число (10% = 0.1)

p — количество периодов (лет или месяцев)

Сложный процент — проценты начисляются на первоначальную сумму вклада плюс всю полученную до этого прибыль.

Для сравнения пусть будет тот же депозит 10000 под 10%, но банк в этот разрешает оставить сумму на вкладе. первый год разницы нет — всё та же тысяча, но поскольку сумма на депозите теперь растёт, уже на втором году прибыль увеличиваться.

Формула сложного процента: Sn = S0(1+p)n

S0 – первоначальный вклад

n – количество периодов (лет или месяцев)

p – годовая процентная ставка(десятичной дробью)

Sn – итоговая сумма

Итак, применим на практике:

1 банк предлагает нам 3% в месяц и простые проценты. Вычислим с помощью формулы полученную прибыль.

Так как ставка у нас в месяц, переведём 3 года в месяцы, получаем 36.

1) S3 = 10 000*(1+ 0.03*36) = 20 800

2) 20 800 – 10 000 = 10 800 - Это наша прибыль с вклада.

Второй банк предлагает простые проценты и 30% в год.

S3 = 10 000*(1+0.3*3) = 19 000

19 000 – 10 000 = 9000 – Полученная прибыль

Третий банк предлагает сложные проценты и 30% в год.

1) S3 = 10 000*(1+0.3)3 = 21 970

2) 21 970 – 10 000 = 11 970 – Полученная прибыль

Ответ: 3 банк будет выгоднее.

Продуманная реализация товаров — может повысить продажи без лишних расходов. Рассмотрим реализацию или оборот товаров.

Оборот розничной торговли - выручка от продажи товаров населению для личного потребления или использования в домашнем хозяйстве за наличный расчет или оплаченных по кредитным карточкам, расчетным чекам и др.

Где выгодно продавать продукцию через год? Начальный оборот год назад на нашем предприятии составлял 450.000 рублей

Задача 1 В городе Биробиджан он увеличивается на 15% от первоначального ежегодно

Задача 2 В городе Хабаровск увеличивается в 1,2 раза ежегодно.

Учитель: Человек может придумать замечательную идею сам. Но чтобы дать ей жизнь, нужны другие люди. Люди, с которыми можно обсуждать идеи, которые покажут все в другом ракурсе, которые хотят сотрудничать и объединять усилия и способности. Нужна команда.

задача о численности коллектива и возможности выплаты зарплаты.

Численность персонала –это экономический, статистический показатель, определяющий количество людей, относящихся к той или иной категории по определенному признаку.

Заработная плата или оплата труда — это сумма вознаграждений сотрудника за его труд.

В зарплату входят оклад и выплаты.

Задача: Мы можем заплатить зарплату только 250 работающим,а рабочих на предприятии 110 человек. Мы планируем увеличить их численность в течение 4 лет ежегодно в 1,2 раза.

Других сотрудников 40 человек. В течение того же срока планируется увеличить на 15% ежегодно.

1. b4= 110*1,2\3

b4=187

2: Вычислим из процентов на сколько больше сотрудников становится ежегодно.

40-100%

x-15%

2. x=40*15/100

x=6

3 действие: С помощью формулы нахождения N-го члена арифметической прогрессии, найдем сколько сотрудников мы наймем в течение 4 лет.

3.a4=40+6(4-1)

a4=58

4. 187+58=245

Ответ: Численность нашего коллектива составит 245 человек, соответственно, Нам хватит средств, чтобы выплачивать им заработную плату.

Учитель: как мы все знаем, цены постоянно растут. По закону работодатели должны периодически повышать зарплату сотрудников, чтобы ее не съела инфляция. Это называется индексацией, и она обязательна для всех компаний. Давайте послушаем об этом.

Инфля́ция— устойчивое повышение общего уровня цен на товары и услуги. Это процесс обесценивания бумажных денег, падение их покупательной способности вследствие чрезмерного выпуска (эмиссии) или сокращения товарной массы в обращении при неизменном количестве выпущенных денег.

Индексация - установленный государством механизм увеличения денежных доходов и сбережений граждан в связи с ростом потребительских цен. Цель индексации - поддержание покупательной способности денежных доходов и сбережений граждан.

На нашем предприятии установлена индексация зарплаты в зависимости от инфляции. В течении года ожидается инфляция около 20% в месяц от уровня января. Работник в январе получал 1000 рублей.

Вопросы Задачи.

Какова будет его зарплата в июне?

Каков его полугодовой доход?

1 вопрос:

Формула an=a1+d(n-1)

a6=1000+ 200(6-1)=2000 рублей

2 вопрос

Формула Sn=(a1+an)*n/2

S6=(1000+2000)*6/2=9000 рублей

Учитель: Примерно третью часть своей жизни почти каждый человек проводит на работе, поэтому рабочая обстановка и безопасность труда имеют большое значение. Мы взрослеем, трудимся всё больше и больше, и правила по безопасности труда становятся всё объёмнее и сложнее.  Давайте послушаем нашего специалиста по охране труда.

При помощи правильно организованной работы, которая касается обеспечения безопасности, повышается дисциплинированность специалистов, из-за чего улучшается производительность труда, снижается количество несчастных случаев. А также реже происходят поломки устройств и другие нештатные ситуации, то есть значительно повышается само производство. Поэтому можно сказать, что если на предприятии работа организована правильно, то и ее продукция начинает продаваться.

Благодаря охране труда обеспечивается не только безопасность работников при исполнении ими своих обязанностей. В действительности сюда еще относят множество наиболее разнообразных мероприятий: например, профилактика какой-либо профессиональной болезни, полноценный отдых и питание специалистов во время рабочего перерыва, предоставление им нужной спецодежды и гигиенических средств и так далее.

В первый день больной заражает на предприятии четырёх человек, каждый из которых на следующий день заражает новых четырех и так далее

На второй день больной изолируется и больше уже никого не заражает. Болезнь длится 14 дней.

В первый день месяца в город N приехал заболевший гражданин К, и в этот же день он заразил четырех человек. В какой день станет 1365 заболевших? (В ответе укажите только число.)

Исходно был один больной. В первый день он заразил четырех человек, значит, заболевших стало 1 + 4  =  5, из них 4 человека вновь заразившихся. Во второй день каждый из вновь заразившихся заразит еще четырех человек, значит, заболевших станет 5 + 4 · 4  =  21, из них 16 человек вновь заразившихся, в третий  — 21 + 16 · 4  =  85 и так далее. Общее количество заболевших является суммой n первых членов геометрической прогрессии с первым членом b1  =  1 и знаменателем q  =  4. Поскольку за это время еще никто из заболевших не успеет выздороветь, количество заболевших не уменьшится.

При этом количество заболевших, равное 1, соответствует «нулевому» дню (в первый день заболевших будет уже 5), следовательно, из полученного результата надо вычесть единицу.

Ответ: 5.

V. Домашнее задание

§8-9, составить задачу прикладного характера с решением через прогрессии.

VI. Итог урока: Оценки.

Ребята, мы рассмотрели все запланированные стороны жизни предприятия. Я думаю, что все смогли сделать выводы о том, что математика тесно связана с нашей жизнью. Прогрессия ежедневна. Каждый день сменяет предыдущий на следующий. И это пример обыденной арифметической прогрессии. Я Вам желаю, чтоб новые знания, которые вы будете получать росли в геометрической прогрессии.