Приложение теории объёмов решению задач

Министерство образования Саратовской области

Саратовский областной институт развития образования

Кафедра математического образования

Приложение теории объемов к решению задач

Итоговая аттестационная работа

слушателя курсов повышения квалификации

по дополнительной профессиональной программе

«Методические и дидактические аспекты преподавания математики в соответствии с ФГОС ОО»,

учителя математики МОУ «СОШ №21 Энгельсского района» гЭнгельса

Лиманской Юлии Викторовны

Саратов 2020

Содержание

Введение

Глава 1 Теоретико-методические аспекты изучения темы «Приложение теории объемов к решению задач » в школьном курсе математики

1.1 Методические рекомендации по изучению темы

Глава 2 Разработка

2.1 Характеристика стереометрических задач №14 ЕГЭ по математике

2.2 Решение задач №14 из ЕГЭ по математике

Заключение

Список использованной литературы

Введение

В концепции развития школьного математического образования подчеркивается, что в настоящее время одной из важнейших целей обучения математике в школе является интеллектуальное развитие учащихся, включающее в себя способность человека к усвоению новых знаний. Ориентация на личность ученика выдвигает как одну из тенденций в направлении разработки эффективной методики преподавания математики перенос акцентов с обучения математическим фактам на обучение методам решения задач, что формирует умения анализировать, продуцировать и использовать информацию.

Важна эта проблема и при обучении геометрии. Изучение геометрии, базирующейся на воображении и интуиции, с одной стороны, и на логике, с другой стороны, способствует интеллектуальному развитию учащихся, развитию их познавательных интересов. Развивающий потенциал геометрии заложен, в том числе, и в геометрические задачи.

Несмотря на постоянное внимание к данной проблеме, умения учащихся решать геометрические задачи остаются на невысоком уровне. Об этом свидетельствует систематическое изучение качества знаний учащихся и результаты вступительных экзаменов в вузы, где каждая задача по геометрии является «камнем преткновения» для учащихся. Так, при осуществлении попыток решения задачи у школьников отсутствует гипотеза о возможном пути решения, что во многом определяется не владением методами решения геометрических задач.

Так, долгие годы высокое качество геометрической подготовки школьников нашей страны определялось системой обучения, связанной с именем А.П.Киселева, выдающегося педагога, по учебникам которого изучало геометрию не одно поколение российских школьников. Достоинством учебника была сложившаяся с годами система упражнений, насыщенность собственно геометрическими эвристическими методами и приемами решения задач, воспитывающими активный творческий подход к изучению геометрии.

Позднейшие реформы школьного математического образования, связанные с алгебраизацией, а так же и переход на всеобщее среднее образование, фактически свели геометрию к решению вычислительных задач, а освоение учащимися наиболее ценными в эвристическом плане методами решения задач практически выпало из содержания обучения геометрии. В 70-е годы осуществлено введение в курс векторного и координатного методов, но это не решило проблему геометрического образования, потому что они являются не собственно геометрическими, а более универсальными.

Преодоление трудностей, испытываемых учащимися при решении геометрических задач, остается актуальной проблемой и в настоящее время. Одним из путей решения которой в русле гуманитарной концепции школьного образования является включение в школьный курс геометрических методов решения задач. Это направление нашло отражение в диссертации В.Е.Куценка, где на основе активного использования метода вспомогательной окружности обоснована концепция усиления роли окружности в курсе геометрии. В данной работе рассматривается необходимость и возможность включения в школьный курс метода объемов, играющего особую и очень важную роль в методах геометрии, позволяющего решать широкий круг задач.

Метод объемов, базирующийся на интуитивно понятных рассуждениях, вводится при изучении фундаментальных тем "Объемы тел". Полноценное выражение темы неотделимо от двоякой роли понятий объема в геометрии. Она, во-первых, является источником геометрической теории измерения величин, а во-вторых, служат действенным инструментом для решения задач.

1.1. Теоретико-методические аспекты изучения темы

При решении геометрических задач, как правило, алгоритмов нет, и выбрать наиболее подходящую к данному случаю теорему из большого количества теорем не просто. А ещё это связано с тем, что редко какая задача в геометрии может быть решена с использованием определенной формулы. При решении большинства задач не обойтись без привлечения разнообразных фактов теории, доказательства тех или иных утверждений, справедливых лишь при определенном расположении элементов фигур.

Особые затруднения вызывают стереометрические задачи, в которых требуется построить сечение многогранника плоскостью, найти площадь сечения, угол между скрещивающимися прямыми, угол между прямой и плоскостью, двугранные углы между плоскостями. Перечисленные задания в демонстрационном варианте ЕГЭ по математике составляют содержание задач уровня №14. Эта тема актуальна всем тем, кому предстоит сдавать профильный экзамен по математике. Согласно статистике, у большинства сдающих ЕГЭ по математике возникают трудности при решении стереометрических задач под №14. Материалом исследования послужили книга Э.Г. Готмана «Стереометрические задачи и методы их решения» и статья И.В. Яковлева «Метод объёмов».

Метод объёмов

Объём треугольной пирамиды можно посчитать несколькими разными способами. Методом объёмов мы называем приравнивание двух подходящих выражений для объёма, в результате чего удаётся вычислить искомую величину (расстояние или угол).

Метод объёмов можно использовать, вычисляя:

• расстояние от точки до плоскости;

• угол между прямой и плоскостью;

• угол между плоскостями;

• расстояние между скрещивающимися прямыми.

С идейной точки зрения метод объёмов весьма прост. Всё, что здесь нужно, — это найти подходящую треугольную пирамиду и аккуратно провести вычисления. Правда, вычислений обычно получается несколько больше, чем в методах, рассмотренных выше. Но тут уж ничего не поделаешь — за простоту метода приходится платить.

2. Разработка

Объем треугольной пирамиды можно посчитать несколькими разными способами. Метод объемов – приравнивание двух подходящих выражений для объема, в результате чего удается вычислить искомую величину (угол или расстояние). Данный метод можно использовать для вычисления:

• расстояние от точки до плоскости;

• угол между прямой и плоскостью;

• угол между плоскостями;

• расстояние между скрещивающимися прямыми.

1.1. Расстояние от точки до плоскости .

При вычислении объема треугольной пирамиды можно в качестве основания взять любую грань. Это используется при нахождении расстояния от точки до плоскости, нужно лишь представить искомое расстояние как высоту подходящей пирамиды. Предположим, что нам нужно найти расстояние от некоторой точки