Занятие на тему «Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции»
Краевой союз потребительских обществ «Крайпотребсоюз»
Частное профессиональное образовательное учреждение
«Красноярский кооперативный техникум экономики, коммерции и права»
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА
комбинированного занятия
по теме: «Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции»
Дисциплина: Математика
Код и наименование специальности:
38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)
38.02.04 Коммерция (по отраслям)
38.02.06 Финансы
40.02.01 Право и организация социального обеспечения
40.02.02 Правоохранительная деятельность
40.02.03 Право и судебное администрирование
43.02.11 Гостиничный сервис
43.02.10 Туризм
Автор: преподаватель, первая квалификационная категория, Недорезова Наталья Валерьевна
г. Красноярск, 2019г.
Рассмотрено на заседании
цикловой комиссии
__________________________________
Протокол №____ «___»__________ 20___г.
Председатель ЦК Лукиенко Т.И.
Аннотация
«А разве нам это пригодится?», «А для чего это нужно?» - спрашивают меня мои студенты на занятиях. С ответов на эти вопросы стараюсь начинать каждое занятие. В целом же в своей работе руководствуюсь высказыванием великого русского математика Николая Ивановича Лобачевского: «Нет ни одной области математики, как бы абстрактна она ни была, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира».
Методическая разработка занятия «Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции» предназначена для проведения комбинированного занятия по учебной дисциплине «Математика».
Материал методической разработки по «Математике» на тему «Неопределенный интеграл и его свойства» соответствует требованиям программы, методы способствуют усвоению материала, развитию аналитических способностей, активизации внимания, воспитанию ответственного отношения к заданию.
Занятия по изучению интеграла предполагают тесную связь с геометрическим и физическим смыслом первообразной, её практическое применение. Для освоения данной темы студенты должны хорошо владеть понятием «первообразная» и уметь вычислять ее, используя таблицу первообразных.
Разработка данного занятия может быть использована при изучении темы «Интеграл» в любых группах, осваивающих образовательную программу среднего общего образования, при подготовке квалифицированных рабочих и специалистов среднего звена.
Автор: Недорезова Н.В.
Оглавление
Введение
В последние десятилетия большое значение приобретает поиск новых или реконструкция старых, хорошо известных педагогической науке методов обучения, которые могли бы обеспечить взаимосвязь образовательной, развивающей и воспитательной функций обучения.
Элементы математического анализа занимают значительное место в области математики. Язык производной и интеграла позволяет строго формулировать многие законы природы. В курсе математики с помощью дифференциального и интегрального исчислений исследуются свойства функций, строятся их графики, решаются задачи на наибольшее и наименьшее значения, вычисляются площади и объемы геометрических фигур. Однако возможности методов математического анализа такими задачами не исчерпывается.
Определенный интеграл применяется для решения таких прикладных задач, как: вычисление площадей плоских фигур, объёмов тел вращения, длин дуг, работу сил за определённый промежуток времени, среднее значение функций и т. п.
Изучение нового материла построено таким образом, что обучающиеся принимают активное участие в выводе алгоритма применения метода вычисления криволинейной трапеции. На этапе закрепления материала для самостоятельного выполнения предлагаются задачи на вычисление определенного интеграла прикладного характера. Задания для закрепления, приведенные в данной методической разработке являются примерными и зависят от степени подготовленности группы, получаемого профиля, также педагогом могут быть предложены разноуровневые задания в одной и той же группе.
В данной методической разработке занятия широко применялись современные методы обучения, такие как, разбор «завалов», действие по образцу, работа в парах и метод мозгового штурма.
Работа на занятии осуществляется с применением мультимедийной установки (компьютер, экран, проектор) или интерактивной доски, в зависимости от оснащения кабинета. Домашнее задание обучающиеся получают с помощью рабочего листа, тем самым имеют возможность дома повторить пройденный на уроке материал.
Тема занятия: Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции.
Вид занятия: комбинированный.
Технология занятия: технология проблемного обучения, ИКТ.
Цель занятия: рассмотреть применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции и примеры применения интеграла в физике и геометрии.
Задачи:
Образовательные: обеспечить осознанное усвоение способов решения задач; закрепить умение применять алгоритм нахождения площади криволинейной трапеции при решении задач; создание условий для закрепления знаний учащихся при решении задач.
Воспитательные: умение слушать и вступать в диалог; формировать внимательность; воспитывать чувство взаимопомощи, уважительное отношение к чужому мнению, культуру учебного труда, требовательное отношение к себе и своей работе.
Развивающие: способствовать развитию творческой активности учащихся; повысить познавательный интерес к предмету; развитие навыков и способностей критического мышления; развитие образного мышления.
Планируемые образовательные результаты:
предметные: уметь применять определенный интеграл для нахождения площади криволинейной трапеции
личностные: умение работать в парах, слушать собеседника и вести диалог, аргументировать свою точку зрения
метапредметные: уметь обрабатывать информацию; формировать коммуникативную компетенцию учащихся; выбирать способы решения задач в зависимости от конкретных условий; контролировать и оценивать процесс и результаты своей деятельности
Основные термины, понятия: криволинейная трапеция, определенный интеграл, физический смысл определенного интеграла, геометрический смысл определенного интеграла.
Основные методы обучения: фронтальный, проблемный, метод мозгового штурма, работа в парах, действие по образцу, частично-поисковый, наглядно-иллюстративный, информационно-коммуникационная технология.
Продолжительность занятия: 2 академических часа.
Место проведения: аудитория.
Оборудование: доска, экран, проектор, компьютер, шаблоны задач, технологическая карта занятия.
Основная часть
План занятия
1) Организационный этап (3 мин.)
2) Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся. (2 мин.)
3) Актуализация знаний. (3 мин.)
4) Первичное усвоение новых знаний. (25 мин.)
5) Первичная проверка понимания (20 мин.)
6) Первичное закрепление (20 мин.)
7) Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция. (10 мин.)
8) Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению (2 мин.)
9) Рефлексия (подведение итогов занятия) (5 мин.)
Хронокарта занятия
|
№ Название этапа
|
Описание этапа |
Педагогическая цель этапа
|
Время этапа
|
|||||||||||||||||||||
|
1 Организационный этап |
Учитель приветствует ребят, проверяет их готовность к уроку, сообщает тему и цель урока. |
Обеспечить благоприятную внешнюю обстановку для работы на занятии и психологически подготовить учащихся к общению и предстоящему занятию. |
3 мин |
|||||||||||||||||||||
|
2 Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся |
Рассмотреть типичные задачи, связанные с определенным интегралом.
|
Основной целью этапа мотивации к учебной деятельности является выработка на личностно значимом уровне внутренней готовности выполнения нормативных требований учебной деятельности. |
2 мин |
|||||||||||||||||||||
|
3 Актуализация знаний |
В курсе геометрии были получены формулы для вычисления Площадей простейших фигур (треугольники и некоторые многоугольники) и объемов тел (призмы, пирамиды, цилиндры, конусы, шары). В то же время круг таких задач намного разнообразнее, и необходимо рассмотреть общий подход к подобным задачам. |
Подготовка мышления учащихся, организация осознания ими внутренней потребности к построению учебных действий и фиксирование каждым из них индивидуального затруднения в пробном действии. |
3 мин |
|||||||||||||||||||||
|
4 Первичное усвоение новых знаний |
Сначала рассмотрим понятие криволинейной трапеции. Пусть на отрезке [а; Ь] Оси абсцисс задана непрерывная функция Fix\ Не меняющая на нем знака. Фигуру, ограниченную графиком этой Функции, отрезком [а; Ь] и прямыми x= a и x = b, называют криволинейной трапецией. Задача 1Первая задача. (О площади S криволинейной трапеции) Формулируется следующим образом: Найти площадь фигуры, ограниченную линиями: Найти площадь
Рис. 1. Рассмотрим подробно первое действие. А именно разбиение отрезка [a; b] на n равных частей. Отрезок [a; b] разбивается на n равных частей точками Величина Важно отметить особенности построения. Если Второе действие. Зафиксируем n и приближенно найдем площадь Как мы это сделаем? Площадь искомой криволинейной трапеции заменим поступенчастой линией. Значение функции на отрезке [ Площадь первого прямоугольника Площадь второго прямоугольника И так далее.
Таким образом, мы разбили площадь на отдельные прямоугольники, сосчитали площадь каждого прямоугольника и суммируем эти площади, получаем: Устремим Вторая задача. (О вычислении массы M неоднородного стержня AD). Стержень AD неоднородный. Разместим его в координатной плоскости, как показано на рисунке.
Рис. 2. Иллюстрация ко второй задаче Нам дано: Плотность Найти: Массу стержня. Из курса физики известно, что масса Рассмотрим частный случай, когда стержень однородный (при
…………………
Складываем, получаем:
Ясно, что мы получили примерное значение искомой величины. Точность увеличивается, если увеличивается n,
Третья задача (о перемещении точки) Дано: скорость точки Найти: длину пути S(t). Суть задачи заключается в том, что по скорости надо найти длину пути. Например, мы едем на машине, скорость в каждый момент времени мы знаем. Нужно вычислить путь. Решение.
Рис. 3. Иллюстрация к третьей задаче Разбиваем отрезок Далее вычисляем путь на каждом из отрезков
…………………
Если отрезок маленький, то значение скорости – почти постоянная величина. Суммируем все пути:
Итак, мы рассмотрели три задачи, которые описываются с помощью одной и той же математической модели (рис. 4).
Рис. 4. Математическая модель О площади S под кривой BC. Была дана функция
здесь S — площадь криволинейной трапеции, изображенной на рис. 1. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла. О массе стержня AD. Здесь
Вспомним формулу Ньютона-Лейбница Заметим, что в примерах 5 и 6 были найдены соответствующие определенные интегралы, исходя из геометрического смысла. В то же время нахождение аналогичных неопределенных интегралов представляет достаточно серьезную задачу. Кроме того, эти интегралы и выглядят сложно, например: Таким образом, геометрический смысл определенного интеграла во многих задачах очень полезен при его вычислении. |
Построение учащимися нового способа действий формирование умений его применять как при решении новой задачи, так и при решении задач такого класса или типа вообще. |
25 мин |
|||||||||||||||||||||
|
5 Первичная проверка понимания |
Пример 1 Вычислим Первообразная для функции
№1 а) а)
Пример 2 Вычислим Первообразная для функции
№2 а) а)
Пример 3 Вычислим Сначала найдем неопределенный интеграл затем определенный интеграл Очень часто при вычислении определенных интегралов полезно использовать их геометрический смысл - площадь соответствующей криволинейной трапеции.
Пример 4 Используя геометрический смысл интеграла, вычислим:
а) Видно, что значение данного интеграла равно площади многоугольника ABCDE, состоящего из двух прямоугольных равнобедренных треугольников: АВС (АВ = АС = 2) и CDE (СЕ = ED = 1). Тогда б) Значение данного интеграла равно площади трапеции EDHF с основаниями ED = 1 и HF = 2 и высотой EF = 1. Поэтому
Пример 5 Используя геометрический смысл интеграла, вычислим Построим график подынтегральной функции
Пример 6 Используя Геометрический смысл интеграла, вычислим: a)
Построим график подынтегральной функции а) Значение данного интеграла равно площади четверти круга радиуса 1. Поэтому б) Значение этого интеграла равно площади криволинейной трапеции BCD. Эта площадь равна разности площади сектора ABD (с углом |
Тренировка способности к контролю, самоконтролю и самооценке. |
20 мин |
|||||||||||||||||||||
|
6 Первичное закрепление |
Проведем самостоятельную работу по группам
Решение самостоятельной работы: №1 Вычислите: в) в) г)
№2 Материальная точка движется по прямой со скоростью, определяемой формулой v = v (f) (время измеряется в секундах, а скорость — в сантиметрах в секунду). Какой путь пройдет точка за 3 секунды, считая от начала движения (t = 0)? a) a) б) №3 Дан прямолинейный стержень длиной l. Он неоднороден, и его плотность в точке, удаленной от левого конца на x, в) в) г) №4 Вычислите
|
Усвоение учащимися нового способа действия при решении типовых задач. |
20 мин |
|||||||||||||||||||||
|
7 Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция |
Проверим решенные задания и обсудим допущенные ошибки. |
Оценить правильность выполнения учебной задачи, проверить и скорректировать ошибки |
10 мин |
|||||||||||||||||||||
|
8 Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению |
§49. №1 (в,г); №2 (а,б); №5 (а,б); №8 (в,г); №9 (а,б); №10 (б) (Задачник Алгебра 10-11 класс Мордкович: Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 частях Часть 2. Задачник (базовый уровень)/ Мордкович А.Г. и др. - М.: Мнэмозина, 2013). №1 а) №2 а) №5 в) №8 a) №9 в) №10
|
Сообщить учащимся о домашнем задании, разъяснить методику его выполнения, мотивировать необходимость и обязательность его выполнения |
2 мин |
|||||||||||||||||||||
|
9 Рефлексия (подведение итогов занятия) |
Преподаватель: Дайте понятие криволинейной трапеции Геометрический смысл определенного интеграла Физический смысл определенного интеграла Какие затруднения испытывали при нахождении площади криволинейной трапеции? Преподаватель комментирует ответы учащихся, выставляя отметки в журнал |
Самооценка учащимися результатов своей учебной деятельности, осознание метода построения и границ применения нового способа действия. Для реализации этой цели: организуется рефлексия и самооценка учениками собственной учебной деятельности на уроке, |
5 мин |
|||||||||||||||||||||
на отрезке [a; b], x=a, x=b, y=0 – ось X.
. Особенность заключается в том, что верхняя линия в криволинейной трапеции задается функцией. Идея метода – разбить отрезок [a; b] на определенные маленькие отрезки и считать площади каждого прямоугольника (рис. 1).
.
, независимо от того, разобьем мы отрезок на 100, 200 или больше частей.
] мы заменим значением функции в левом конце 
. Таким образом, мы имеем прямоугольники. У них одинаковые основания. А высота – значения функции в левом конце.
. 
.
. Итак, при фиксированном n примерное значение функции мы имеем. Но это примерное. Как получить точное?
. Тогда ступенчатая ломаная будет стремиться занять положение функции
будет стремиться к искомой площади. Более точно: 
.
.
стержня длиной 
с линейной плотностью 
вычисляется по формуле 
. Для решения данной задачи используется алгоритм задачи 1.
). Тогда масса стержня легко считается. 
. Но у нас стержень неоднородный, величина
– непостоянная, надо найти массу такого стержня. Метод решения этой задачи аналогичен методу решения, который мы использовали в первой задаче. А именно: разбиение стержня на n равных частей с почти одинаковой плотностью 
на отрезке 
. Но массу стержня здесь мы умеем считать 
. Таким образом, разбили стержень и умеем считать массу каждого маленького отрезка этого стержня. Далее, как и в первой задаче, проведем необходимые вычисления на каждом отрезке:
;
;
.
, если 
.
.
на n равных отрезков 
. 
;
;
.
, если, 
;
– плотность. Требовалось найти массу M=S. Масса равнялась площади под этой кривой. Из решения задачи 2 следует, что масса m неоднородного стержня с плотностью 
вычисляется по формуле
. В этом состоит физический смысл определенного интеграла.
, за промежуток времени от t =а до t =b, вычисляется по формуле 
. Это — еще одно физическое истолкование определенного интеграла.
. При вычислении определенного интеграла находят первообразную 
для функции 
, вычисляют ее значение для верхнего 
и нижнего 
пределов интегрирования и находят их разность 
.
.
есть функция 
. Тогда 
. 
; б) 
; б) 
(формула понижения степени) есть функция 
. Тогда 
. 
; б) 
; б) 
; 
; 
Построим график подынтегральной функции 
2,5.
.
.
. Также построим прямоугольник ABCD и измерениями AD = 2 и АВ =
и площадью 
. Видно, что площадь криволинейной трапеции ABD составляет ровно половину площади прямоугольника ABCD. Поэтому 
; б) 
. Очевидно, что 
. Возведем обе части равенства в квадрат:
или 
+
. Получили уравнение окружности с центром в начале координат и радиуса 1. Поэтому с учетом условия 
.
): 
и площади прямоугольного треугольника ABC: 
. Поэтому значение данного интеграла 
.
.
, определяется по формуле 
. Найдите массу стержня, если:
, если график функции 
; y=3x-1
; y=5x-7
б) 
г) 
; б) 
; б) 
; г) 
.
б) 
г) 
Заключение
Трудно назвать научную область, в которой бы не применялись математические методы изучения реальных объектов и процессов. Одним из важнейших разделов математики, используемых для описания и решения прикладных задач, является интегральное исчисление.
Комбинированное занятие - это тип занятия, характеризующийся сочетанием различных целей и видов учебной работы, при его проведении структура занятия становится гибкой, подвижной, что позволяет преподавателю избегать в своей работе шаблона, формализма. В процессе изучения нового материала можно сразу организовать его закрепление и применение, а при закреплении осуществлять контроль знаний, умений, навыков и развитие навыков применения этих знаний в различных ситуациях.
Для того чтобы повысить эффективность комбинированного занятия необходимо выполнение преподавателем следующих условий: занятия должно строится на отношении сотрудничества; преподаватель должен прекрасно понимать, что его учащийся - это не тот, кого он учит, а тот, кто у него учится. Конструируя комбинированное занятие, педагог должен помнить, что главное в его работе - это не то, что он расскажет и покажет, даст задание и проконтролирует его выполнение, а то, как он научит учащихся умениям и навыкам рационально учиться. При организации и проведении занятия нужно учитывать и опираться на возрастные и индивидуальные особенности студентов; строить занятие таким образом, чтобы учащиеся всегда испытывали необходимость в преодолении посильных трудностей, в овладении новыми знаниями, новыми способами действий, умениями и навыками.
Студенты на занятии должны уметь выделять, сравнивать, обобщать, оценивать математическими понятиями, создавать математические модели, то есть владеть теми универсальными способами, которые им пригодятся на практике. Вместо простой задачи передачи знаний, умений и навыков от преподавателя к студенту приоритетной целью образования становится развитие способностей обучающегося.
Проведённое занятие: «Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции» соответствует поставленным образовательным, развивающим и воспитательным целям.
Список использованной литературы
Алгебра 10-11 классы Мордкович: Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 частях Часть 1. Учебник (базовый уровень)/ Мордкович А.Г. –М.: Мнэмозина, 2013.
Алгебра и начала математического анализа: учеб, для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений / под редакцией А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын, Б. М. Ивлев, С. И. Шварцбурд - 23-изд.-М.: Просвещение, 2014 -384с.
Геометрия /Л.С. Атанасян: учеб. Для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений - 23-е изд.-М: Просвещение, 2014 -225с.
Дидактические материалы. 11класс. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Базовый и углубленный уровень /Б. Г.Зив-14-е изд.-М. «Просвещение», -2016-128 с.
Задачник Алгебра 10-11 класс Мордкович: Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 частях Часть 2. Задачник (базовый уровень)/ Мордкович А.Г. и др. - М.: Мнэмозина, 2013.
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: Сборник задач профильной направленности/ М. И. Башмаков -М.: Издательский центр «Академия», 2017-207 с.
Математика: алгебра и началаматематическогоанализа,геометрия для профессий и специальностей социально-экономического профиля:учебникдля студ. учреждений сред. Проф. образования/ Гусев В.А., Григорьев С.Г., Иволгина С.В. – 1-е изд. -М.: Издательский центр «Академия»,2017– 416с.
Математика:алгебра, начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ. учреждений сред. проф. образования/ М.И.Башмаков- 3-е изд., стер.-М.: Издательский центр «Академия», 2017-256 с.
Практические занятия по математике Часть I: учебное пособие для СПО/ Н.В.Богомолов -11-изд.-М.: Юрайт, 2018 -326с.
Практические занятия по математике Часть II: учебное пособие для СПО/ Н.В.Богомолов - 11-изд.-М.: Юрайт, 2018 -335с.
Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов. /Ершова А.П., Голобородько В.В. - 4-е изд., испр. -М.: ИЛЕКСА, -2018-208 с.
Эмрих Елена Юрьевна