Применение интеграла.
Цели урока: знать сферы применения интеграла, правила вычисления производных и первообразных. Уметь вычислять интегралы и решать прикладные задачи с интегралами.
Ход урока.
1. Организационный момент.
2. Объяснение нового материала.
При знакомстве с интегралом мы выделили три его характеристики.
Интеграл от функции f есть площадь ее под графиком (с учетом знака).
Интеграл есть придел интегральных сумм.
Интеграл от функции f есть приращение первообразной.
Любая из этих характеристик интеграла может служить основой для его приложений. Вычисление площади самое простое применение интеграла, так как интеграл по определению тесно связан с площадью. Вычисление некоторых физических величин с помощью интеграла потребует дополнительных рассуждений. К величинам, которые вычисляются с помощью интеграла, относятся: перемещение и работа, масса и электрический заряд, площадь и объем. Последние величины обладают общими свойствами:
Величины можно рассматривать как функции отрезков.
Для вычисления этих величин с помощью интеграла нужно знать скорость изменения этих величин.
Рассмотрим самую распространенную задачу из приложений интеграла: вычисление объемов тел. Материал учебника можно дополнить следующими рассуждениями.
Пусть дано тело объемом V, причем имеется такая прямая, что для любой плоскости (рис. 125 стр. 194), перпендикулярной данной прямой, известна площадь сечения S тела этой плоскостью. Но плоскость перпендикулярная оси ОХ, пересекает ее в некоторой точке x. Следовательно, каждому числу x 
поставлено в соответствии единственное число 
- площадь сечения тела этой плоскостью. Имеется функция , заданная на отрезке 
.
Если функция непрерывна на отрезке , то справедлива формула 
.
Тело, полученное вращением криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке функцией, отрезками прямых 
и отрезком оси ОХ, имеем объем, выражающийся по формуле:
.
Действительно, каждая плоскость, перпендикулярная оси ОХ и пересекающая отрезок этой оси в точке x, дает в сечении круг радиуса f(x). Соответственно, площадь сечения равна площади круга радиуса f(x): 
.
На рисунке показан объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции.
Для всех остальных применений интеграл в физических задачах удобно составить следующую таблицу.
|
Величины |
Вычисление производной |
Вычисление интеграла |
|
A – работа; F – сила; N – мощность; x – перемещение; t – время. |
|
|
|
m – масса тонкого стержня;
x - перемещение. |
|
|
|
q – электрический заряд; I – сила тока; t – время. |
|
|
|
S – перемещение; U – скорость; t – время. |
|
|
|
Q – количество теплоты; C – теплоемкость; t – время. |
|
|
- линейная плотность;
Задача на нахождение центра масс рассмотрена в учебнике (стр. 197-198).
3. Закрепление нового материала.
Решить: № 370(а, б), 373, 377.
4. Задание из ЕГЭ.
Задание 1В:
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями 
и 
.
Решение:
Найдем абсциссы точек пересечения графиков.
Построим в одной системе координат графики двух функций.
Ответ:4.
5. Итоги урока.
6. Домашнее задание.
Прочитать и разобрать §31.
Решить следующие задачи №370(в, г), 376.
