Применение производной

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

« ЛИЦЕЙ «СПЕКТР» ГОРОДА ТОРЕЗА »

Тема. Применение производной

к исследованию функций.

Разработка урока

по алгебре и началам анализа в 11 классе

Кирилюк Наталья Анатольевна,

учитель математики высшей категории,

«старший учитель»

Торез

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА УРОКА

Цели:

- обобщить и систематизировать знания учащихся о дифференциальном исчислении, использовать изученный материал для построения графиков функций, углубить и расширить диапазон знаний учащихся по теме;

- способствовать развитию умений использования на практике теоретических знаний, развитию творческих способностей и логического мышления учащихся при решении практических задач;

- содействовать формированию коммуникативной компетентности в общении и сотрудничестве со сверстниками, воспитанию средствами математики культуры личности, понимания значимости математики для научно-технического прогресса.

Планируемые результаты обучения

Личностные результаты: -умение контролировать, оценивать и анализировать процесс и результат учебной и математической деятельности;-критичность мышления, инициатива, находчивость, активность при решении математических задач.

Метапредметные результаты: -умение самостоятельно определять цели своей деятельности, ставить и формулировать для себя задачи в обучении; -умение соотносить свои действия с планируемыми результатами, осуществлять контроль своей деятельности в процессе достижения результата, определять способы действий в рамках предложенных условий и требований, корректировать свои действия.

Предметные результаты: -умение описывать явления реального мира на математическом языке; представление о математических понятиях и математических моделях как о важнейшем инструментарии, позволяющем описывать и изучать разные процессы и явления;

Тип урока: учебно-развивающий интегрированный урок с элементами деловой активности.

Оборудование: раздаточный материал для учеников, карточки для игры «Поле чудес», материал с дифференцированными заданиями, тестовые задания по теме, таблица рейтингового оценивания учащихся на уроке.

Формы и метолы работы.

Первый мини-модуль.

I. Мотивация учебной деятельности. Самопостановка целей и задач на урок.

II. Проверка домашнего задания (самопроверка).

III. Актуализация опорных знаний:

1) Теоретический блицтурнир (взаимопроверка «Учитель-ученик»).

VI. Активизация мыслительной деятельности:

Игра «Поле чудес» (работа в парах)

Практические задания.

Второй мини-модуль.

Деловая игра. Маржинальная Торговля На Рынке Ценных Бумаг (работа в группах)

1) Графический диктант «Да или нет?»

2) «Шифровальщики»

3) Задания на выбор

Третий мини-модуль (30 мин.)

1.«Решу ЕГЭ»

2.Тестовая проверка знаний. (Прототипы задания № 7) 3. Домашнее задание.

4.Техника «рефлексивная мишень»

Итог модуля.

Сценарий модуля.

Первый мини-модуль (30 мин.)

I. Мотивация учебной деятельности. Самопостановка задач на урок.

Вы – выпускники и очень скоро всем вам предстоит пополнить ряды абитуриентов, студентов, магистров, аспирантов, а, впоследствии может быть доцентов, профессоров. Где вам придется добывать, а затем и применять свои знания самостоятельно на практике, уметь работать в коллективе, ориентироваться в сложной и быстро меняющейся современной обстановке, проявлять свою деловую компетентность.

Современные специалисты должны хорошо владеть математическим аппаратом, который имеет большое значение для многих профессий. Фундаментом математики является математический анализ. Одним из важных понятий математического анализа является производная.

Зачем нужна производная?

Где мы встречаемся с производной и используем её?

Производная функции используется всюду, где есть неравномерное протекание процесса: это и неравномерное механическое движение, и переменный ток, и химические реакции, и радиоактивный распад вещества, помогает рассчитать некоторые значения в сейсмографии и т.д., так как механический смысл производной — это мгновенная скорость.

Производную применяют для исследования функции и построения ее графика, для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции. Оказывается также, что с помощью производной можно упрощать алгебраические и тригонометрические выражения, раскладывать на множители, доказывать тождества и неравенства и, даже, решать вопрос о существовании корней квадратного уравнения.

Производная нужна также и в экономике. В экономической теории активно используется понятие «маржинальный», что означает «предельный». Производная выступает как интенсивность изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора.

Можно сделать вывод, что производная — одно из самых важных понятий математического анализа. Знание производной позволяет решать многочисленные задачи по экономической теории, физике, алгебре и геометрии.  

И сегодня в центре нашего внимания —

«Применение производной к исследованию функций».

Поэтому девизом нашего урока могут быть такие слова:

Без интегрального и дифференциального исчисления математика, как наука, не могла бы достигнуть совершенного своего развития.

Х. Гюйгенс (нидерландский учёный, математик, астроном и физик)

Исходя из поставленной мною темы и целей, сформулируйте и свои задачи на урок.

Ожидаемые результаты:

закрепить систему умений и навыков применения производной к:

- к нахождению промежутков возрастания и убывания функции,

- экстремумов функции,

- наибольшего и наименьшего значения функции,

- интервалов выпуклости и вогнутости,

- исследованию функции с помощью производной первого и второго порядка и построению графика функции;

- решению практических задач с помощью производной.

Учитель: Перед каждым лежит таблица рейтингового оценивания.

II. Проверка домашнего задания (самопроверка).

Просыпаясь утром, спроси себя: «Что я должен сделать?»

Вечером, прежде чем заснуть: «Что я сделал?».

Пифагор

№ 1.Определить интервалы выпуклости и вогнутости, а также точки перегиба функций.

;

;

.

Ответ: 1), 3) выпуклая вниз, 2)выпуклая вверх. Точек перегиба нет.

№ 2. Исследовать на экстремум по второму правилу функцию:

Решение.

Д(f) = R,

= 4,

= 1, = 4 (критические точки І рода),

(х) = 12,

(0) = 16, = 0 точка минимума,

(1) = -12, = 1 точка максимума,

(4) = 48, = 4 точка минимума.

Ответ: х=0 точка минимума, х=2 точка максимума, х=4 точка минимума.

№3. Найти наименьшее значение функции: у =.

Решение.

Д(у) = (0;∞)

=

Х(2+1) = 0

Х0

=

критическая точка,

в точке – минимум.

Так как заданная функция на области определения имеет единственный минимум, то при функция приобретает наименьшее значение

Ответ:=

III. Актуализация опорных знаний.

1)Теоретический блицтурнир (взаимопроверка «Учитель-ученик»).

- Каков физический смысл производной?

- Можно ли найти производную скорости? Как она называется?

- Какие точки называются критическими точками?

- Какие точки называются стационарными?

- Сформулируйте достаточный признак возрастания функции.

- Сформулируйте теорему Ферма (необходимое условие экстремума).

- Сформулируйте достаточное условие экстремума. - Сформулируйте теорему, которая дает возможность исследовать функцию на экстремум с помощью производной второго порядка (второй условие). - Какие точки называются критическими точками второго рода? - В каком случае функция выпуклая вверх? - Какие точки называются точками перегиба?

VI Активизация мыслительной деятельности.

1) Игра «Поле чудес» (работа в парах)

Учиться надо весело, чтобы поглощать знания,

нужно переваривать их с аппетитом. Анатоль Франс.

Ответ:

2) Практические задачи.

«Применение в химии»

А) Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задается зависимостью: р(t) = + 3t –3 (моль). Найти скорость химической реакции через 3 секунды.

Решение. Скорость v(t) химической реакции в момент времени t равна производной количества вещества, вступившего в химическую реакцию: V (t) = p ‘(t) Найдем производную функции: (t) = t +3. Подставим значение t = 3 сек: (3) = 3 + 3 = 6 (моль/сек) Ответ: 6(моль/сек)

«Применение в экономике». О финансовых накоплениях.

А) Завод производит х автомобилей в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накоплений завода от объема выпуска выражается формулой f(x) = -0,02 + 600x - 1 000. Исследовать потенциал предприятия. 

Решение. Получаем, что при х = 100 функция достигает максимума. f(100) = -0,02 + 600·100 - 1 000 =39000 Вывод: финансовые накопления завода растут с увеличением объема производства до 100 единиц, при х = 100 они достигают максимума и объем накопления равен 39 000 денежных единиц. Дальнейший рост производства приводит к сокращению финансовых накоплений.

«Применение в физике»

А) Вращение тела вокруг оси совершается по закону: . Найти угловую скорость при t=4. (Ф измеряется в радианах, t в секундах).

Решение. Скорость есть производная от расстояния по времени w(t)= Ф´(t)= (3t² - 4t +2)´ =6t – 4(рад/с); w(4) = 20(рад/с) Ответ: 20(рад/с).

В ) Дождевая капля падает под действием силы тяжести; равномерно испаряясь так, что ее масса m изменяется по закону m(t) = 1 - 2/3t. (m изменяется в граммах, t - в секундах, t 0). Через сколько времени после начала падения кинетическая энергия капли будет наибольшей?

Решение.

Скорость капли  , её кинетическая энергия в момент t равна  

Исследуем функцию  на наибольшее значение с помощью поизводной: 

 =0; t1=0; t2=1 (t>0)

При t =1 функция Ek(t) принимает наибольшее значение, следовательно, кинетическая энергия падающей капли будет наибольшей через 1 сек. Ответ: через 1 сек.

«Применение в математике»

А) Ребенок надувает резиновый шар. Доказать, что скорость увеличения объема шара и площади диаметрального круга равны соответственно поверхности шара и длине его диаметральной окружности.

Р ешение.

=2 .

Б) Доказать, что на графике функции нет точек , в которых касательные параллельны оси абсцисс.

Решение.

Уравнение касательной:-) (х-.

Если касательная параллельна оси Х, то )=0.

Найдем производную:

=(+2х+1) +2=+ 2

Следовательно, при любом х= нет точек, в которых касательные параллельны оси абсцисс.

В) Доказать, что из всех прямоугольников, имеющих периметр 2р, наибольшую площадь имеет квадрат.

Р ешение:

Пусть х - длина одной стороны, (р-х ) - длина второй стороны.

Площадь прямоугольника: S(x) = x(p-x) = px-;

; х = критическая точка.

= -2

Следовательно,при значении х = функция достигает максимума.

На интервале (0;р) имеет единственный максимум, который и будет наибольшим значением функции.

Вторая сторона: р = , следовательно прямоугольник является квадратом.

Итог 1 «30».

Второй мини-модуль (30 мин.)

Деловая игра. (Учащиеся объединяются в 4 команды).

М аржинальная Торговля На Рынке Ценных Бумаг

История рынка ценных бумаг насчитывает несколько веков. Его возникновение часто связывают с созданием в XV—XVI веках рынка государственных ценных бумаг.  В начале XVI в. эволюция торговых операций привела к возникновению фондовых бирж. Рынок ценных бумаг (РЦБ) в России начал возрождаться в первой половине 1991 г.

Российский фондовый рынок – один из самых молодых в мире. В последнее время на российском фондовом рынке происходит динамичное расширение спектра услуг. Одной из таких качественно новых услуг стало предложение открытия маржинального счета – счета, на котором возможно проведение операций покупки и продажи ценных бумаг с использованием заимствованных средств, предоставляемых инвестиционной компанией, или, как еще говорят, с плечом. Система работы через дилинговую (брокерскую) компанию с предоставлением кредитного плеча получила названия "маржинальной торговли». Финансовый результат операций увеличивается за счет финансового «рычага (плеча)» – совершив сделку с использованием займа, можно получить значительно больший доход, Этот вид сделок пользуется большой популярностью, поскольку позволяет зарабатывать даже на небольших колебаниях рынка, а на значительных колебаниях рынка доходы клиентов увеличиваются в несколько раз.

Маржинальная торговля – это операции покупки/продажи ценных бумаг, проводимые клиентом с использованием открытого у брокера особого маржинального счета (margin account).

Ма́ржа — в общерыночной терминологии — разница между ценой и себестоимостью.

 Маржа (margin) рассчитывается в процентах как отношение собственных средств клиента (внесенных на маржинальный счет в виде денежных средств или ценных бумаг из специального перечня) к рыночной стоимости обеспечения под заимствованные средства (обеспечением кредита являются все активы клиента на маржинальном счете).

Совершение маржинальных сделок выгодно как инвесторам, так и профессиональным участникам ранка ценных бумаг. Инвестор получает возможность приобрести интересующие его ценные бумаги, не обладая при этом необходимыми финансовыми ресурсами.

Брокер предоставляет инвестору заём за некоторую процентную ставку под залог денежных средств и/или ценных бумаг, чем увеличивает оборот инвестора, а следовательно, и собственное комиссионное вознаграждение.

1. Перед  любым инвестором в определенный период развития встает вопрос: какую брокерскую компанию выбрать, чтобы совершать операции на бирже? (выбираем брокера, решая графический диктант)

Графический диктант «Да или нет?»

Как ни коротки слова «да» и «нет», всё же они

требуют самого серьёзного размышления. Пифагор

По графику функции определите, верное утверждение или нет.

Учащиеся рисуют треугольник вершиной вверх, если утверждение верно, и вершиной вниз — если неверно. По окончании работы проверяют правильность своих ответов, пользуясь

ключом, который проектируется на экран.

1) Функция имеет три критические точки.

2) Функция имеет минимум в точке x = 5.

3) Функция имеет максимум в точке x =−5.

4) Функция возрастает при

x ∈[−5;5], [11;+∞).

5) Функция убывает при

x ∈[−∞;−5],[5;11].

6) Функция чётная.

7) График функции симметричен относительно оси ординат.

8) Функция имеет такие нули: y = −3.

9) На промежутках (−∞;−5) и (5;11): f ′(x) < 0.

10) На промежутках (−5;5) и (11;+∞): f ′(x) > 0.

К
люч для проверки ответов:

2. Существует эффективный способ активизации торговли. При продаже ценных бумаг (продажа "без покрытия", или "короткая" продажа) клиент занимает ценные бумаги у брокера и продает их на рынке, а затем погашает заем такими же ценными бумагами, приобретенными при последующей сделке.(Сделка между командами) «Кольцевой метод расчета»)

«Шифровальщики»

Каждая команда получает эскиз графика функции. Необходимо «зашифровать» его с помощью описания свойств этой функции, достаточных для построения графика функции:

1) промежутки убывания;

2) промежутки возрастания;

3) нули функции;

4) координаты точек максимума;

5) координаты точек минимума;

6) координаты точки пересечения графика с осью ординат.

Команды обмениваются «шифровками», и каждая команда по описанным свойствам функциистроит её график. После этого построенный график сверяют с образцом.

Вариант 1 . Вариант 2. у = х4 -2х2 - 3

Вариант 3. Вариант 4.

3. Брокер вправе по своему усмотрению выбирать для продажи любые ценные бумаги, служащие обеспечением. 

№ 953 (4) ( 2 лота)

№ 954(2) ( 3 лота)

№955 (2) ( 4 лота)

У маржиналистов были свои предшественники. Первым из основоположников предельного анализа был Иоган фон Тюнен (1783-1850), разработавший теорию предельной производительности. Пионерами предельного анализа были Антуан Огюстен Курно (1801-1877), написавший книгу "Математические основы теории богатства"; Жюль Дюпюи, занимавшийся проблемой измерения полезности бщественных услуг; Герман Госсен (1810-1858), сформулировавший законы предельной полезности.

Итог 2 «30».

Третий мини-модуль (30 мин.)

1.«Решу ЕГЭ»

За­да­ние 7.  № 27487.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y = f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−6; 8). Опре­де­ли­те ко­ли­че­ство целых точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции по­ло­жи­тель­на.

 

Ре­ше­ние.

Про­из­вод­ная функ­ции по­ло­жи­тель­на на тех ин­тер­ва­лах, на ко­то­рых функ­ция воз­рас­та­ет, т. е. на ин­тер­ва­лах (−3; 0) и (4,2; 7). В них со­дер­жат­ся целые точки −2, −1, 5 и 6, всего их 4.

Ответ: 4.

За­да­ние 7.  № 27489.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y= f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−5; 5). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции па­рал­лель­на пря­мой y = 6 или сов­па­да­ет с ней.

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку ка­са­тель­ная па­рал­лель­на пря­мой y = 6 или сов­па­да­ет с ней, их уг­ло­вые ко­эф­фи­ци­ен­ты равны 0. Уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент ка­са­тель­ной равен зна­че­нию про­из­вод­ной в точке ка­са­ния. Про­из­вод­ная равна нулю в точ­ках экс­тре­му­ма функ­ции. На за­дан­ном ин­тер­ва­ле функ­ция имеет 2 мак­си­му­ма и 2 ми­ни­му­ма, итого 4 экс­тре­му­ма. Таким об­ра­зом, ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции па­рал­лель­на пря­мой y = 6 или сов­па­да­ет с ней в 4 точ­ках.

 

Ответ: 4.

За­да­ние 12. № 77425.

 Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции  на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

 

Про­из­вод­ная об­ра­ща­ет­ся в нуль в точ­ках 0 и 2, за­дан­но­му от­рез­ку при­над­ле­жит число 2.

у(2)=8-3·4+2=-2

у(1)= 1- 3+2= 0

у(4) =-3 2=14

Ответ: −2.

За­да­ние12 .№ 77460. 

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции  на от­рез­ке 

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Число 4 при­над­ле­жит за­дан­но­му от­рез­ку

у (1)=1-3+1=-1

у (9)=93-39+1=-5
Ответ: −3.

За­да­ние 12 № 26714. 

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции  на от­рез­ке [−2,5; 0].

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

 

Най­дем нули про­из­вод­ной на за­дан­ном от­рез­ке:

 

 

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

В точке  за­дан­ная функ­ция имеет ми­ни­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­мень­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­мень­шее зна­че­ние:

Ответ: −6.

 

2. Тестовые задания (Прототипы № 7)

(раздаются задания обучающимся)

3. Домашнее задание.

Повторитьтеретический материал гл.9,

решить на выбор: №960(1), № 962(1),№963 или №968(2), 969(б), 975(1)

4. «Оцени себя» (заполняется лист рейтингового оценивания)

5. Ответы. Тестовая проверка знаний. (самопроверка)

6. Техника «рефлексивная мишень»

Участник ставит метки в сектора соответственно оценке результата: чем ближе к центру мишени, тем ближе к «5», на краях мишени оценка ближе к нулю. 

Итог модуля.

- Достигнуты ли цели урока? В какой мере?

- Какие цели ставим перед собой на следующий урок?

Я хочу вам пожелать, чтобы у вас была только положительная производная, чтобы знания ваши только возрастали.

Запас времени

Устные упражнения

А) Вместо знака поставить число или выражение:

В) Определить интервалы вогнутости и выпуклости функций :

,