Конспект урока алгебры в 11 классе по теме «Производная и её применение»

ПЕРВУШКИН БОРИС НИКОЛАЕВИЧ

Учитель Математики Высшей категории

ЧОУ «Санкт-Петербургская Школа «Тет-а-Тет»

 

КОНСПЕКТ УРОКА

по Алгебре и началам анализа

в 11 классе

 

Тема урока: «Производная и её применение»

Цели:

Обучающая. Повторение основных формул и правил дифференцирования, геометрический и физический смысл производной; применение производной к исследованию функции, нахождению наибольшего и наименьшего значения функции; знакомство с историей открытия производной; основными направлениями применения производной в разных областях науки и техники.Овладение универсальными учебными действиями и метапредметными умениями по теме «Производная и её применение» в системе тестов, дифференцированных по степени сложности.

Развивающая. Развитие умений применять знания в конкретной ситуации; развитие логического мышления, развитие монологической речи, развитие навыка работы в группе, умение работать в проблемной ситуации; развитие умения сравнивать, обобщать, правильно формулировать задачи и излагать мысли; развитие самостоятельной деятельности учащихся.

Воспитательная. Формирование у учащихся ответственного отношения к учению; умение работать в коллективе, взаимопомощи, культуры общения; воспитание таких качеств характера, как настойчивость в достижении цели; развитие устойчивого интереса к математике; создание положительной внутренней мотивации к изучению математики.

 

Задачи:

• Закрепить умение применять производную для решения различных задач.
• Научить защищать выполненную работу.
• Научить работать в группе.

Оборудование:

1. Плакаты «Производные элементарных функций», «Правила дифференцирования», «Графики функций и их производных».
2. Карточки с дифференцированными заданиями. Тесты.
3. Презентация темы.
4. Карточки для рефлексии настроения и результативности.

 

Этапы урока:

Организационный момент (Целеполагание и мотивация).

«Открытие» новых знаний.

Актуализация опорных знаний.

Самостоятельная работа в группах

Защита выполненных работ.

Подведение итогов урока (Рефлексия результативности, настроения).

 

ХОД УРОКА

 

«Нет ни одной области математики,

как бы абстрактна она ни была, которая

когда-нибудь не окажется применимой

к явлениям действительного мира».

Н.И. Лобачевский

I. Организационный момент

Приветствие.

Обсуждение темы занятия.

Ребята, отгадайте ключевое слово урока

1) С её появлением математика перешагнула из алгебры в математический анализ;

2) Ньютон назвал её «флюксией» и обозначал точкой;

3) Бывает первой, второй,… ;

4) Обозначается штрихом.

Итак, сегодня на уроке мы поговорим о производной, о её применении.

Всем известно высказывание «Мал золотник да дорог». Одним из таких «золотников» в математике является производная. Производная применяется при решении многих практических задач математики, физики, химии, биологии, географии, экономики и других дисциплин. Она позволяет решать задачи просто, красиво, интересно.

 

Сообщение цели урока.

Как вы думаете, ребята, какова цель нашего урока? ( Дети формулируют цель.)

Цель нашего урока – повторить основные формулы и правила дифференцирования,узнать основные направления применения производной в разных областях науки и техники. Рассмотрим на примерах решения задач, как применяется производная в математике, химии, физике, биологии, географии, экономике.

 

Объявление плана урока

«Открытие» новых знаний

Экскурс в историю

Вводное слово учителя.

Производная – одно из фундаментальных понятий математики, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Производная в математике показывает числовое выражение степени изменений величины, находящейся в одной и тоже точке, под влиянием различных условий.

Формула производной встречается нам ещё в 15 веке. Великий итальянский математик Тартальи, рассматривая и развивая вопрос - на сколько зависит дальность полёта снаряда от наклона орудия - применяет её в своих трудах.

Понятие производной возникло в XXVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного движения и построения касательной к прямой. Независимо друг от друга Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц разработалитеорию дифференциального исчисления и создали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время. Исаак Ньютон в основном опирался на физическое представление о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и сводя к нему другие случаи производной, а Готфрид Лейбниц использовал понятие бесконечно малой.

Краткий доклад ученика о жизнедеятельности Готфрида Вильгельма Лейбница(1646-1716).

Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июня 1646 в городе Лейпциг. Его отец-юрист и профессор философии, умер, когда Лейбницу было 6 лет.

Сначала Лейбниц интересовался только философией. В 1666 году получил звание доктора юридических наук. Первые его математические труды были написаны в 1668 и 1671 годах. Математическое образование Лейбниц получил в Париже и Лондоне. В Париже Лейбниц сделал счетную машину. Создание дифференциального и интегрального исчисления является достижением всей его жизни. Он открыл геометрический смысл производной. Лейбниц пришел к открытию производной при решении вопроса о нахождении касательной к кривой.

Первая печатная работа по дифференциальному исчислению была опубликована Лейбницем в 1684 г., озаглавленная «Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не являются препятствием дробные и рациональные количества, и особый для этого род исчисления».

Создатель Берлинской академии наук, основоположник дифференциального исчисления, ввёл большую часть современной символики математического анализа.

Умер 14 ноября 1716 в Ганновере.

Краткий доклад ученика о жизнедеятельности Исаака Ньютона (1643-1727).

Исаак Ньютон родился в семье бедного фермера в городе Вулсторп. После окончания школы он поступил в Тринити Колледж. Там он получил степень магистра (1668). Затем Ньютон возглавил кафедру математики и физики в Кембриджском университете, которой руководил 32 года.

Исаак Ньютон пришёл к открытию дифференциального исчисления при решении задач о скорости движения материальной точки в данный момент времени (мгновенной скорости). Исаак Ньютон называл производную функцию флюксией, а саму функцию – флюентой. Свои результаты в этой области Ньютон изложил в трактате, названным им «Метод флюксий и бесконечных рядов», но его трактат был опубликован лишь посмертно в 1736 г.

Главный его труд - «Математические начала натуральной философии» - оказал колоссальное влияние на развитие естествознания, стал поворотным пунктом в истории естествознания. Ньютон ввёл понятие производной, изучая законы механики, тем самым раскрыл её механический смысл.

Ньютон первый создал основы дифференциального и интегрального исчислений, создал основы теории всемирного тяготения, новую теорию света и цветов.

В его трудах по математике приведено решение таких вопросов, как нахождение экстремумов функций, точек перегиба, уравнений касательных и приведены методы решения простейших дифференциальных уравнений.

В 1690 году Ньютон был избран членом Академии Наук в Париже. Интересно, что Исаак Ньютон был так же и богословом. Он написал труды о Святой Троице, а также толкование на книгу пророка Даниила. Интересно, что он высоко ценил именно свои богословские сочинения. Всегда, произнося имя Божие, Ньютон снимал шляпу.

Великий ученый умер в 1727 году.

Исчисление созданное Ньютоном и Лейбницем, получило название дифференциального исчисления. С его помощью был решен целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии.

В частности, используя методы дифференциального исчисления, ученые предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки XVIII в. Известный учёный Галилео Галилей посвящает целый трактат роли производной в математике. Важную роль в изучении производной сыграл Леонард Эйлер, написавший учебник «Дифференциальное исчисление».

Основные понятия дифференциального исчисления долгое время не были должным образом обоснованы. Однако в начале XIX в. французский математик О. Коши дал строгое построение дифференциального исчисления на основе понятия предела.

Применяемая сейчас система обозначений для производной восходит к Лейбницу иЛагранжу.

Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли: Гийом Франсуа Лопиталь (1661 г. - 1704 г.) - Франция, Даниил Бернулли (1700 г. - 1782г.) - Швейцария, Жозеф Луи Лагранж (1736 г. - 1813 г.) - Франция, Леонард Эйлер(1707г. - 1783г.) - Швейцария, Карл Фридрих Гаусс (1816г. - 1855 г.) - Германия.

В настоящее время понятие производной находит большое применение в различных областях науки и техники.

 

Актуализация опорных знаний

Работа с классом

Прежде чем приступить к повторению основных направлений применения производной, проверим нашу готовность к вычислению производных.

 

Стихотворение о производной

В данной функции от икс, нареченной игреком, 

Вы фиксируете x, отмечая индексом. 

Придаёте вы ему тотчас приращение, 

Тем у функции самой, вызвав изменение. 

Приращений тех теперь взявши отношение, 

Пробуждаете к нулю у стремление. 

Предел такого отношения вычисляется,

Он производную в науке называется.

 

Ответим на следующие вопросы:

Сформулировать понятие производной функции?

Ответ: Производной функции y = f(x) в данной точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Обозначение производной: . Тогда или  .

Как называется математическая операция нахождения производной функции?

Ответ: Операция нахождения производной называется дифференцированием.

В чем заключается геометрический смысл производной функции?

Ответ: Значение производной функции  в точке : .

А уравнение касательной к функции  в точке  имеет вид: .

Открыл геометрический смысл производной в 17-м в. Г. Ф. Лейбниц.

Какой знак имеет производная на интервале, если функция возрастает?

Ответ: Если функция возрастает, то f ′(x)>0 на этом интервале.

Какой знак имеет производная на интервале, если функция убывает?

Ответ: если функция убывает, то f ′(x)<0 на этом интервале.

В чем состоит физический (механический) смысл производной функции?

Ответ: Если тело движется по прямой согласно закону s(t), то формулы для нахождения скорости и ускорения тела в момент времени t: v (t)= s‘(t) и а(t) = v’(t).

Открыл механический смысл производной И. Ньютона.

Чтобы эффективно использовать производную при решении конкретных задач, необходимо, как таблицу умножения, знать таблицу производных элементарных функций и правила дифференцирования.

Убедимся в том, что вы эту таблицу знаете.

Учитель просит сформулировать правила нахождения производной.

Учащиеся называют основные правила нахождения производных.

Должны прозвучать ответы:

1. Производная суммы (u+v)'= u' + v';
2. О постоянном множителе (Cu)'=Cu';
3. Производная произведения (uv)'=u'v+uv';
4. Производная дроби (u/v)'=(u'v-uv')/v2;
5. Производная сложной функции  

Учитель просит вспомнить таблицу производных элементарных функций.

Должны быть записаны следующие формулы:

c′ = 0

x′ = 1

( xn)′ = n xn-1

( x2)′ = 2x

()′ = 

(  )′ = - 

 

Переходим к следующему этапу урока, который покажет, как вы владеете этим эффективным и универсальным инструментом – производной.

Решение заданий на вычисление производной.

Найдите производную функции. Запишите ключевое слово в ответе.

Тест по теме «Производная функции»

 

Найдите производную функции:

Ответы:

у = х - 4

у = х - 

у = х5 + 3х4 -2х – 5

И 1 + 

Р 3x

3 2x2

Ф 12x2

Ю 

С 1 - 

Я 5х4 +12х3 - 2

К -

Н 

Л x3

М 4x3

 

Ф.И.ученика_________________________________
 

Номер задания

1

2

3

4

5

6

7

Ответ (буква)

Тест написан, лист с ответами сдан. Пожалуйста, поднимите руки, кто из вас написал тест без единой ошибки? Сделал не более трех ошибок?

(Тест. Проверка)

Номер задания

1

2

3

4

5

6

7

Ответ (буква)

Ф

Л

Ю

К

С

И

Я

Однако, формальное знание таблицы производных - это только инструмент, с помощью которого можно решать задачи, как по математике, так и по физике, химии, географии, биологии, экономике и другим наукам.

Рассмотрим на примерах решения задач, как применяется производная в математике и физике.

Давайте вспомним основные направления применения производной.

Самостоятельная работа в группах

Работа в группах

Сегодня на нашем уроке работают 4 творческие группы, у каждой из них есть своя тема:

1-я группа исследует геометрический смысл производной;

2-я группа – уравнение касательной к графику функции;

3-я группа – применение производной к исследованию функции;

4-я группа исследует физический смысл производной.

А теперь наши исследователи работают над решением новых задач по своим (проблемам, направлениям) темам. (Карточки-задания на столах).

 

Защита выполненных заданий

Слово предоставляем исследователям. (Все группы выступают по своим темам).

Задание 1-й группе.

1) Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = - x2+ 4x в точке х0=1.

Решение: f ′(х) = - 2х + 4; k = f ′(1) = - 2∙1 + 4 = 2. Ответ: 2.

 

2) Найдите tg α, угла наклона касательной к графику функции f(x) = 2x2 + 8x – 3 в точке х0=-3

Решение: f ′(х) = 4х + 8; tg α = f ′(-3) = 4∙(-3) + 8 = - 4. Ответ: - 4.

Задание 2-й группе.

1) Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) = x3 – 2х в точкеМ (3;3).

Решение: Уравнение касательной .

f ′(x) = х2- 2

f ′(3) = 32- 2 = 7

у – 3 =7(х-3)

Ответ: у = 7х – 18.

 

2) Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x2- 4x + 7 в точке графика с абсциссой х0= 1.

Решение: Уравнение касательной .

у0 = 12 - 4∙1 + 7 = 4

f ′(x) = 2x – 4

f ′(x0) = 2∙1 – 4 = - 2

y – 4 = - 2(x-1)

Ответ: y = - 2x + 6.

Задание 3-й группе.

Найдите критические точки функции f(x) = x3 + 6x2.

Решение: f ′(x) = 3х2 + 12х

f ′(x) = 0 ; 3х2 + 12х = 0 ; 3х(х + 4) = 0 ; х1 = 0 ; х2 = - 4.

Ответ: 0; -4.

Докажите, что функция f(x) = 5x – 12 является возрастающей на всей области определения.

Решение: Df =R ; f ′(x) = 5>0. Функция возрастает.

Докажите, что функция f(x) = - 7x + 11 является убывающей на всей области определения.

Решение: Df =R ; f ′(x) = - 7 < 0. Функция убывает.

 

Что вы можете сказать о производной функции, которую описывает поговорка «Чем дальше в лес, тем больше дров».

Ответ: производная положительна на всей области определения, т.к. эта функция – монотонно возрастающая.

 

Задание 4-й группе.

Задача.  Движение автомобиля во время торможения описывается формулойs(t) = 30t - 5t2,  (s - тормозной путь в метрах, t - время в секундах, прошедшее с начало торможения до полной остановки автомобиля). Найдите, сколько секунд автомобиль находится в движении с момента начала торможения до его полной остановки. Какое расстояние пройдет машина с начала торможения до полной ее остановки?

Решение:  Т.к. скорость есть первая производная от перемещения по времени, тоS’(t) = 30 – 10t,  т.к. при торможении скорость равна нулю, тогда 0=30–10t; 10t=30;t=3(сек). Тормозной путь S(t) = 30t - 5t2=30∙3-5∙32=90-45=45(м).
Ответ: время торможения 3с, тормозной путь 45м.

 

2) Задача. Координата тела меняется по закону х(t) = 5 - 3t2 + 2t3 (м). Определите скорость и ускорение данного тела в момент времени 2 секунды?

Решение:

S = S(t);   Скорость V = S′(t) = x′(t); ускорение а = V′(t) = х″(t).

V(t) = x′(t) = -6t + 6t2; V(2) = -6∙2 + 6∙4 = 12 (м/с);

a(t) = -6 + 12t; a(2) = -6 + 12∙2 = 18(м/с2).

Ответ: V = 12 м/с; а = 18м/с2.

 

Итог урока (рефлексия результативности, настроения)

Подведение итогов занятия

Объявление оценок

Задание на дом

Рефлексия

- Каким вопросам был посвящен урок?

- Чему научились на уроке? 

- Какие теоретические факты обобщались на уроке?

Сегодня на уроке получили следующие оценки: (называю учащихся и оценки).

Задание на дом: § 15, № 208, § 19, 21.

И, наконец, после “всяких умных вещей” немного юмора. На экране представленыграфики зависимости уровня ваших знаний от времени, в интервале от начала урока до его завершения. Пожалуйста, выберите тот график, который, на ваш взгляд, наиболее близок вам, принимая во внимание их разный характер.

- Имеют ли они отношение к теме нашего урока?

- Можно ли по этим графикам судить о скорости приращения наших знаний в ходе урока? – Если – да, то как?

 

 

 

Перед вами карточки.

Если вы считаете, что хорошо потрудились на уроке, разобрались в методах применения производной к решению различных задач, то выбираете карточку № 1.

Если осталось что-то неясно, однако, вы научились вычислять производную, то выбираете карточку № 3.

Если вам урок не понравился и вы для себя ничего нового не узнали, то выбираете карточку № 2.

- Какой же график выбран вами? Если вы выбрали график 1 – это означает, что мы достигли цели и решили задачи, поставленные в начале урока.

Я же довольна сегодняшним уроком, потому что организовала вашу работу так, что вы самостоятельно добыли знания, научились решать практические задания.

Рефлексия настроения.

Ребята, поскольку мы достигли цели нашего урока, то настроение у меня вот такое: (показываю карточку № 1).

- А какое настроение у вас?

В заключение урока я хочу вам прочитать стихотворение:

“Музыка может возвышать или умиротворять душу,

Живопись – радовать глаз,

Поэзия – пробуждать чувства,

Философия – удовлетворять потребности разума,

Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей, а математика способна достичь всех этих целей”.

Так сказал американский математик Морис Клайн.

“Ум заключается не только в знании, но и в умении применять знания на практике” Аристотель

- Итак, вы повторили теоретические вопросы о производной функции, применили свои знания при решении практических задач.

- Мне приятно было с вами работать, и надеюсь, что знания, полученные на уроках математики, вы сможете успешно применить не только при сдаче ЕГЭ, но и в дальнейшей своей жизни.

 

Спасибо за урок!

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 – 11 классов средней школы. / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др., под редакцией А.Н. Колмогорова. – М., 2013
2. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. / Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд – М., Просвещение, 2000
3. Производная и её применение. Дидактические материалы по курсу алгебры и началам анализа (10 – 11 классы). / Санкт-Петербург. Издательство «Свет», 1995

 

Приложение 1

Тест по теме «Производная функции»

Найдите производную функции:

Ответы:
 

у = х – 4

у = х – 

у = х5 + 3х4 -2х –

И 1 + 

Р 3x

3 2x2

Ф 12x2

Ю 

С 1 – 

Я 5х4 +12х3 – 2

К -

Н 

Л x3

М 4x3

 

Ф.И.ученика_________________________________

Номер задания

1

2

3

4

5

6

7

Ответ (буква)
 

Приложение 2

Задание 1-й группе.

1) Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = - x2+ 4x в точке х0=1.

Найдите tg α, угла наклона касательной к графику функции f(x) = 2x2 + 8x – 3 в точке х0=-3

Приложение 1

Задание 2-й группе.

1) Составьте равнение касательной к графику функции f(x) = x3– 2х в точке М (3;3).

2) Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x2- 4x + 7 в точке графика с абсциссой х0= 1.

Приложение 4

Задание 3-й группе.

1) Найдите критические точки функции f(x) = x3 + 6x2.

2) Докажите, что функция f(x) = 5x – 12 является возрастающей на всей области определения.

3) Докажите, что функция f(x) = - 7x + 11 является убывающей на всей области определения.

4) Что бы это значило?

1

(1;5)

+

0

–

?

4

?

?

5) Что вы можете сказать о производной функции, которую описывает поговорка «Чем дальше в лес, тем больше дров».

 

Приложение 5

Задание 4-й группе.

1) Задача.  Движение автомобиля во время торможения описывается формулой s(t) = 30t - 5t2,  (s - тормозной путь в метрах, t - время в секундах, прошедшее с начало торможения до полной остановки автомобиля). Найдите, сколько секунд автомобиль находится в движении с момента начала торможения до его полной остановки. Какое расстояние пройдет машина с начала торможения до полной ее остановки?

2) Задача. Координата тела меняется по закону х(t) = 5 - 3t2 + 2t3 (м). Определите скорость и ускорение данного тела в момент времени 2 секунды?

Задание 1-й группе.

1) Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = - x2+ 4x в точке х0=1.

Решение: f ′(х) = - 2х + 4; k = f ′(1) = - 2∙1 + 4 = 2. Ответ: 2.
 

2) Найдите tg α, угла наклона касательной к графику функции f(x) = 2x2 + 8x – 3 в точке х0=-3

Решение: f ′(х) = 4х + 8; tg α = f ′(-3) = 4∙(-3) + 8 = - 4. Ответ: - 4.

Задание 2-й группе.

1) Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) = x3 – 2х в точкеМ (3;3).

Решение: Уравнение касательной .

f ′(x) = х2- 2

f ′(3) = 32- 2 = 7

у – 3 =7(х-3)

Ответ: у = 7х – 18.

 

2) Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x2- 4x + 7 в точке графика с абсциссой х0= 1.

Решение: Уравнение касательной .

у0 = 12 - 4∙1 + 7 = 4

f ′(x) = 2x – 4

f ′(x0) = 2∙1 – 4 = - 2

y – 4 = - 2(x-1)

Ответ: y = - 2x + 6.

Задание 3-й группе.

 

1. Найдите критические точки функции f(x) = x3 + 6x2.

Решение: f ′(x) = 3х2 + 12х

f ′(x) = 0 ; 3х2 + 12х = 0 ; 3х(х + 4) = 0 ; х1 = 0 ; х2 = - 4.

Ответ: 0; -4.

 

1. Докажите, что функция f(x) = 5x – 12 является возрастающей на всей области определения.

Решение: Df =R ; f ′(x) = 5>0. Функция возрастает.

 

1. Докажите, что функция f(x) = - 7x + 11 является убывающей на всей области определения.

Решение: Df =R ; f ′(x) = - 7 < 0. Функция убывает.

 

1. Что бы это значило?

1

(1;5)

+

0

–

?

4

?

?

Решение: 

а) На промежутке ( -7;1) f ′(x) >0. Функция возрастает.

б) На промежутке (1;5) f ′(x) < 0. Функция убывает.

в) fmax = 4.

1) Что вы можете сказать о производной функции, которую описывает поговорка «Чем дальше в лес, тем больше дров».

Ответ: производная положительна на всей области определения, т.к. эта функция – монотонно возрастающая.

Задание 4-й группе.

Задача.  Движение автомобиля во время торможения описывается формулойs(t) = 30t - 5t2,  (s - тормозной путь в метрах, t - время в секундах, прошедшее с начало торможения до полной остановки автомобиля). Найдите, сколько секунд автомобиль находится в движении с момента начала торможения до его полной остановки. Какое расстояние пройдет машина с начала торможения до полной ее остановки?

Решение:  Т.к. скорость есть первая производная от перемещения по времени, тоS’(t) = 30 – 10t,  т.к. при торможении скорость равна нулю, тогда 0=30–10t; 10t=30;t=3(сек). Тормозной путь S(t) = 30t - 5t2=30∙3-5∙32=90-45=45(м).
Ответ: время торможения 3с, тормозной путь 45м.

2) Задача. Координата тела меняется по закону х(t) = 5 - 3t2 + 2t3 (м). Определите скорость и ускорение данного тела в момент времени 2 секунды?

Решение:

S = S(t);   Скорость V = S′(t) = x′(t); ускорение а = V′(t) = х″(t).

V(t) = x′(t) = -6t + 6t2; V(2) = -6∙2 + 6∙4 = 12 (м/с);

a(t) = -6 + 12t; a(2) = -6 + 12∙2 = 18(м/с2).

Ответ: V = 12 м/с; а = 18м/с2.