12+  Свидетельство СМИ ЭЛ № ФС 77 - 70917  Пользовательское соглашение      Контактная и правовая информация
 
Педагогическое сообщество
УРОК.РФ
УРОК
Материал опубликовал
Алексей2006
Учитель информатики, заместитель директора по УВР
Россия, Иркутская обл., Ангарск

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ИРКУТСКОЙ ОБЛАСТИ

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «СОШ №11»

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение «Ангарский лицей №1»

Элементы линейной алгебры

элективный курс

Лобанов Алексей Александрович – учитель информатики МБОУ «СОШ №11»

Лобанова Татьяна Юрьевна – учитель информатики МАОУ «Ангарский лицей №1»

Ангарск

2016

ПАСПОРТ

на авторскую образовательную программу

1 раздел (заполняется автором программы)

а) Лобанов Алексей Александрович учитель информатики муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 11», г. Ангарск, ул. Трактова,15

Лобанова Татьяна Юрьевна – учитель информатики муниципальное автономное общеобразовательное учреждение «Ангарский лицей №1», г. Ангарск, ул. Московская,45

б) математика и информатика__________________________________________________

предметная область

в) 10 или 11 классы____________________________________________________________ для каких классов предназначена

г) с 2004/2005 учебного года_____________________________________________________

с какого времени программа используется

д) программа является актуальной и направлена на профильное обучение учащихся старшего звена, а также раскрывает перед учащимися тесную межпредметную связь предметов математика и информатика__________________________________________

авторская оценка программы

2 раздел (заполняется администрацией образовательного учреждения)

а) данная программа способствует привлечению учащихся старших классов к изучению математики, так как авторы постарались учесть современные тенденции в обучении с использованием информационных технологий.______________________________________

оценка программы

б) данная программа используется как элективный курс по выбору____________________

где учебная программа используется

в) программа является углубляющей, так как содержит материал выходящий за рамки школьной программы. _______________________

тип программы: развивающая, углубляющая, коррекционная, региональная

3 раздел ( заполняется методической службой городских отделов образования)

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________

4 раздел (заполняется экспертом на основании Положения об авторских

и адаптированных программах)

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Начальнику Управления образования АГМО

Лысак Л.И., председателю муниципальной экспертной комиссии

Представление

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №11»

(полное название выдвигающей организации с указанием ведомственной принадлежности или формы собственности)

 

представляет авторскую программу «Элементы линейной алгебры»

(название учебного модуля или программы)

Прошу пролонгировать действие программы «Элементы линейной алгебры» авторского коллектива учителей информатики высшей квалификационной категории Лобанова А.А. и Лобановой Т.Ю. утверждённую решением муниципального экспертного совета по инновационной деятельности учреждений дошкольного, общего и дополнительного образования Управления образования администрации Ангарского муниципального образования №818-п от 20.06.2011 года

Обоснование:

Потребность в продолжении изучения данного курса в школах АГО существует, так как существующие программы по математике или информатике отстали от социального заказа, существует очень мало интегрированных программ в старшей школе на основе знаний приобретаемых в высшей школе в сочетании с предметными областями математика и информатика старшей ступени обучения средней школы.

Данная программа востребована учителями информатики АГО и используется для реализации в образовательных учреждениях АГО. Данная программа является программой сверх стандарта образования и направлена на учащихся профильных классов или школ с углубленным изучением математики, информатики, экономики. Новыми результатами в обучении будут: более высокий уровень знаний умений и навыков, развитие мировоззрения, экономия времени при умении применять современные методы обработки информации, повышении уровня учебной мотивации. Данная программа обеспечивает: самообразование личности ребёнка, индивидуализацию и дифференциацию обучения, а также творческий подход к изучению. Элективный курс сопровождается учебным пособием для учащихся, который включает, краткое изложение основных вопросов теории курса, практикум и индивидуальные работы.

Руководитель организации ___________________ /Демидова Т.А./

М.П. (подпись) (ФИО)

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Авторы: Лобанов А.А., Лобанова Т.Ю. учителя информатики высшей категории.

Название курса: «Элементы линейной алгебры»

Классы: 10 или 11

Количество часов в неделю: 1 час (всего 34 учебных часа)

Образовательная область: «Математика»

Актуальность. В соответствии с «Концепцией модернизации российского образования на период до 2020 года», где основным из направлений модернизации является профильность старшей школы, возникает потребность в модернизации образования, что не возможно без пересмотра существующих программ или создания новых. Введение данного курса, несомненно, скажется на конкурентоспособности образовательного учреждения (в том числе и учащегося) на образовательном рынке.

Ведущий подход, который был использован при разработке курса, можно выразить в таком лозунге:– «С математикой – к ученику посредством раскрытия её с неожиданной стороны».

Потребность в создании данного курса возникла, так как существующие программы по математике или информатике отстали от социального заказа, существует очень мало интегрированных программ в старшей школе на основе знаний приобретаемых в высшей школе в сочетании с предметными областями математика и информатика старшей ступени обучения средней школы. Информатика, быстро развивающаяся и меняющаяся наука, поэтому авторы программ не всегда успевают за реалиями времени. Исходя из исследований проведённых в школе родители и учащиеся в большей степени (чем учителя) хотят изучения нового. Так при анкетировании родителей и учащихся школы выяснилось, что 72 % социальных заказчика образовательных услуг желают изучать информатику углубленно за рамками школьной программы. Данная программа создана на основании собственных подходов и опыта педагогической деятельности по математике в высшей школе (Ангарская государственная техническая академия) и информационных технологий в средней школе. Особенность программы заключается в том, что учащиеся старшей ступени на одну ступеньку становятся ближе к высшей школе. Необходимость интеграции программ старшей школы и высшей обуславливается более тесной связью при профильном обучении учащихся. Так учащиеся смогут в школе более чётче определится с выбором профессии, психологически будут готовы к обучению по программам высшей школы, получат первоначальные знания из области математика по программе высшей школы. Обработка матричных вычислений рассматривается с двух сторон: со стороны законов математики и со стороны новых информационных технологий. Данная программа является программой сверх стандарта образования и направлена на учащихся профильных классов или школ с углубленным изучением математики, информатики, экономики. Новыми результатами в обучении будут: более высокий уровень знаний умений и навыков, развитие мировоззрения, экономия времени при умении применять современные методы обработки информации, повышении уровня учебной мотивации. Данная программа обеспечивает: самообразование личности ребёнка, индивидуализацию и дифференциацию обучения, а также творческий подход к изучению. Элективный курс сопровождается учебным пособием для учащихся, который включает, краткое изложение основных вопросов теории курса, практикум и индивидуальные работы.

С научной точки зрения данный элективный курс является связующим звеном между традиционными методами обработки числовой информации и новыми тенденциями обработки информации с применением информационных технологий.

Авторы считают, что введение данного элективного курса для изучения учащимися третьей ступени обучения позволит в ходе изучения курса расширить знания учащихся в тех предметных областях, на которых базируется данный элективный курс. Что позволит максимально реализовать межпредметные связи, послужит средством профессиональной ориентации, и будет служить целям профилизации обучения на старшей ступени обучения. Новизна курса заключается в раскрытии учащимся различных способов (традиционных и информационных) для изучения математики. В нашем образовательном учреждении необходимость изучения данного курса обусловлена введением информационно-технологического профиля.

Цель элективного курса – развитие представлений об одном из математических аппаратов обработки данных – матричное исчисление, формирование целостной базы для продолжения математического образования в вузах различного профиля, научить умению интегрировать знания, полученные в различных научных областях при изучении какого-либо проблемного вопроса.

Задачами курса – являются:

Формирование и развитие представлений учащихся об основных действиях с матрицами (сложение, умножение на скаляр, перемножение матриц, транспонирование матриц), об основных способах вычисления определителей матриц, о способе решения системы линейных уравнений методом Крамера

Расширить представления учащихся о сферах применения математики

Актуализации знаний понятийно-терминологической базы математического языка

Выделение различных видов взаимосвязей между математикой и информатикой

Формирование умения работать самостоятельно с дополнительной литературой на основе базовых знаний полученных на уроках математики и информатики.

Критерии отслеживания результатов обучения:

Как и любая учебная программа, элективный курс предусматривает критерии, по которым будет отслеживаться результат изучения и достижение цели курса. Первым и основным критерием является уровень обученности и качества обученности учащихся, который отслеживается на протяжении всего элективного курса через домашние работы и на завершающем этапе через индивидуальные контрольные работы. Следующим критерием будет являться оценка уровня мотивации к дальнейшему изучению дисциплин связанных с математикой и информатикой и профессиональным самоопределением. Этот фактор отслеживается через тестирование учащихся на конечном уровне обучения (через цветовой рейтинг успешности элективного курса и методику Г.Н. Казанцевой предназначенной для качественного анализа причин предпочтения тех или иных предметов и мотивации к учению).

Состав учебно-методического пособия. Учебно-методическое пособие по элективному курсу «Элементы линейной алгебры» содержит необходимый теоретический материал по матричному исчислению и системам линейных уравнений, а также примеры применения электронных таблиц для вычисления матриц, определителей и решения систем линейных уравнений. После каждого занятия учащимся предлагается домашнее задание на закрепление изученного. Учебное пособие предусматривает выполнение творческих домашних заданий, а именно, разгадывание кроссворда по темам элективного курса и разгадывание ребусов.

Компьютерный практикум. В учебном пособии предусмотрены компьютерные практикумы и подробно даны указания по их выполнению. Компьютерный практикум так же предусматривает контроль за правильностью выполнения домашних работ, выполненных с помощью математических расчётов. Тем самым учащиеся могут провести самопроверку своих результатов.

Индивидуализация обучения. Учебно-методическое пособие содержит задания для индивидуального выполнения из 10 вариантов. Так же учащимся предлагается решение типового варианта с разбором примеров на средний уровень обученности.

Контроль знаний и умений. Текущий контроль уровня усвоения материала осуществляется по результатам выполнения учащимися домашних работ. Итоговый контроль реализуется в форме решения индивидуальных контрольных работ. В начале курса учащиеся получают номер своего варианта и в процессе изучения могут наряду с выполнением домашних работ выполнять и индивидуальные контрольные задания. Контроль знаний по компьютерному практикуму осуществляется непосредственно в кабинете информатики. На последнем занятии курса проводится творческая работа по разгадыванию кроссворда и ребусов.

Организация учебного процесса. Учебно-методический комплекс предусматривает организацию учебного процесса в двух взаимосвязанных и взаимодополняющих формах:

урочная форма, в которой учитель объясняет новый материал и консультирует учащихся в процессе выполнения ими практических заданий на компьютере;

внеурочная форма, в которой учащиеся после уроков (дома или в школьном компьютерном классе) самостоятельно выполняют практические задания.

Содержание курса.

Введение. Цели и задачи курса.

Цель: мотивация учащихся к осознанному изучению выбранного элективного курса.

п./п.

Содержание части

1.

Постановка проблемной задачи. История развития матричного исчисления. Примеры применения матричного аппарата в школе, жизни и экономике (см. приложение).

Часть 1. Исходные понятия элективного курса

Цель: обучение учащихся основным способам обработки матриц, определителей и решению систем линейных уравнений и вычислительных навыков. Развитие кругозора учащихся.

п./п.

Содержание части

Знания, умения и навыки учащихся

1.

Определение матрицы. Виды матриц (прямоугольная, квадратная, единичная, нулевая, транспонированная, обратная).

Знать: понятия матрицы и их виды

Уметь: распознавать виды матриц и их размерность

2.

Умножение матрицы на число. Сложение матриц. Вычитание матриц. Свойства матриц. Решение примеров на свойства матриц

Знать: правило умножения матрицы на число, свойства матриц

Уметь: умножать матрицу на число и применять свойства матриц

3.

Основное правило умножения матриц. Умножение квадратных матриц. Умножение прямоугольных матриц. Умножение орт матриц. Свойства произведения матриц.

Знать: правило перемножения матриц, свойства произведения матриц

Уметь: перемножать матрицы и применять свойства умножения матриц при решении матричных многочленов

4.

Понятие определителя второго порядка. Вычисление определителей второго и третьего порядка. Правило разложения определителей. Свойства определителей.

Знать: определение определителей, правило вычисления определителей

Уметь: вычислять определители второго и третьего порядка (двумя способами)

5.

Понятие обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений

Знать: определение обратной матрицы, её условную запись, формулу нахождения обратной матрицы

Уметь: вычислять обратную матрицу

6.

Системы линейных уравнений. Метод Крамера для решения систем линейных уравнений.

Знать: понятия видов систем линейных уравнений, суть метода Крамера

Уметь: решать системы линейных переменных методом Крамера

7

Нахождение коэффициента затрат, конечного продукта и совокупного продукта

Знать: понятия конечного продукта, коэффициента затрат, алгоритм вычисления

Уметь: составлять математическую модель экономической задачи

Часть 2. Применение информационных технологий для обработки математических расчётов

Цель: сформировать у учащихся навыки обработки вычислительных алгоритмов с помощью применения информационных технологий. Развивать умения учащихся при работе с компьютером.

п./п.

Содержание части

Знания, умения и навыки учащихся

1

Алгоритм транспонирования матриц

Знать: алгоритм создания вычисления транспонированной матрицы

Уметь: вычислять транспонированную матрицу средствами МS EXSEL

2

Алгоритм нахождения обратной матрицы

Знать: алгоритм нахождения обратной матрицы

Уметь: находить обратную матрицу средствами МS EXSEL

3

Алгоритм сложения и вычитания матриц

Знать: алгоритм сложения и вычитания матриц

Уметь: находить сумму и разность матриц средствами МS EXSEL

4

Алгоритм умножения матриц

Знать: алгоритм вычисления произведения матриц

Уметь: находить произведение матриц средствами МS EXSEL

5

Алгоритм решения систем линейных уравнений

Знать: алгоритм решения систем линейных уравнений

Уметь: решать систему линейных уравнений средствами МS EXSEL

Требования к знаниям и умениям учащихся.

После изучения курса учащиеся должны уметь:

производить действия над матрицами, находить обратную матрицу;

вычислять определители второго и третьего порядков, использовать свойства определителей;

решать системы линейных уравнений методом Крамера;

составлять математическую модель экономической задачи;

проводить компьютерные вычисления матриц и систем линейных уравнений с использованием электронных таблиц EXCEL

Ожидаемые результаты.

Основными результатами освоения содержания элективного курса учащимися может быть определённый набор знаний и умений (как общеучебных, так и связанных с выделенной предметной областью на стыке математики и информатики). А именно, предметные умения: производить действия над матрицами, находить обратную матрицу; вычислять определители второго и третьего порядков, использовать свойства определителей; решать системы линейных уравнений методом Крамера; проводить компьютерные вычисления матриц и систем линейных уравнений с использованием электронных таблиц EXCEL, общеучебные умения: работа с книгой и дополнительными источниками информации, оформление контрольных работ, а также осознанный выбор других факультативных или элективных курсов, и обдуманный выбор профессии для осуществления жизненных планов учащегося.

Возможные критерии оценок

Критерии по выставлению оценок могут быть следующими:

Оценка «отлично» - учащийся блестяще усвоил теоретический материал курса, получил навыки его применения при решении, конкретных задач, примеров. В процессе выполнения домашних работ и индивидуальных контрольных работ продемонстрировал умение работать с дополнительной литературой; отличался активным участием при обсуждениях проблем, поставленных и решаемых в данном курсе; кроме того, ученик отличился творческим подходом и большой заинтересованностью как при освоении курса в целом, так и при выполнении порученных ему учителем заданий. Он научился работать с использованием информационных технологий, очевиден и несомненен его интеллектуальный рост и рост его общих умений.

Оценка «хорошо» - учащийся освоил идеи и методы данного курса в такой степени, что может справиться со стандартным заданием, при выполнении домашних работ проявил компилятивные способности, (выполнил их полностью, но без проявления творческих способностей). Можно сказать, что оценка «хорошо» - это оценка за усердие и прилежание, которые привели к определённым положительным результатам, свидетельствующие и об интеллектуальном росте, и о возрастании общих умений слушателя курса.

Оценка «удовлетворительно» - учащийся освоил наиболее простые идеи и методы курса, что позволило ему выполнить задания индивидуальных контрольных работ на уровень, оцениваемый оценкой «удовлетворительно»

Оценка «неудовлетворительно» - ученик не проявил ни прилежания, ни заинтересованности в освоении курса (скорее всего выбор этого курса для него оказался ошибкой). Он халатно отнёсся к выполнению домашних работ, уклонялся от участия в обсуждении проблемы, в итоговых контрольных работах не сумел выполнить все задания среднего уровня.

Предусматривается замена контрольных работ выполнением проектной работы. Составление бизнес плана фирмы, или какой- либо экономической (практической) задачи, решение которой требует использование аппарата линейной алгебры или компьютерной обработки числовых данных. Защита проектной работы осуществляется виде презентации проекта перед слушателями элективного курса.

Тематическое планирование курса

п./п.

Тема

Количество часов

Вид занятия

1

Вводный урок

Постановка проблемной задачи. История развития матричного исчисления. Примеры применения матричного аппарата в жизни и промышленности.

1

Лекционно-практическое

2

Понятие матрицы.

Определение матрицы. Виды матриц (прямоугольная, квадратная, единичная, нулевая, транспонированная, обратная)

1

Лекционно-практическое

3

Основные действия с матрицами.

Умножение матрицы на число. Сложение матриц. Вычитание матриц. Свойства матриц. Решение примеров на свойства матриц

3

Лекционно-практическое

4

Умножение матриц.

Основное правило умножения матриц. Умножение квадратных матриц. Умножение прямоугольных матриц. Умножение орт матриц. Свойства произведения матриц.

3

Лекционно-практическое

5

Определители матриц.

Понятие определителя второго порядка. Вычисление определителей второго и третьего порядка. Правило разложения определителей. Свойства определителей.

3

Лекционно-практическое

6

Обратная матрица.

Понятие обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений.

3

Лекционно-практическое

7

Матрицы в экономическом приложении

Нахождение коэффициента затрат, конечного продукта и совокупного продукта

3

Лекционно-практическое

8

Примеры применения электронных таблиц в матричном исчислении

Транспонирование матриц, нахождение обратной матрицы, сложение и вычитание матриц, умножение матриц, нахождение определителя, с помощью электронных таблиц EXCEL.

3

Лабораторно- практическая работа

9

Системы линейных уравнений.

Понятие систем линейных уравнений, виды систем линейных уравнений. Способы решения систем линейных уравнений. Метод Крамера.

4

Лекционно-практическое

10

Применение электронных таблиц при решении систем линейных уравнений

Решение системы линейных уравнений с использованием электронной таблицы EXCEL.

3

Лабораторно- практическая работа

11

Контрольная работа № 1

Выполнение индивидуальной работы по средствам матричного исчисления.

2

Индивидуальная практическая работа

12

Контрольная работа №2

Выполнение контрольной работы с использованием информационных технологий.

2

Индивидуальная лабораторно-практическая работа

13

Заключительное занятие элективного курса

Конкурс на разгадывание кроссворда и ребусов. Создание собственных ребусов, загадок.

3

Игровое занятие

14

Всего часов:

34

 

Фрагмент учебного пособия.

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ

Определитель матрицы А – это число, которое ставится в соответствие матрице А, обозначается |А| или detA. Порядок квадратной матрицы А число n называется порядком определителя. Рассмотрим сначала определители второго и третьего порядка.

Пусть.

Определителем такой матрицы будет число detA, полученное из элементов матрицы А по следующему правилу:

Например, определителем матрицы будет

Рассмотрим определитель третьего порядка

т.е. вычисление определителя третьего порядка сводится к вычислению определителя второго порядка

Правило разложения определителя по первой строке: вычёркиваем первую строчку и поочерёдно мысленно первый столбец. Элемент, получившийся в пересечении записываем вперёд перед определителем второго порядка, который получается из оставшейся части (которую называют алгебраическим дополнением). Затем первый столбец возвращаем, вычёркиваем второй и т.д.

Знак выносимого перед определителем второго порядка элемента определяется чётностью индекса, например

- чётное значит, ставим знак «+», -нечётное значит знак «-»

Например, определитель

ЗАМЕЧАНИЕ. Выше описанным способом можно разложить определитель любого порядка, по любой его строке или столбцу.

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

При умножении всех элементов некоторой стоки матрицы на число определитель исходной матрицы умножается на это число.

Определитель матрицы с нулевой строкой (столбцом) равен нулю.

При перестановке двух строк местами определитель меняет знак.

Если две строки определителя равны (пропорциональны) то определитель равен нулю.

При транспонировании матриц её определитель не меняется.

Например, по свойству 2

по свойству 4 т.к. первая строка пропорциональна третьей (коэффициент пропорциональности равен 3)

Задание на дом:

1) Вычислите определители

2) Найдите

3) С помощью матрицы А докажите выполнение свойств 1,3,5

Список использованной литературы:

  1. Беклемешев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.- М.: Наука,1980
  2. Боревич З.И.. Матрицы и определители. М.:- Наука,1984
  3. Горячев А., Шафрин Ю. Практикум по информационным технологиям. М.: «Лаборатория базовых знаний»,2001
  4. Цисарь И.Ф. Лабораторные работы на персональном компьютере». М.: «Экзамен»,2002
  5. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М., 1977
  6. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М., 1966
  7. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М., 1966
  8. Щипачёв В.С. Высшая математика. М., 1998

Список рекомендуемой литературы для учащихся:

  1. Беклемешев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.- М.: Наука,1980
  2. Бугров Я.С. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука,1980
  3. Боревич З.И.. Матрицы и определители. М.:- Наука,1984
  4. Горячев А., Шафрин Ю. Практикум по информационным технологиям. М.: «Лаборатория базовых знаний»,2001
  5. Цисарь И.Ф. Лабораторные работы на персональном компьютере». М.: «Экзамен»,2002

Список рекомендуемой литературы для учителей:

1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М., 1977

2. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М., 196

3. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М., 1966

4. Беклемешев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.- М.: Наука,1980

5. Ахиезер Д.Н., Красновская И.А. Линейная алгебра: Методические указания. М.: МИСИ,1985

6. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. М., 1974

7. Щипачёв В.С. Высшая математика. М., 1998

Приложение

Вводный урок

Широкое применение математических методов в самых различных областях науки и техники, экономики и в практической деятельности инженеров предъявляет повышенные требования к изучению математических приёмов. Особенно важны методы и приёмы линейной алгебры, наиболее простые и важные мы рассмотрим с вами в рамках нашего элективного курса. В задачи нашего курса входит ознакомление с действиями над матрицами, изучение определителей, и в конечном счете исследование систем линейных уравнений.

Что такое система линейных уравнений вы впервые познакомились в 7-ом классе, где научились решать системы двух линейных уравнений, затем научились решать системы линейных уравнений содержащие вторую степень, тригонометрическую, логарифмическую и показательные функции. Но все он содержали две, иногда три переменные. Мы же в рамках нашего элективного курса научимся решать системы линейных уравнений, которые теоретически могут содержать от 3х до n переменных.

Изучение курса начнётся с знакомства с новым математическим понятием, имеющими много численные приложения к экономике и бизнесу, - понятием матрицы. Ближе всего к этому понятию стоят хорошо всем известные обычные таблицы. Начнём по этому не с определений, а конкретного примера.

Предположим, что некоторая фирма – поставщик производит и реализует два вида тваров: товар 1 и товар 2. Поставки осуществляются еженедельно трём различным фирмам покупателям, назовём их фирма 1, фирма 2, фирма3. Схема поставок следующая: товар 1 поставляется фирмам 1-3 в количестве 3,7 и 2 соответственно, а товар 2 - в количестве 5,8 и 5. Для контроля поставок удобно составить следующую таблицу.

Товар

Количество товара, поставляемого фирме

1-фирма

2 - фирма

3-фирма

1 - товар

3

7

2

2 - товар

5

8

4

Смысл этой простой таблицы очевиден: если, например, нас интересует количество товара 1, поставляемого фирме 2, достаточно взять пересечение соответствующих строки и столбца, что сразу даёт количество поставляемого товара – 7. Если теперь убрать названия строк и столбцов, а оставшуюся часть таблицы обозначить через А и изобразить в виде

, мы получим пример того, что в математике называется матрицами. Предположим, что фирма 3 обанкротилась, что приведёт к исчезновению соответствующего столбца. Опуская названия и обозначая оставшуюся часть таблицы через В, получим ещё один пример матрицы.

.

Для руководителей фирм представляет интерес не только информация о недельных поставках, но и суммарный объём продаж за две недели или более. Очевидно, если в первую неделю товар 1 поставлялся фирме 2 в количестве 7, а во вторую неделю соответственно в количестве 5, то за две недели фирма получит 12 единиц товара 1, если фирм очень много, то расчёты удобнее производить оформлением в матрицы. Если поставки товара не менялись весь месяц, то понятно, что объём поставок можно посчитать простым умножением на количество недель, например, 4.

.

Предположим, фирма приобретает три вида товаров G1,G2,G3 в количестве 70,120,110 соответственно, что можно изобразить вектор-строкой G=(70 120 110). Цена G1 составляет 12 за единицу товара, цена G2 -17 и цена G3 -9, что соответственно можно изобразить вектор-столбцом .

Спрашивается, каковы общие затраты фирмы на приобретение этих товаров по указанным ценам. Ответ очевиден: надо просто умножить количество каждого товара на соответствующие цену и сложить промежуточные результаты, что даёт 70*12+120*17+110*9. Эту последовательность действий можно изображать и в матричном виде (особенно, если большое количества товаров и соответственно цен на них): . Линиями попарно соеденены числа из вектор-строки и вектор-столбца, которые перемножаются.

Тем самым над матрицами можно проводить операции сложения, вычитания, умножения на число и перемножения матриц. Как это делается, мы с вами узнаем, изучив данный элективный курс.

Основной задачей при математическом моделировании экономических процессов является задача создания модели межотраслевого баланса. Эта модель названа моделью Леонтьева* (по имени её создателя) и активно используется для управления народным хозяйством.

Пусть в экономике страны взаимодействует n отраслей. Каждая отрасль выпускает некоторый продукт, причём его производства используется продукция других отраслей.

Обозначим объём продукции i –й отрасли, необходимый для производства единицы продукции j-й отрасли. Получим элемент aij. Так как таких отраслей множество, то можем получить прямоугольную или квадратную таблицу чисел

Среди элементов матрицы могут быть и нулевые. Например, если а36=0, то это значит, что для производства продукции 3-й отрасли продукция 6-ой отрасли не используется. Рассмотрим некоторый промежуток времени, например, год или месяц. Тогда составим план –вектор валового выпуска продукции за это промежуток времени.

, где х1- единиц продукции выпускает 1-ая отрасль, 2-ая отрасль за это время выпустит х2 единиц продукции, и, вообще j-ая отрасль выпустит хj единиц своего продукта. Выпускаемая продукция потребляется другими отраслями, т.е. часть выпуска

* В.В. Леонтьев родился в 1906 году в Петербурге, живёт с 1925 года за границей (сейчас в США), получил в 1973 году Нобелевскую премию за вклад в решение экономических проблем

каждой продукции затрачивается для производства. Подсчитаем, например, сколько единиц продукта i-й отрасли пойдёт на выпуск плана : - столько единиц продукции i-ой отрасли пойдёт на выпуск х1 единиц первой отрасли, - на производство х2 единиц продукта 2-й отрасли и так далее. Полные затраты i-ой отрасли составят величину.

Так же можно отыскать конечный спрос на продукцию, подсчитать затраты на производство всех отраслей. Выяснить продуктивность составленной модели- системы. Данный объём работы очень велик. Так например Американская система использует матрицу А размером 450 на 450.

Занятие 7

Матрицы в экономическом приложении

Иногда используется термин «конечный спрос», чтобы подчеркнуть: в рыночной экономике только товар, «нашедший» покупателя, обладает стоимостью. Себестоимость товара никого не интересует, кроме тех, кто этот товар произвёл.

Рассмотрим, пример поясняющий сказанное.

Пусть производители состоят из двух фирм: фирма 1 и фирма 2. Предположим, что совокупный продукт, выпускаемый фирмой за год, составляет в стоимостных объёмах 400. Для производства используется продукция собственных подразделений фирмы 1 в объёме 40 и закупленных у фирмы 2 в объёме 320. Аналогичные цифры для фирмы 2 таковы: совокупный продукт – 500, поставки собственных подразделений -100, закупки у фирмы 1 -200.

Таким образом, фирма 1 поставляет самой себе 40 единиц и фирме 2 – 200 едениц. Если из совокупного продукта фирмы 1 равного 400, вычесть эти две величины (промежуточный продукт), то получим конечный продукт*, в данном случае равный 160: 400-40-200=160.

Аналогично рассуждаем про вторую фирму: 500-100-320=80

Полученные результаты можно наглядно представит в виде схемы, изображённой на рисунке

40 ФИРМА 1 400 160

Конечный продукт

320 200

100 ФИРМА 2 500 80

Конечный продукт

Здесь стрелками обозначены все стоимостные потоки, а числами величины этих потоков. Числа в прямоугольниках показывают совокупный продукт каждой фирмы. Данная модель называется «затраты-выпуск» или модель межотраслевого баланса.

Далее удобнее перейти к нормированным величинам. Другими словами, к затратам, отнесённым к единице (в стоимостном выражении) продукции. Для нашей задачи это можно пояснить с помощью таблицы:

Товар

Поставки фирме

1-фирма

2 - фирма

1 - товар

0,1

0,4

2 - товар

0,8

0,2

Здесь первый столбец показывает, что для производства единицы продукции фирме 1 необходимы поставки от фирмы 1 (самой себе0 в размере 01, а от фирмы 2 в размере 0,8. Действительно разделив поставки фирмы 1 самой себе (400 на совокупный доход фирмы 1 9400), получаем . Аналогично для поставок фирмы 2 на единицу продукции фирмы 1 Второй столбец соответственно относится к поставкам фирме 2 для производства единицы продукции. Если опустить наименования, то таблицу можно записать в виде матрицы

, где элементы матрицы А называются коэффициентами прямых затрат.

Обозначим через х1 и х2 совокупный продукт фирм 1 и 2 соответственно, а конечный продукт – через у1 и у2 соответственно, то будем иметь систему линейных уравнений , которая связывает производство на каждой фирме друг с другом и конечным спросом. Эту систему уравнений можно записать в более компактном виде:

.-уравнение Леонтьева

Очень часто требуется определить конечный продукт каждой отрасли, если известны объёмы совокупных продуктов и матрица коэффицентов прямых затрат. Для решения достаточно выразить из уравнения Леонтьева матрицу У: У=Х-АХ.

Пусть совокупный доход фирмы 1 равен 200, а фирмы 2 -300. В этом случае

, подставляем в уравнение сразу находим У: . Таким образом конечный продукт фирмы 1 равен 60, фирмы 2 -80.

Перейдём более трудной обратной задаче –определение совокупного продукта по известному конечному продукту. Воспользуемся уравнением Леонтьева, Х-АХ=У. Перепишем это равенство в виде (Е-А)Х=У. Умножим обе части матрицы но матрицу обратную к (Е-А). Тогда по определению обратной матрицы получим: .

Вернёмся к нашему примеру, предположим, что конечный продукт фирмы 1 должен составлять 70, а фирмы 2 -120. Требуется определить необходимый совокупный продукт для каждой фирмы. Матрица коэффициентов прямых затрат А предполагается известной . Для решения находим матрицу и вычисляем для неё обратную