Рабочий лист по теме «Логарифмические уравнения»

Логарифм положительного числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b

Область допустимых значений логарифма: b>0, а>0, а1.

Основное логарифмическое тождество: .

Свойства логарифмов

0 (логарифм единицы по любому основанию равен нулю).

(логарифм а по основанию а равен 1).

 (логарифм произведения равен сумме логарифмов).

 (логарифм частного равен разности логарифмов).
(логарифм степени).

Формула перехода к новому основанию:

Простейшие логарифмические уравнения

1.Решите уравнение: 

Основания логарифмов равны, сами логарифмы тоже равны – значит, равны и числа, от которых они берутся.

Обычно ученики запоминают это правило в краткой формулировке: «Отбросим логарифмы!». Мы «отбрасываем логарифмы» пользуясь свойством монотонности логарифмической функции.

Получаем:

23 + x=5 

x=5-23

x=-18

Ответ: -18

Решая логарифмические уравнения, не забываем про область допустимых значений логарифма. Помним, что выражение   определено при b>0, а>0, а1. Найдя корень уравнения, подставьте его в уравнение. Если после такой подстановки левая или правая часть уравнения не имеют смысла – значит, найденное число не является корнем уравнения и не может быть ответом задачи.

2. Решите уравнение: 

В левой части уравнения – логарифм, в правой – число 5. Применив основное логарифмическое тождество, представим число 5 в виде .

х - 4 = 32

х = 36

Проверку выполните самостоятельно.

Ответ: 36.

3. Решите уравнение: 

Видите число 3 перед логарифмом в правой части уравнения? Сейчас оно мешает нам «отбросить логарифмы». Что с ним сделать, чтобы в левой и правой частях были просто логарифмы по основанию 5? Конечно же, поможет формула для логарифма степени.

10-х=8

-х=8-10

-х=-2

х=2 

Проверку выполните самостоятельно.

Ответ: 2.

4. Решите уравнение: 

Область допустимых значений: 7+х > 0, значит х > -7. 

Представим 2 в правой части уравнения как   чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

Функция   монотонно возрастает, и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом не забываем, что х > -7. 

7+х=25

х=25-7

х=18

Ответ: 18.

Самостоятельная работа

Найдите значения следующих логарифмов:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и) =

к)

л)

м)

Вычислите, используя свойства логарифмов:

Решите уравнения: