Решение олимпиадных задач по темам «Делимость» и «Квадратный трёхчлен»

Решение олимпиадных задач

по темам «Делимость» и «Квадратный трёхчлен»

Урок-лекция Математическое творчество на примере темы «Делимость чисел».

За 1-2 часа невозможно показать всё многообразие идей и методов решения задач, особенно олимпиадных. На нашем занятии я хочу показать вам не только как решать задачи, но и показать, как они рождаются. Ведь придумать и решить свою новую задачу интереснее, чем решить готовую. Это творческий процесс, а Математика — это простор для полёта фантазии.

Начнём с разминки. Вы знаете, что все натуральные числа, кроме 1, делятся на простые и составные. Простые числа делятся нацело только на самих себя и на единицу. Если у числа есть хотя бы один другой (неравный самому себе и единице) делитель, то оно является составным. Доказать, что число простое гораздо труднее, чем доказать, что число составное. Приведу примеры.

№1. Простыми или составными являются числа? а) 2019=3·673 – составное (нам это ещё пригодится). б) 2017 –простое (Вспомнить критерий простоты числа). в) 20172 +1 - число чётное, а, значит, составное. Заметим, чтобы придумать своё интересное составное число, нужно к 20172 прибавить любое нечётное, так появляется задача: простое или составное число 20172 + 20192019? г) 20172 – 4. Это число нечетно, а поэтому может оказаться простым, но ведь это разность квадратов, поэтому оно будет делиться на каждую из скобок (2017-2)·(2017+2), то есть это число поделится на 2019 и является составным. Что можно поменять в числе г), чтобы идея решения осталась той же, а число стало «интереснее»: 20172018 -4 – составное. д) 22019 +1. Вспомним, что 2019=3·673, поэтому 22019 +1=(2673)3 +1 – сумма кубов, которая раскладывается на две скобки, каждая из которых является делителем, а значит это составное число. Попробуйте на основе вышеизложенных идей придумать свои составные «необычные» числа.

Проверять число на простоту помогают признаки делимости. В школе изучаются многие из них, например, на 2,5,3,9. Несложные признаки делимости на 4 и 8. Из любой пары взаимно простых чисел можно получить путём их перемножения новые признаки: на 6 (если делится на 2 и 3) на 15 (если делится на 3 и 5). Подчеркну, что это работает только для взаимно простых пар. Утверждение: если число делится на 2 и на 4, то оно поделится на 8 неверно. Интересны признаки делимости на 7 и 11 – почитайте о них сами. Вообще, в теории чисел есть теорема Паскаля, которая позволяет найти признак делимости на любое число, правда для больших чисел проще посчитать в столбик, чем пользоваться этой теоремой.

№2. Можно ли получить пятизначное число простое число, переставляя цифры 1, 2, 3, 4 и 5? Сумма цифр в любом таком числе равна 15, значит, любое такое число поделится на 3, а, значит, будет составным, а простое получить нельзя. С этой задачей тесно связана такая задача.

№3. Запись натурального числа состоит из одной «1», двух «2 «, трёх «3» и т.д. девяти «9». Может ли оно быть точным квадратом? Его сумма цифр равна 285 делится на 3, но не делится на 9, а поэтому не может быть точным квадратом. Из этой же серии ещё одна задача.

№4. Существует ли такое натуральное n , что 2018n содержит в своей записи поровну единиц, двоек, троек и т. д. девяток? Так как 1+2+…+9=45, то сумма цифр кратна 45, то есть делится на 3, а число 2018n на 3 не делится. Ответ: не существует.

Как-то на уроке я спросил, каким будет признак делимости на 6, а ученик ответил, что если сумма цифр делится на 6, то и само число делится на 6. Верно ли это утверждение? Нет, пример: 12. Но у меня в голове возникла задача (не исключено, что просто всплыла из памяти).

№5. Для каких натуральных n>1 справедливо утверждение: если сумма цифр делится на n, то и само число делится на n. Мы знаем ответ для n=3 и n=9, а есть ли другие? Решение. Рассмотрим два числа с суммой цифр равной n. и . Их разность также должна делиться на n, но А-В=9, поэтому n=3 или 9, то есть для других чисел признак с суммой цифр не работает.

Напомню вам ещё один важный и знакомый факт. Если число a при делении на b даёт в частном q, а в остатке r, то справедливо равенство a=bq+r. Так, например, при делении числа а на 3 возможны 3 остатка 0, 1 или 2, а значит а=3n или а= 3n+1 или а=3n+2.

№6. Может ли число, делящееся на 8, при делении на 12 давать в остатке 10? Допустим, может. Тогда справедливо равенство: 8а=12в+10. Присмотримся к этому равенству: 8 и 12 оба делятся на 4, а 10 нет. Полученное противоречие доказывает, что такого числа не существует.

Вообще, математику всегда интересно решить задачу различными способами, рассмотреть для неё обратные задачи, обобщить полученное решение. Следуя этой схеме, рассмотрим

№6. Доказать, что для любых целых m и n, что если (m-n):3, то (m3-n3):9.

1 способ (анализ). . Так как (m-n):3, то оба слагаемых делятся на 9, а значит (m3-n3):9.

2 способ (синтез). (m-n):3, тогда m-n=3а и m=3a+n. Подставим, получим .

3 способ. Если (m-n):3, то m и n при делении на 3 дают одинаковые остатки, а значит, m=3a+r n=3b+r. (Раскройте скобки и убедитесь сами).

Обратная задача.

№7.Доказать, что для любых целых m и n, что если (m3-n3):9, то (m-n):3.

Воспользуемся методом от противного. Пусть (m-n) не делится на 3, тогда (m-n) при делении на 3 даёт в остатке 1 или 2, то есть m-n=3k+r, где r=1 или r=2. Подставим в данное равенство (см. 1 способ):

По условию это выражение делится на 9, поэтому но r=1 или r=2, получено противоречие, допущение неверно, т.е. (m-n):3.

Обобщение.

№8. Верно ли, что если (m-n):3, то (ml-nl):9 для любого l >1? Утверждение неверно, есть контрпример: m=5, n=2, l=2. 52-22=21 не :9.

Изменение задачи.

№9. Доказать, что для любых целых m и n, если (m-n):6, то (m3-n3):18.

Воспользуемся идеей 1-го способа.. Так как (m-n):6, то (m-n)3:216 и, тем более, поделится на 18. Второе слагаемое делится на 3 и на 6 независимо друг от друга, поэтому также поделится на 18.

После рассмотрения последней задачи возникает гипотеза.

№10. Верно ли, что если (m-n):k, то (m3-n3):(3k) при любом натуральном k? Утверждение неверно, есть контрпример: m=3, n=1, k=2. (3-1):2, 33-13=26 не : 3·2=6.

А может всё дело в том, что число k должно быть кратно 3? Появляется новая гипотеза.

№11. Верно ли, что если (m-n):(3k), то (m3-n3):(9k) при любом натуральном k? Докажите или опровергните это утверждение.

Задачи на делимость часто встречаются на ЕГЭ (задача №19). Одну такую задачу я хочу показать вам, она тоже представляет собой маленькое исследование. В процессе её решения у меня возникало много вопросов. Попробуем вместе разобраться.

№12. Дано двузначное натуральное число.

а) Оказалось, что частное этого числа и суммы его цифр, равно 7. Найдите все такие числа.

б) Какие натуральные значения может принимать частное данного числа и суммы его цифр?

в) Какое наименьшее значение может принимать частное данного числа и суммы его цифр?

Решение. а) Пусть данное число 10х+у, его сумма цифр х+у. По условию составим уравнение: . Так как х и у – цифры, причём х0, то условиям удовлетворяют числа: 21;42;63;84.

б) Пусть частное данного числа и суммы его цифр равно k, причём k –число натуральное. Получим . Так как х и у – цифры, причём х¹0, то получим двойное неравенство: . Решая его, получим, что 1,9k10. Так как k- натуральное, то это отношение может быть равно 2;3;...9;10. Обращаю ваше внимание, что, если вы так это и запишите в ответ, то вам проверяющие снимут баллы. Дело в том, что это список возможных значений искомого отношения. Нужно показать пример, что это отношение реализуется. Это делается простым подбором или решением уравнений, аналогичных пункту а). Например, k=2 получиться для числа 18, k=3 для числа 27 и т.д. Приведите эти примеры сами для всех k от 2 до 10.

«Лирическое» отступление. Меня заинтересовало, что для каких–то k можно придумать только один пример, а для каких-то, например, для k=7 целых четыре. Решив задачу математически, я решил написать компьютерную программу на языке Питон, которая бы считала все числа для каждого отношения k. Получилась следующая таблица.

Возник ещё один вопрос: может ли k равняться неправильной дроби, большей 1,9, например, 10/3? Докажите, что не существует двузначного числа, отношение которого к сумме своих цифр равно 10/3.

Перейдём к вопросу о наименьшем значении искомого отношения k.

в) Рассмотрим функцию . Обозначим у/х=t и рассмотрим функцию одной переменной при 0 t 9. Это уравнение гиперболы, f(t) – убывающая функция, поэтому своё наименьшее значение принимает на правом конце отрезка, то есть при t=9. Это отношение равно f(9)=1,9 и получается для числа 19.

В качестве исследования можно задаться вопросом об отношении двузначных чисел к произведению своих цифр, трёхзначных чисел к сумме своих цифр. Кстати, найдите такое трёхзначное число, для которого отношение к сумме своих цифр равно 29.

Выводы. Математика огромный исследовательский полигон, причём не требующий никаких материальных затрат, как, например, в физике или химии. Это полёт фантазии и удовлетворение здорового любопытства.

В заключении, задача- шутка. Двое по очереди ломают шоколадку размером 6 на 8. За 1 ход делается прямолинейный разлом любого из кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет в этой игре, первый или второй игрок? Решение. Каждый раз число кусков увеличивается на 1. В конце получится 48 долек, значит, будет сделано 47 ходов. 47-й ход делает тот, кто делал 1-ый, то есть первый игрок выиграет.

Вопрос: какими должны быть размеры шоколадки, чтобы выиграл второй игрок?

Задачи по мотивам лекции.

№1. Докажите, что число - составное.

№2. Запись натурального числа состоит из одной «1», двух «2 «, трёх «3» и т.д. девяти «9». Может ли оно быть точным квадратом?

№3. Верно ли, что если (m-n):(3k), то (m3-n3):(9k) при любых натуральных m,n,k? Докажите или опровергните это утверждение.

№4. Докажите, что не существует двузначного числа, отношение которого к сумме своих цифр равно 10/3.

№5. Найдите такое трёхзначное число, для которого отношение к сумме своих цифр равно 29.

№6. (Для любителей информатики). Напишите программу на каком-либо языке программирования, которая бы печатала все трёхзначные числа, отношение которых к их сумме цифр есть целое число. Само отношение должно быть напечатано через пробел от соответствующего числа. Сколько таких трёхзначных чисел?

Квадратный трёхчлен в олимпиадных задачах.

Общие сведения о квадратном трёхчлене.

Выражение {\displaystyle ax^{2}+bx+c} ax2 + bx + c  называют квадратным трёхчленом. Соответствующая функция у= ax2 + bx + c называется квадратичной. Её график – парабола. Расположение параболы зависит от коэффициентов а, в и с. а показывает направление ветвей, в – определяет вместе с а ось параболы, а с – ординату точки пересечения параболы с осью Оу. Корни квадратного трёхчлена – точки пересечения с осью Ох – нули функции находятся по формулам . Если дискриминант D>0, то парабола пересекает ось Ох в двух точках, если D<0, то парабола не пересекает ось Ох, т.е. находится целиком выше или целиком ниже оси Ох (в зависимости от направления ветвей), если D=0, парабола касается оси Ох. Если корни есть, то квадратный трёхчлен можно разложить на множители: ax2 + bx + c  = а(х-х1)(х-х2). Взаимосвязь между коэффициентами и корнями показывает теорема Виета. Для приведённого квадратного уравнения x2 + рx + q=0  справедливы равенства: .

Вопрос. Какими будут формулы Виета для не приведённого квадратного уравнения ax2 + bx + c  = 0? Ответ: .{\displaystyle x_{1}+x_{2}=-b/a,\quad x_{1}x_{2}=c/a.}

Задачи на взаимосвязь коэффициентов квадратного трёхчлена и расположения его графика.

№1. Известно, что a + b + c < 0 и что уравнение ax2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Определить знак коэффициента с.

Решение. Квадратный трёхчлен f(x) = ax2 + bx + c не имеет действительных корней, значит, он сохраняет один и тот же знак для всех значений аргумента х. Так как  f(1) = a  + b + c < 0, то f(0) = c < 0.

Ответ: c < 0.

Заметим, что значение квадратного трёхчлена (и, вообще, любого многочлена) при х=1 равно сумме его коэффициентов. Верно и наоборот: если в квадратном уравнении сумма всех его коэффициентов равна нулю ({\displaystyle a+b+c=0}а+в+с=0), то х=1 - корень такого уравнения (другой корень можно определить по формулам Виета).

Вопрос. Какой вывод можно сделать, если в квадратном уравнении для коэффициентов выполняется равенство ({\displaystyle a+b+c=0}а + с = в)? Ответ: по условию а-в+с=0, то есть f(-1) = 0, а значит х= -1 - корень этого уравнения.

№2. (ЛМО 2000, 10 кл). Сумма наименьшего значения квадратного трёхчлена аx2 +8x + b и наименьшего значения квадратного трёхчлена bx2 +8x+a равна нулю при a>0 и b>0. Доказать, что оба эти наименьшие значения равны нулю.

Решение. . Для первого квадратного трёхчлена . Аналогично, для второго квадратного трёхчлена . Сумма наименьших значений . Так как по условию a+b0, то ab=16, при этом f1 = f2=0.

№3. (№3.71 «Задачи с параметрами»). Найти наименьшее значение суммы квадратов корней уравнения x2 - 2ax + а + 6 = 0.

Нужно найти . Находить корни с помощью дискриминанта, а затем подставлять в искомое выражение сложно. Это препятствие можно обойти, воспользовавшись теоремой Виета для этого уравнения:. Применим способ, шутливо называемый способом «Тараса Бульбы». . Полученный квадратный трёхчлен принимает своё наименьшее значение в вершине параболы, то есть при . А наименьшее значение равно . Казалось бы, задача решена. Давайте сделаем проверку: при а=1/4 получаем уравнение x2 – 0,5x + 6,25 = 0. Его дискриминант отрицателен! Ошибка произошла потому, что мы предварительно не задумались о том, существуют эти корни или нет. Найдём дискриминант данного уравнения. . Решая неравенство, получим a(-;-2[3;). Таким образом, нужно найти наименьшее значение выражения при aÎ(-¥;-2]È[3;¥). Графическая иллюстрация показывает, что унаим=у(-2)=8. Ответ: 8.

Задачи на делимость.

№4. Может ли квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 с целыми коэффициентами иметь дискриминант равный 2018?

Решение. Допустим, что дискриминант указанного уравнения равен числу 2018. Тогда можно записать: b2 – 4ac = 2018.

Заметим, что b2 делится на 2, а, значит, и b делится на 2. Тогда b=2n, подставляя в это равенство, получим, что его левая часть делится на 4, а правая 2018 не делится на 4. Получено противоречие, значит, сделанное допущение ложно.  Ответ: нет.

Вопрос. А может ли квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 с целыми коэффициентами иметь дискриминант равный 23? Ответ: нет, как и любому числу вида 4n+3.

№5. (ММО 1955, 7 кл). Существует ли такое целое n, что n2 + n + 1 делится на 1955?

Решение. Допустим, что существует, тогда n2 + n + 1 = 1955k. Рассмотрим квадратное уравнение n2 + n + 1 - 1955k = 0.

Найдем его дискриминант: D = 1 - 4∙ (1 - 1955k) = 7820k -3. Заметим, что дискриминант оканчивается цифрой 7 при любом k, а, значит, точным квадратом быть не может. Ответ: такого k не существует.

Вопрос. Каким число ближайшего к нам года можно заменить число 1955 в этой задаче? Ответ: 2015.

№6. Квадратный трёхчлен x2 + аx + b = 0  имеет целые корни по модулю большие двух. Докажите, что число а + в + 1 – составное.

Решение. Доказать, что число а + в + 1 – составное означает, что нужно найти его, по крайней мере, один делитель, не равный 1.

Воспользуемся теоремой Виета для этого уравнения:. Найдём

. Таким образом, делители найдены.

Вопрос. Для чего в задаче условие, что уравнение «имеет целые корни по модулю большие двух»? Ответ: благодаря этому условию, каждая из скобок не равна 1.

Квадратный трёхчлен и неравенства.

№7. (ММО, 2014, 10.1, 11.1 ) Квадратный трёхчлен f(x) = ax2 + bx + c принимает в точках 1/a и c значения разных знаков. Докажите, что корни трёхчлена f(x) имеют разные знаки.

Решение. По условию, 0 > f(c)∙f(1/a) = (ac2 + bc + c)∙(1/a + b/a + c) = c/a ∙(ac + b + 1)2.  Следовательно,  c/a < 0.  Но по теореме Виета c/a равно произведению корней  f(x), поэтому они разных знаков.

№8. (18.9 Бартенев) Докажите, что для любых хотя бы одно из двух уравнений

имеет корень.

Решение. Допустим противное, то есть, что оба уравнения не имеют корней. Тогда имеют место неравенства и . Сложив эти два неравенства, получим, - противоречие.

№9. (ЛМО, 1999, 9 кл) Значения квадратного трёхчлена  ax2 + 2bx + c  отрицательны при всех х. Докажите, что значения квадратного трёхчлена  a2x2 + 2b2x + c2  при всех х положительны.

Решение. Так как по условию ax2 + 2bx + c  >0, то (см графическую иллюстрацию – парабола целиком ниже оси Ох). Заметим, что с<0, тогда

b2  + ac >0.  Рассмотрим второй квадратный трёхчлен. По условию у него а2 >0 и парабола должна целиком располагаться выше оси Ох (см графическую иллюстрацию). Тогда нужно доказать, что его Д/4<0. Получим D/4 = b4 - (ac)2=( b2  + ac)( b2  - ac) <0, так как по доказанному первая скобка положительна, а вторая отрицательна.

Квадратный трёхчлен и инвариант.

№10. (http://math4school.ru/) Дан квадратный трёхчлен ax2 + bx + c. За один ход разрешается заменить данный квадратный трёхчлен  целиком на квадратный трёхчлен  cx2 + (b + 2c)x + (a + b + c).

Можно ли после нескольких ходов из квадратного трёхчлена  x2 – 3x – 4 получить квадратный трёхчлен  x2 – 2017x – 2018?

Решение. В задачах подобного типа нужно найти то, что остаётся неизменным при указанном преобразовании (инвариант). Попробуем найти дискриминант второго квадратного трёхчлена.  .

То есть, при указанных заменах исходного квадратного трёхчлена  его дискриминант не изменяется. Значит, если из квадратного трёхчлена  x2 – 3x – 4 можно получить квадратный трёхчлен x2 – 2017x – 2018, то их дискриминанты должны быть равны. Однако это не так. Ответ: нет.

Вопрос. Можно ли получить из первого квадратного трёхчлена второй, если за один ход разрешается заменить х на (х – t), где t - любое число. Ответ: нельзя, так как такое преобразование также не изменит дискриминант.

Замечание. В задачах на инвариант полезен эксперимент!

Квадратный трёхчлен и геометрия.

№11. (Олимпиада Сириус, 9 кл).

На параболе у= x2 +ax + b взяты точки А, В, С и Д так, что АВСДОх и АВ=5, СД=13. Найти расстояние между прямыми АВ и СД.

Решение. Пусть абсцисса вершины параболы . Так как АВ=5, а СД=13, то координаты точек А(х0-2,5;у1); В(х0+2,5;у1); С(х0-6,5;у2); Д(х0+6,5;у2). Искомое расстояние

Ответ: 36.

Задачи для самостоятельного решения.

№1. (Всеросс., 2017, Шк. Этап, 10 кл). На координатной плоскости изображены графики функций y = x2 + bx + c и y = x2 + cx + b. Найдите значения b и c.

№2. Найти значение а, при котором сумма квадратов корней уравнения

x2 + ax - 5а + 1 = 0 наименьшая.

№3. Квадратный трёхчлен x2 + аx + b + 1 = 0  с целыми коэффициентами имеет ненулевые целые корни. Докажите, что число а2 + b2 – составное.

№4. Докажите, что для любых a и b хотя бы одно из двух уравнений

имеет решение.

№5. Дан приведенный квадратный трехчлен  f(x) = x2 + bx + c,  имеющий два различных корня. Обозначим D его дискриминант 
(D = b2 – 4c).  Сколько корней имеет уравнение   ?

№6. В параболу вписан прямоугольный треугольник, гипотенуза которого параллельна оси Докажите, что высота треугольника, опущенная на гипотенузу, равна 1.

Задачи для исследования.

Сюжет 1 (алгебраический). Пусть - корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0. , где n - натуральное число.

1 уровень. Для квадратного уравнения x2 + 4x - 6=0 найдите S1, S2, S3.

2 уровень. Для квадратного уравнения x2 + рx + q=0 найдите (выразите через p и q) S1, S2, S3, Sn.

3 уровень. Обобщите результат на случай не приведённого уравнения ax2 + bx + c = 0. Найдите (выразите через a, b и c) S1, S2, S3, Sn.

4 уровень. Докажите равенство .

5 уровень*. Пусть x1 и x2—корни квадратного уравнения x2 + рx + q=0, . Докажите формулу Варинга. , где суммирование ведётся по всем целым числам m, для которых .

Сюжет 2 (геометрический).

1 уровень. В параболу вписан прямоугольный треугольник, гипотенуза которого параллельна оси Докажите, что высота треугольника, опущенная на гипотенузу, равна 1.

2 уровень. В параболу вписан прямоугольный треугольник, гипотенуза которого параллельна оси Докажите, что высота треугольника, опущенная на гипотенузу, равна 1/а.

3 уровень. В параболу вписан треугольник, одна из сторон которого параллельна оси Высота треугольника, проведённая к этой стороне, равна 1/а. Докажите, что треугольник – прямоугольный.

4 уровень. В параболу вписан прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ. Высота треугольника, опущенная на гипотенузу СН = 1/а. Верно ли, что АВ параллельна оси ОХ?

5 уровень*. Можно ли в параболу вписать равносторонний треугольник, ни одна из вершин которого не совпадает с началом координат?