«Мобильная геометрия. Головоломки Пифагора»

Исследовательская работа

Секция: геометрия

Тема: «Мобильная геометрия. Головоломки Пифагора»

Введение.

Актуальность: Головоломка способствует формированию креативного мышления. Решение головоломок развивает воображение, находчивость, сообразительность, наблюдательность, пространственное воображение, логическое мышление, координацию. Всё это помогает усваивать не только предметы математического цикла, а позволяет приобретать новые навыки, стимулирует к приобретению новых знаний, повышает коммуникативные способности подростков.

Цель:

- Показать, что геометрические головоломки развивают логическое мышление

- показать, как головоломки «Теорема Пифагора» и «Пифагор» стимулирует учащихся к приобретению новых знаний

Задачи:

- изучить возможности головоломок «Пифагор» и «Теорема Пифагора»

- Показать рациональность использования данных головоломок к изучению теоремы Пифагора и некоторых свойств различных фигур, а так же к решению геометрических задач.

- Разработать свою геометрическую головоломку

Методы исследования
- теоретический анализ литературы

-синтез

-моделирование

Глава 1. Головоломка «Пифагор» 1.1 История возникновения и развития головоломок.

Головоломка — непростая задача, для решения которой, как правило, требуется сообразительность, а не специальные знания высокого уровня.

Тем не менее некоторые головоломки стимулируют теоретические и практические разработки учёных. История возникновения головоломок, которые еще называют задачами для тренировки мозга, появились в глубокой древности. Об этом свидетельствуют находки при раскопках древних цивилизаций - в манускриптах, на стенах египетских пирамид.

В Китае одной из древнейших считается головоломка танграм, суть которой в том, чтобы составить определенную фигуру из 7 элементов неправильной формы. Этой игрой, как писал Льюис Кэрролл, в своей книге «Модная китайская головоломка», увлекался Наполеон, когда был сослан на остров святой Елены. У Эдгара По тоже была головоломка танграм, теперь она хранится в Нью-Йорке в Публичной библиотеке. На элективном курсе «Наглядная геометрия» в 5 классе мы познакомились с этой игрой танграм в процессе которой мы закрепили знакомство с такими фигурами как параллелограмм, прямоугольный треугольник, трапеция. Именно эта игра и подсказала нам идею нашей исследовательской работы.

Общепринятой классификации головоломок нет, но их можно разделить на несколько групп:

Механические головоломки – они представлены в виде механизмов с подвижными частями и креплениями.

Паззлы - их суть заключается в собирании изображений из различных частей. Существуют также и объемные паззлы.

Веревочные головоломки похожие на путаницы. Смысл их в распутывании веревочек и высвобождении отдельных деталей.

Развивающие головоломки – подобные игрушки содержат различные миссии и задачи, которые необходимо выполнить, найдя не стандартное решение.

текстовые головоломки где эрудиция и словарный запас играют важную роль.

Геометрические головоломки. Они бывают разного вида

В своей работе мы хотим уделить внимание геометрическим головоломкам на разрезание фигур «Пифагор» и «Теорема Пифагора

1.2.Пифагорейский союз. (Пифагор)

Представителями большой научно-философской школы, возникшей ок. 530 г. до н.э., были пифагорейцы, называвшие себя в честь философа, мистика и политического деятеля Пифагора (ок. 570 – ок 500 гг. до н.э.).
Пифагорейский союз был чем-то вроде тайного религиозно-этического братства. Его члены были обязаны вести пифагорейский образ жизни, включавший в себя вместе с системой аскетических предписаний и табу обязательные научные занятия. Результаты

этих научных изысканий традиционно приписывались Пифагору.

Пифагор, родился на острове Самос приблизительно в 580 году до нашей эры. Большое влияние на развитие Пифагора оказало его пребывание в Египте. Пифагор – личность весьма противоречивая и загадочная. Известно, что ещё юношей Пифагор покинул родной остров, много путешествовал, двенадцать лет учился у египетских мудрецов, десять лет жил в Вавилоне.

Пифагор считал, что в основе всего мироздания лежит число (сейчас бы мы сказали: натуральное число). Интерес Пифагора и его школы к свойствам чисел стал источником позднейшей теории чисел. Память об этом сохранена в названии таблицы Пифагора.[6; c 23]

Пифагор искал числовые отношения в геометрических построениях. Ему был известен так называемый египетский треугольник со сторонами, выраженными числами 3,4, и 5. Египтяне знали, что это прямоугольный треугольник, и употребляли его для определения прямых углов при восстановлении размываемых ежегодными разливами Нила границ земельных участков. Пифагор – это не имя, а прозвище, которое философ получил за то, что всегда говорил верно и убедительно, как греческий оракул. Пифагор – “убеждающий речью”; этимология восходит к Аполлону Пифийскому

1.3.Головоломка «Пифагор»

Знакомство с головоломкой "Пифагор" начинается с обзора набора фигур, которые имеются. Задача головоломки: из набора геометрических фигур составить другие геометрические фигуры, даже рисунки различных предметов. Из 2 больших, а затем и маленьких треугольников составить квадрат, треугольник, четырехугольник. При этом вновь полученные фигуры равны по размеру имеющимся в наборе. Так, из 2 больших треугольников получается четырехугольник такого же размера, квадрат, равный по величине большому квадрату. Заметить это сходство фигур, сравнить их по размеру не только на глаз, но и накладывая одну фигуру на другую, мы приходим к понятию равных фигур. Суть головоломки заключается в конструировании на плоскости разнообразных предметных силуэтов. Многообразие и различная степень сложности геометрических силуэтов позволяет учитывать возрастные особенности детей, их склонности, возможности, уровень подготовки.

Используя головоломку «Пифагор» можно составлять и более сложные геометрические фигуры, используя все её части, проявляя при этом творчество и инициативу. Уже существует более 40 схем для этой головоломки при создании различных фигур. С помощью этой головоломки –игры на уроках геометрии можно предложить учащимся собрать именно геометрические фигуры, тем самым напомнить им названия и вид этих фигур.

Мы составили трапецию, прямоугольный треугольник, прямоугольник, а так же некоторые буквы русского алфавита (приложения 1-4).

Мы произвели вычисления площадей геометрических фигур составленных нами из всех частей головоломки «Пифагор» и получили следующие результаты .

Площадь всего квадрата в котором заключен набор фигур головоломки «Пифагор» 13,7см*13,7см = 187,69см2 , а площадь прямоугольного треугольника который мы собрали из фигур входящих в набор головоломки (19,4см*19,4):2=188,18см2, площадь прямоугольника 26,8см*7см=187,6 см2. Учитывая погрешность измерений мы убедились, что площади равны.

Благодаря этой головоломке мы наглядно закрепили понятие равновеликие фигуры и свойства площадей:

Равные многоугольники имеют равные площади.

Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников [3;с 116].

Глава 2. Головоломка «Теорема Пифагора» 2.1 Теорема Пифагора и способы её доказательства.

В египетских трактатах нет никаких сведений о теореме, которую мы сейчас называем теоремой Пифагора. Однако греческие деятели науки, побывавшие в Египте, извещали о том, что там имеется правило для построения прямого угла. Натягивали верёвку, делили её на 12 равных частей. Затем растягивали в виде прямоугольного треугольника со сторонами 3, 4, 5.Эти сведения относятся к середине первого тысячелетия до н.э. А задолго до этого времени теорема о связи между сторонами прямоугольного треугольника была известна в Вавилоне[5; c 47].

По данным из некоторых источников, эта геометрическая закономерность была известна не только древним грекам, но и китайцам, египтянам. Однако из-за популярности естественных наук и исторических трудов ученых Эллады (например, тех же «Начал» Евклида) доказательство теоремы традиционно приписывается именно Пифагору.

Знаменитая теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Приведём одно из множества доказательств данной теоремы.

Пусть a, b – катеты прямоугольного треугольника, с – его гипотенуза. Построим квадрат ABCD со стороной а+b и возьмём на его сторонах AB, BC, CD и DA такие точки E, F, G, H соответственно, что AE=BF=CG=DH=a (рисунок 1)

Рисунок 1.

Иными словами от каждой из вершин A, B, C, D откладывается по отрезку длины, a в направлении к следующей вершине; «следующей» – значит следующей в порядке ABCDA. Наш квадрат разбивается на четырехугольник EFGH и четыре прямоугольных треугольника: BFE, FCG, GDH, HAE. У каждого из треугольников один катет равен а, а другой b, значит все эти треугольники равны, так что угол AEH равен углу BFE. Гипотенуза равна с, а площадь треугольника есть ½*а*b. у четырехугольника HGFE длина каждой стороны равна с, так что это ромб. Кроме того, все его углы прямые, следовательно это квадрат со стороной с, его площадь равна . Но сумма его площади и площадей четырех треугольников равна площади квадрата ABCD:

Отсюда видно, что:

Доказательства, которые используют равновеликость фигур.

При этом необходимо рассмотреть доказательства, в которых квадрат, выстроенный на гипотенузе данного прямоугольного треугольника «складывается» из таких же фигур, что и квадраты, построенные на катетах. Можно исследовать и такие доказательства, в которых применяется перестановка слагаемых фигур с учётом ряда новых идей.

На рис. 2 изображено два равных квадрата. Длина сторон каждого квадрата равна a + b. Каждый из квадратов разбит на части, состоящие из квадратов и прямоугольных треугольников. Ясно, что если от площади квадрата отнять учетверенную площадь прямоугольного треугольника с катетами a, b, то останутся равные площади, т. е. c2 = a2 + b2. Такое рассуждение принадлежит древним индусам.

Аддитивные доказательства.

Эти обоснования теоремы, выстроены на разложении квадратов, построенных на катетах, на фигуры, из которых можно сложить квадрат, построенный на гипотенузе.

Доказательство Энштейна (рис. 3) основано на разложении квадрата, построенного на гипотенузе, на 8 треугольников.

Здесь: ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом C; CK перпендикулярна MN; PO||MN; EF||MN, значит РО|| EF. Треугольники будут равны попарно, полученные при разбиении квадратов, построенных на катетах и гипотенузе.

На рис. 4 приведено доказательство теоремы Пифагора с помощью разбиения ан-Найризия – средневекового багдадского комментатора «Начал» Евклида. В этом разбиении квадрат, построенный на гипотенузе, разбит на 3 треугольника и 2 четырехугольника. Здесь: ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом C.

На основе доказательства ан-Найризия выполнено и другое разложение квадратов на попарно равные фигуры (рис. 5, здесь ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом C).

· Еще одно доказательство методом разложения квадратов на равные части, называемое «колесом с лопастями», приведено на рис. 6. Здесь: ABC– прямоугольный треугольник с прямым углом C; O – центр квадрата, построенного на большем катете. Одна пунктирная прямая, проходящие через точку O, перпендикулярна гипотенузе, а другая параллельна ей.

Это разложение квадратов интересно тем, что его попарно равные четырехугольники могут быть совмещены друг с другом с помощью параллельного переноса. Имеется много и других доказательств теоремы Пифагора с помощью разложения на фигуры квадратов построенных на катетах и гипотенузе. Хотим привести такой пример:

На рисунке квадраты, построенные на катетах, размещены ступенями один рядом с другим. Эту фигуру, которая встречается в доказательствах, датируемых не позднее, чем 9 столетием н. э., индусы называли "стулом невесты". Способ построения квадрата со стороной, равной гипотенузе, ясен из чертежа. Общая часть двух квадратов, построенных на катетах, и квадрата, построенного на гипотенузе, - неправильный заштрихованный пятиугольник 5. Дополнив его треугольниками 1 и 2, получим оба квадрата, построенные на катетах; если же заменить треугольники 1 и 2 равными им треугольниками 3 и 4, то получим квадрат, построенный на гипотенузе. На рисунках ниже изображены два альтернативных расположения близких к тому, которое дается на первом рисунке.

2.2 Головоломка «Теорема Пифагора»

Древнеримский архитектор Марк Витрувий Поллион особо выделял теорему Пифагора «из многочисленных открытий, оказавших услуги развитию человеческой жизни», и призывал относиться к ней с глубоким почтением. Было это ещё в I веке до н. э. На рубеже XVI—XVII веков знаменитый немецкий астроном Иоганн Кеплер назвал её одним из сокровищ геометрии, сравнимым с мерой золота. Вряд ли во всей математике найдётся более весомое и значимое утверждение, ведь по числу научных и практических открытий теореме Пифагора нет равных [2;с 45]. Головоломка «Теорема Пифагора» представляет собой доказательство теоремы. На сторонах прямоугольного треугольника строятся квадраты, разрезая квадраты, построенные на катетах различными способами мы из полученных частей собираем квадрат построенный на гипотенузе. Мы это разбиение сделали таким образом: разбили большой квадрат, построенный на большем катете на 2 треугольника и один четырёхугольник. Квадрат построенный на меньшем катете разбили на 3 треугольника и один пятиугольник (приложение 5). Свою головоломку «Теорема Пифагора» мы выполнили из пластика с помощью 3D ручки.

2.3 Применение геометрических головоломок в жизни человека

В последнее время головоломку «Пифагор» часто используют дизайнеры для производства мебели. Есть мягкая мебель трансформеры, и корпусная мебель. Вся мебель, построенная по принципу головоломки «Пифагор», довольно удобна и многофункциональна. Она может видоизменятся в зависимости от необходимости и желания хозяина. Так же используют в дизайне одежды, аксессуарах, в современных конструкциях зданий.

Если покрыть плоскость квадратами двух разных размеров, окружив каждый малый квадрат четырьмя большими, получится паркет «мозаика Пифагора». По-разному накладывая на паркет квадратную сетку, можно получить композицию головоломки «Теорема Пифагора». Например, если расположить сетку, которая состоит из попарно пересекающихся параллельных прямых так, чтобы все её узлы совпали с правыми верхними вершинами малых квадратов, то можно увидеть что сумма площадей большого и малого квадратов, исходных элементов паркета, равна площади одного квадрата наложенной на него сетки. А это означает, что указанное разбиение действительно пригодно для укладки паркета: соединяя в квадраты полученные многоугольники, как показано на рисунке, можно заполнить ими без пробелов и перекрытий всю плоскость

Используя знания полученные при выполнении данной работы мы можем решать геометрические задачи.

Задача №1

Перед вами два квадрата разного размера. Как можно разрезать большой квадрат, чтоб из его частей и маленького квадрата сложить ещё один квадрат.

Решение: надо большой квадрат разрезать на 4 прямоугольных треугольника (приложение 6).

Задача №2

Квадрат со стороной b вписан в квадрат со стороной c и в него вписан еще один квадрат со стороной a. Вершины вписанных квадратов лежат на середине сторон квадратов, в которые они вписаны (см. рисунок). Площадь самого маленького квадрата равна 4, какова площадь самого большого квадрата?

Решение:

Благодаря головоломке «Теорема Пифагора» мы можем утверждать, что площадь квадрата со стороной b будет в 2 раза больше площади квадрата со стороной a. Значит площадь большого квадрата будет в 4 раза больше площади маленького квадрата. Так как площадь маленького квадрата равна 4, то площадь большого квадрата будет равна 16.

Ответ: 16.

Задача №3

Площадь маленького квадрата равна 5см2 . Найти площадь большого квадрата.

Решение.

Треугольник DKI прямоугольный. Большой квадрат построен на его гипотенузе, один из катетов равен стороне маленького квадрата. Если на втором катете построить квадрат, то его площадь будет равна 9 квадратам. Значит площадь большого квадрата будет равна сумме площадей квадратов построенных на катетах то есть 10 квадратам. Зная, что площадь маленького квадрата 5см2 найдем площадь большого квадрата 10*5=50см2

Ответ : 50см2

Задача №4

В квадрат вписали другой квадрат площадью 100 см квадратных, а площадь прямоугольного треугольника полученного при этом равна 24 см квадратным, найдите площадь большого квадрата и площадь вписанной в треугольник окружности.

Решение

Все прямоугольные треугольники будут равными , а значит имеют площадь равную 24 .Значит площадь большого квадрата будет равна сумме площадей квадрата и четырёх треугольников

100+4*24=196 (см2)

Так как площадь малого квадрата 100 . значит гипотенуза будет равна 10 см. Зная, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов отсюда получим . что произведение катетов будет равно 48. Таким образом катеты равны 6 см и 8 см. Зная все стороны прямоугольного треугольника найдём его периметр 6+8+10=24. Площадь треугольника можно найти как произведение полупериметра на радиус вписанной в него окружности (эту формулу нам подсказала наш руководитель проекта) 24=12* r значит радиус окружности равен 2 см, зная радиус окружности найдем её площадь π=3,14 S=3.14*2*2= 12,56 см2

Ответ: 12,56см квадратных.

Заключение

Всемирные головоломки или геометрические мобильные конструкторы являются оптимальным средством для совершенствования умственных и творческих способностей человека. Головоломки развивают пространственное воображение, комбинаторные способности, смекалку, находчивость, а также креативное мышление. Увлечение головоломками, помогают находить не стандартные решения в различных задачах и жизненных ситуациях. В работе были рассмотрены геометрические головоломки Пифагора, которые развивают творческие способности человека, его логическое мышление, учат ставить важные вопросы и находить ответы на них. В таких играх быстрее развивается мышление, включая действия по анализированию, прогнозированию, взвешиванию шансов на успех, выбору альтернатив. Также геометрические головоломки «Пифагор» и «Теорема Пифагора» стимулируют учащихся к получению новых знаний.

В ходе выполнения исследовательской работы нами была придумана и изготовлена головоломка которая состоит из набора таких фигур как: прямоугольный треугольник, квадрат, прямоугольник. Ее уникальность состоит в том, что собрать ее можно одним единственным способом (приложение 7). Таким образом задачи, поставленные во введении в рамках данной исследовательской работы, выполнены.

Список использованной литературы

1.Гершензон М. А. Головоломки профессора Головоломки. - М.: Детская литература, 1992

2. И.В. Суриков «Пифагор» издательство Молодая гвардия 2013г

3. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф, “Геометрия 7-9” М.: Просвещение, 1999 г. 116с.

4. Газета «Математика» приложение к газете «1 сентября», «Последам Пифагора»,№ 2, 2002.

5. Деза Е.И. Числа Пифагора. Эл. Курс. Журнал «Математика в школе» №10 2009,40-50с., №1 – 2010,

6. Еленьский Ш., Последам Пифагора.М.,1961

Источник: https://ru.wikipedia.org/wiki

Источник :http://www.moypifagor.narod.ru/

Источник: https://autogear.ru/article/284/783/prokachay-svoy-mozg-vidyi-golovolomok-dlya-raznyih-vozrastnyih-kategoriy/

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Приложение 5

Приложение 6

Приложение 7