Презентация «Подготовка к ЕГЭ по математике (профиль). Задача №17 на ценные бумаги»

ЕГЭ(профиль) Задание №17 Задачи о кредитовании и банковских процентах: задачи на ценные бумаги Подготовила учитель математики МБОУ «Рыбновская СШ №2» Рощина Оксана Юрьевна

Задача №1 В начале 2001 года Алексей приобрёл ценную бумагу за 7000 рублей. В конце каждого года цена бумаги возрастает на 2000 рублей. В начале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 10%. В начале какого года Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через пятнадцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

Решение задачи №1 Пусть в начале 2001 г. стоимость ценной бумаги составляет a1 = 7000 руб. в начале 2002 г. – a2 = 7000 руб + 2000 руб. = 9000 руб. в начале 2003 г. – a3 = 9000 руб + 2000 руб. = 11000 руб. …. в начале 200n г. – an = (an -1 + 2000 )руб. a1, a2, a3, … , аn - арифметическая прогрессия a1 = 7000, d = 2000 Нужно выяснить в начале какого года Алексей должен продать ценную бумагу и положить деньги в банк. Это нужно сделать тогда, когда 10% от an будут превышать 2000 рублей(d). 0,1an > d 0,1an > 2000 an = a1 + d(n-1) – формула n -го члена арифметической прогрессии 0,1 (a1 + d(n-1) ) > 2000 0,1 (7000 + 2000(n-1) ) > 2000 700 + 200(n-1) > 2000 200(n-1) > 1300 n-1> 6,5 n > 7,5 Так как n – натуральное число, то ближайшее натуральное число, удовлетворяющее неравенству равно 8. ОТВЕТ: 2008 ГОД

Задача №2 Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят 10t тыс. рублей в конце года t (t = 1; 2;...). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 24%. В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцатого года сумма на его счёте была наибольшей?

Решение задачи №2

Задача №3 Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t2 тыс. рублей в конце года t (t = 1; 2;...). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в (1 + r) раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчеты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях r это возможно?

Решение задачи №3 Если пенсионный фонд продаст ценные бумаги в конце года t , то в конце 25 –го на его счете будет S(t) = t2 ∙ (1+r)25-t тыс. рублей. Рассмотрим функцию S(x) = x2 ∙ (1+r)25-x зависящую от действительной переменной x , на отрезке [0;25]. Функция S(x) непрерывна на отрезке [0;25] и S(0) = 0, S(25) = 625. Найдем производную этой функции S’(x) = (x2 ∙ (1+r)25-x )’ = 2x(1+r)25-x - x2 ∙ (1+r)25-x ∙ ln(1+r) = x(1+r)25-x (2 – x ln(1+r) ). Далее находим критические точки функции S’(x) = 0 x(1+r)25-x (2 – x ln(1+r) ) =0 X = 0 или 2 – x ln(1+r) =0 x = 2/ ln(1+r) Поэтому, функция S(x) имеет единственную точку максимума xmax = 2/ ln(1+r) , в которой и достигается наибольшее на отрезке [0;25] значение. 0 25 2/ ln(1+r) S’(x) + - S(x)

Решение задачи №3 В условии сказано, что ценные бумаги выгоднее продать в конце 21-го года. Значит, максимум функции S(x) находится на интервале (20;22) и, следовательно, достаточно решить систему S(21) > S(20) ; S(21) > S(22) , 212 ∙ (1+r)25-21 > 202 ∙ (1+r)25-20 ; 212 ∙ (1+r)25-21 > 222 ∙ (1+r)25-22 , 212 > 202 ∙ (1+r); 212 > 222 ∙ (1+r). r < 41/400; r > 43/441, Ответ: 43/441 < r < 41/400.

Задача №4

Решение задачи №4 Если пенсионный фонд продаст ценные бумаги в конце года t , то в конце 25 –го на его счете будет f(t) = t2 ∙ r25-t тыс. рублей. Рассмотрим функцию f(t) = t2 ∙r25-t зависящую от действительной переменной t , на отрезке [0;25]. Функция f(t) непрерывна на отрезке [0;25] и f(0) = 0, f(25) = 625. Найдем производную этой функции f’(t) = (t2 ∙r25-t )’ = 2t ∙r25-t - t2 ∙r25-t ∙ lnr = t ∙r25-t (2 – t ∙ lnr). Далее находим критические точки функции f’(t) = 0 t ∙r25-t (2 – t ∙ lnr) =0 t = 0 или 2 – t ∙ lnr =0 x = 2/ lnr Поэтому, функция f(t) имеет единственную точку максимума tmax = 2/ lnr , в которой и достигается наибольшее на отрезке [0;25] значение. 0 25 2/ lnr f’(t) + - f(t)

Решение задачи №4 В условии сказано, что ценные бумаги выгоднее продать в конце 21-го года. Значит, максимум функции f(t) находится на интервале (20;22) и, следовательно, достаточно решить систему f(21) > f(20) ; f(21) > f(22) , 212 ∙ r25-21 > 202 ∙ r25-20 ; 212 ∙ r25-21 > 222 ∙r25-22 , 212 > 202 ∙ r; 212 > 222 ∙ r. r < 441/400; r > 484/441, Именно при таких значениях r нужно продать акции в конце 21 года, чтобы получить наибольшую прибыль в конце 25 года. Ответ: 484/441 < r < 441/400.

Задача №5 Пенсионный фонд владеет акциями, цена которых к концу года t становится равной t2 тыс. руб. (т. е. к концу первого года они стоят 1 тыс. руб., к концу второго — 4 тыс. руб. и т. д.), в течение 20 лет. В конце любого года можно продать акции по их рыночной цене на конец года и положить вырученные деньги в банк под 25% годовых. В конце какого года нужно продать акции, чтобы прибыль была максимальной?

Решение задачи №5