ЕГЭ(профиль)
Задание №17
Задачи о кредитовании и банковских процентах: задачи на ценные бумаги
Подготовила учитель математики
МБОУ «Рыбновская СШ №2»
Рощина Оксана Юрьевна
Задача №1
В начале 2001 года Алексей приобрёл ценную бумагу за 7000 рублей. В конце каждого года цена бумаги возрастает на 2000 рублей. В начале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 10%. В начале какого года Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через пятнадцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?
Решение задачи №1
Пусть в начале 2001 г. стоимость ценной бумаги составляет a1 = 7000 руб.
в начале 2002 г. – a2 = 7000 руб + 2000 руб. = 9000 руб.
в начале 2003 г. – a3 = 9000 руб + 2000 руб. = 11000 руб.
….
в начале 200n г. – an = (an -1 + 2000 )руб.
a1, a2, a3, … , аn - арифметическая прогрессия
a1 = 7000, d = 2000
Нужно выяснить в начале какого года Алексей должен продать ценную бумагу и положить деньги в банк. Это нужно сделать тогда, когда 10% от an будут превышать 2000 рублей(d).
0,1an > d
0,1an > 2000
an = a1 + d(n-1) – формула n -го члена арифметической прогрессии
0,1 (a1 + d(n-1) ) > 2000
0,1 (7000 + 2000(n-1) ) > 2000
700 + 200(n-1) > 2000
200(n-1) > 1300
n-1> 6,5
n > 7,5
Так как n – натуральное число, то ближайшее натуральное число, удовлетворяющее неравенству равно 8.
ОТВЕТ: 2008 ГОД
Задача №2
Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят 10t тыс. рублей в конце года t (t = 1; 2;...). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 24%. В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцатого года сумма на его счёте была наибольшей?
Решение задачи №2
Задача №3
Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t2 тыс. рублей в конце года t (t = 1; 2;...). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в (1 + r) раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчеты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях r это возможно?
Решение задачи №3
Если пенсионный фонд продаст ценные бумаги в конце года t , то в конце 25 –го на
его счете будет S(t) = t2 ∙ (1+r)25-t тыс. рублей.
Рассмотрим функцию
S(x) = x2 ∙ (1+r)25-x
зависящую от действительной переменной x , на отрезке [0;25].
Функция S(x) непрерывна на отрезке [0;25] и S(0) = 0, S(25) = 625.
Найдем производную этой функции
S’(x) = (x2 ∙ (1+r)25-x )’ = 2x(1+r)25-x - x2 ∙ (1+r)25-x ∙ ln(1+r) = x(1+r)25-x (2 – x ln(1+r) ).
Далее находим критические точки функции
S’(x) = 0
x(1+r)25-x (2 – x ln(1+r) ) =0
X = 0 или 2 – x ln(1+r) =0
x = 2/ ln(1+r)
Поэтому, функция S(x) имеет единственную точку максимума
xmax = 2/ ln(1+r) , в которой и достигается наибольшее на отрезке [0;25] значение.
0
25
2/ ln(1+r)
S’(x)
+
-
S(x)
Решение задачи №3
В условии сказано, что ценные бумаги выгоднее продать в конце 21-го года. Значит, максимум функции S(x) находится на интервале (20;22) и, следовательно, достаточно решить систему
S(21) > S(20) ;
S(21) > S(22) ,
212 ∙ (1+r)25-21 > 202 ∙ (1+r)25-20 ;
212 ∙ (1+r)25-21 > 222 ∙ (1+r)25-22 ,
212 > 202 ∙ (1+r);
212 > 222 ∙ (1+r).
r < 41/400;
r > 43/441,
Ответ: 43/441 < r < 41/400.
Задача №4
Решение задачи №4
Если пенсионный фонд продаст ценные бумаги в конце года t , то в конце 25 –го на
его счете будет f(t) = t2 ∙ r25-t тыс. рублей.
Рассмотрим функцию
f(t) = t2 ∙r25-t
зависящую от действительной переменной t , на отрезке [0;25].
Функция f(t) непрерывна на отрезке [0;25] и f(0) = 0, f(25) = 625.
Найдем производную этой функции
f’(t) = (t2 ∙r25-t )’ = 2t ∙r25-t - t2 ∙r25-t ∙ lnr = t ∙r25-t (2 – t ∙ lnr).
Далее находим критические точки функции
f’(t) = 0
t ∙r25-t (2 – t ∙ lnr) =0
t = 0 или 2 – t ∙ lnr =0
x = 2/ lnr
Поэтому, функция f(t) имеет единственную точку максимума
tmax = 2/ lnr , в которой и достигается наибольшее на отрезке [0;25] значение.
0
25
2/ lnr
f’(t)
+
-
f(t)
Решение задачи №4
В условии сказано, что ценные бумаги выгоднее продать в конце 21-го года. Значит, максимум функции f(t) находится на интервале (20;22) и, следовательно, достаточно решить систему
f(21) > f(20) ;
f(21) > f(22) ,
212 ∙ r25-21 > 202 ∙ r25-20 ;
212 ∙ r25-21 > 222 ∙r25-22 ,
212 > 202 ∙ r;
212 > 222 ∙ r.
r < 441/400;
r > 484/441,
Именно при таких значениях r нужно продать акции в конце 21 года, чтобы получить наибольшую прибыль в конце 25 года.
Ответ: 484/441 < r < 441/400.
Задача №5
Пенсионный фонд владеет акциями, цена которых к концу года t становится равной t2 тыс. руб. (т. е. к концу первого года они стоят 1 тыс. руб., к концу второго — 4 тыс. руб. и т. д.), в течение 20 лет. В конце любого года можно продать акции по их рыночной цене на конец года и положить вырученные деньги в банк под 25% годовых. В конце какого года нужно продать акции, чтобы прибыль была максимальной?
Решение задачи №5
